鄧景元

（中國人民大學附屬中學，北京 100080）

陀螺進動機理研究及穩(wěn)定性分析

鄧景元

（中國人民大學附屬中學，北京 100080）

陀螺力學在現(xiàn)代工程技術(shù)與天文物理研究中應(yīng)用廣泛。陀螺儀由于具有良好的高速自旋穩(wěn)定性，在飛機和船舶的慣性導航與控制、隧道和石油勘探的精密定位儀器等諸多領(lǐng)域被廣泛采用。本文通過角動量定理簡明直觀的推導論述了陀螺的進動過程，并探討了其在外界微小擾動下的穩(wěn)定性，指出了高速自旋的陀螺具有良好的抵御外界擾動的能力及其物理力學背景。

陀螺力學；進動與章動機理；進動穩(wěn)定性； 角動量定理

0　引言

高速旋轉(zhuǎn)的陀螺在受到外界微小擾動時，并不會倒下而是陀螺自身的對稱軸將繞空間中的固定軸做微小的擺動。陀螺這種良好的抵御外力而保持穩(wěn)定的能力，使得其廣泛的應(yīng)用于現(xiàn)代工程技術(shù)中，如飛機和船舶的慣性導航與控制、隧道和石油勘探的精密定位儀器，以及微機電系統(tǒng)中的各種慣性傳感器［1］等。陀螺的運動可以用傳統(tǒng)的剛體動力學進行描述。陀螺的運動具有良好的定軸性，在受到外力矩的作用下會發(fā)生進動和章動。這種運動模式在天體物理中也頻繁出現(xiàn)，行星或衛(wèi)星在只受到中心引力的作用下，其軌道法向在慣性空間保持不變，而在受到微小外力后，軌道面會發(fā)生進動。以地球為例［2］，地球自轉(zhuǎn)的瞬時軸為地軸，地軸在旋進運動時與黃道面法線的夾角也會微小變化，這成為地球的章動，而天文學中觀察到的歲差與章動來自同樣的原因：（1）地球形狀本身的扁平型和地軸的傾斜性；（2）月球或太陽對地球引力的不均勻性。因此，對陀螺進動和章動的動力學分析，無論是對于現(xiàn)代工程技術(shù)，還是天文物理科學的發(fā)展都具有重要的意義。陀螺儀基于嚴格數(shù)學處理的動力學分析較為復雜，對工程實際的應(yīng)用具有一定的難度。本文從剛體動力學出發(fā)，簡明扼要的推導了陀螺的進動機 理；從微小擾動的角度出發(fā)進一步給出了進動穩(wěn)定性和章動的簡化解析式，詳細的探討了陀螺儀在受到微小擾動后的動力學過程和穩(wěn)定性條件。

1　陀螺進動過程分析

如圖1（a）所示，陀螺底端與地面接觸點為O點，在固定坐標系OXYZ中的陀螺繞其自身的旋轉(zhuǎn)軸OZ'處于高速自旋狀態(tài)，旋轉(zhuǎn)角速度為ω，自身旋轉(zhuǎn)軸OZ'和固定坐標系OZ軸的夾角為θ，質(zhì)量為m的陀螺重心為圖中C點。為簡化問題描述，設(shè)此時陀螺剛好運動至YOZ平面（即OZ'軸運動 至在YOZ平面內(nèi)），陀螺繞OZ'軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。

經(jīng)過初步分析，可以得到當陀螺自旋角速度極低或者不轉(zhuǎn)動時，陀螺將無法保持穩(wěn)定而倒下。當陀螺以一定角速度ω自轉(zhuǎn)時，在重力繞OZ軸的力矩作用下，陀螺自轉(zhuǎn)軸OZ'還將會繞著OZ軸“公轉(zhuǎn)”，這種“公轉(zhuǎn)”運動就是陀螺的進動。陀螺運動過程受到的諸多力之中只有重力存在繞著OZ軸的力矩，該力矩的方向在所研究時刻（即OZ'軸運動至在YOZ平面內(nèi)時）垂直于YOZ平面，重心C到O點的距離為l，在Δt時間內(nèi)，自轉(zhuǎn)軸OZ'繞OZ軸轉(zhuǎn)過的角度為Δα，如圖 1（b）所示。由角動量定理可得：

圖1?。╝） 陀螺自旋模型圖　　 （b） 陀螺進動力學分析圖

由上式可得，陀螺進動角速度為：

由上式即可得到進動角速度Ω與重力矩和角動量相關(guān)。隨著陀螺自轉(zhuǎn)角速度增大，進動角度會減小。需要說明的是，轉(zhuǎn)動慣量J與陀螺自身質(zhì)量存在較大的關(guān)聯(lián)，因此上式主要說明了陀螺進動角速度與自轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系。特別地，當自轉(zhuǎn)角速度特別小，即ω→0時，可以得到Ω→+∞，這與實際情況相違背，因此此時陀螺已經(jīng)無法穩(wěn)定；實際上，當ω特別小的時候，陀螺由于自身的慣性效應(yīng)，無法提供一個大的進動角速度而維持穩(wěn)定狀態(tài)，因此，一般來講，所研究的陀螺運動都是考慮自轉(zhuǎn)角速度遠大于進動角速度。同時，考慮到自轉(zhuǎn)角速度的矢量性，在同等大小的自轉(zhuǎn)角速度下，方向相反后，也會導致進動角速度反向。

