劉晨晗　 董　赟,3　 陳偉宇　 陶　毅　 蔡　爽 魏志勇　 畢可東　 楊決寬　 陳云飛

(1東南大學(xué)機械工程學(xué)院, 南京 211189)(2東南大學(xué)江蘇省微納生物醫(yī)療器械設(shè)計與制造重點實驗室, 南京 211189)(3蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院, 蘭州 730050)

?

多層石墨烯納米帶的法向熱傳導(dǎo)

劉晨晗1,2董赟1,2,3陳偉宇1,2陶毅1,2蔡爽1,2魏志勇1,2畢可東1,2楊決寬1,2陳云飛1,2

(1東南大學(xué)機械工程學(xué)院, 南京 211189)(2東南大學(xué)江蘇省微納生物醫(yī)療器械設(shè)計與制造重點實驗室, 南京 211189)(3蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院, 蘭州 730050)

為了探討納米帶橫截面積和制造過程中可能引起的凸起結(jié)構(gòu)對多層石墨烯納米帶法向熱傳導(dǎo)的影響,采用了能夠反映納米尺度下聲子波屬性和量子效應(yīng)的原子格林函數(shù)方法來進行計算研究.結(jié)果表明,石墨烯納米帶單位面積法向熱導(dǎo)與橫截面積呈負相關(guān),并最終趨近于體態(tài)值100MW/(m2·K).造成此現(xiàn)象的原因是隨著橫截面積的增大,增加的聲子支主要位于高頻區(qū)域,而相對于低頻聲子,高頻聲子在界面處的透射值較小.另外,聲子局域態(tài)密度和透射函數(shù)的計算結(jié)果表明,凸起會改變熱流的傳遞方向和降低熱流傳遞的效率,從而減小法向熱導(dǎo).

原子格林函數(shù)法;多層石墨烯納米帶;聲子;透射函數(shù);熱導(dǎo)

復(fù)合材料目前有很多潛在的應(yīng)用,但其本身的低熱導(dǎo)率成為了一個很大的限制.石墨烯[1],一種具有非常高熱導(dǎo)率的二維材料[2],被認為是用來增強復(fù)合材料熱導(dǎo)率的很好的添加劑.目前關(guān)于以石墨烯為添加劑的復(fù)合材料的熱學(xué)研究已經(jīng)非常廣泛[3-5].復(fù)合材料的熱導(dǎo)率主要由以下幾個方面決定:石墨烯添加劑和基底的熱導(dǎo)率;添加劑的比例、形態(tài)和分布;石墨烯與基底材料的界面熱阻.然而通過計算和實驗發(fā)現(xiàn)這種復(fù)合材料的熱導(dǎo)率并沒有明顯提升.文獻[6-7]研究表明，石墨烯放到基底上或者嵌入到另外的材料中,其本身的熱導(dǎo)率會下降很多.而文獻[8]研究表明，可能并不是石墨烯熱導(dǎo)率的減少導(dǎo)致復(fù)合材料熱導(dǎo)率提高不明顯.考慮到石墨烯和基底材料在界面處態(tài)密度的差異,人們普遍認為界面熱阻是限制復(fù)合材料熱導(dǎo)率提高的主要因素.然而石墨烯-基底之間的界面熱阻大小和測量的方式有很大關(guān)系[9].文獻[10]計算結(jié)果表明，平行排布的界面熱導(dǎo)要遠遠小于垂直排布的熱導(dǎo)，但該計算結(jié)果中并沒有考慮多層石墨烯橫截面尺寸的效應(yīng).在納米尺度下,由于尺寸效應(yīng),聲子模式少和平均自由程短會限制材料的熱導(dǎo)率,導(dǎo)致其