因此，在各式各樣的微精密儀器中，可以通過調(diào)整陀螺儀自身的自轉(zhuǎn)角速度方向從而實現(xiàn)對進動角速度方向的調(diào)節(jié)與控制。

2　陀螺進動穩(wěn)定性分析

如第 節(jié)所述，在陀螺進動過程中存在微小擾動時，會出現(xiàn)自轉(zhuǎn)軸上下的小擺動，這種小的擺動就是章動。對章動的研究一方面可以更加深入的認識陀螺進動的穩(wěn)定性；另一方面可以對各種天文現(xiàn)象進行更加合理的解釋。在不考慮外界微小擾動時，陀螺的自轉(zhuǎn)軸OZ'端部能繞OZ軸作圓周運動。在獲得了一些初始的擾動后，端部就會在ZOZ'平面上繞先前的圓周運動軌跡有上下的擺動，如圖2所示。英國天文物理學家布拉德雷（J.Braley）觀測得到地球地軸的章動周期大約為18.6年，而在我國古代歷法中就把19年成為一“章”，這就是最初對陀螺 力學中“章動”的認識和論述。

圖2?。╝）陀螺章動示意圖　 （b）陀螺章動動力學分析

如圖 2所示，在一個很短的Δt1時間內(nèi)，陀螺受到一個力矩M1的作用，使得其自轉(zhuǎn)軸OZ' 在ZOZ'面內(nèi)由圖示中的OZ1'的位置偏移至OZ2'的位置，在此過程中，角動量的變化為LΔθ。由角動量定理可以得到有：

可得有由于外力矩M1的作用，偏轉(zhuǎn)角Δθ為：

由上式可知，一方面對于高速自旋的陀螺，小擾動導致的偏轉(zhuǎn)角度Δθ會非常小，其對稱軸方向幾乎不變。因此，高速自旋的陀螺具有短時間抗干擾的能力，而且自轉(zhuǎn)角速度越大，這種抗干擾的能力越強。利用陀螺這種自旋穩(wěn)定性，可以將高速自旋的陀螺儀安裝在飛行器、艦船等載體上，并讓其自轉(zhuǎn)軸指向固定的方位，則當載體姿態(tài)發(fā)生變化時，能用陀螺裝置系統(tǒng)進行測量和控制。

另一方面，當陀螺受到較長時間的干擾，即公式（4）中的外力矩沖量M1Δt1較大時，陀螺會發(fā)生顯著的偏移，這種偏移導致的結(jié)果是使得在垂直于ZOZ'平面存在一個新的角動量分量，使得第2節(jié)中的公式（1）對應(yīng)的角動量定理右側(cè)有新的角動量項，最終使得陀螺在ZOZ'平面內(nèi)存在周期性擺動的章動模式。進一步地，章動過程中，綜合考慮外力矩M的作用，取Δt時間進行研究，根據(jù)角動量定理，陀螺下傾的角動量為［3］：

其中，上式等號右側(cè)第二項為穩(wěn)定旋進狀態(tài)對應(yīng)的角動量增量。最初ΔL'＞0，即外力矩相對較大、破壞穩(wěn)定進動狀態(tài)時，可得，此時陀螺將繼續(xù)偏離初始穩(wěn)定進動的位置，使得圖2（b）中的θ角繼續(xù)增大。隨著θ的繼續(xù)增大使得ΔL'=0即時，陀螺角動量不再增加，但是θ角會由于慣性繼續(xù)增長，從而導致ΔL'＜0即Ω，陀螺由此得到了回復到初始位置的角動量，自旋軸對應(yīng)的θ角由增大變?yōu)闇p小，從而使得發(fā)生θ角的周期性擺動，即章動。

3　總結(jié)

陀螺力學在現(xiàn)代工程技術(shù)與天文物理科學的研究中都具有重要的意義。在飛機和船舶的慣性導航與控制、隧道和石油勘探的精密定位儀器，以及微機電系統(tǒng)中的各種慣性傳感器等各種尖端科技與工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

本文系統(tǒng)性的對陀螺進動過程進行了論述，通過角動量定理推導了陀螺進動角速度與自旋速度的關(guān)系，并詳細探討了在外界微小擾動作用下的進動穩(wěn)定性。

［1］ 成宇翔. MEMS微陀螺儀研究進展［J］.微納電子技術(shù)，2011.5，48（5）：277～285.

［2］ 于鳳軍.地球章動原因的分析與計算［J］.大學物理，2011.9，30（9）：1～9.

［3］ 廖耀發(fā)，等.陀螺與陀螺儀進動及章動的一種初等分析［J］. 2004.10， 19（5）：43～46

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1671-0711（2016）08（下）-0062-02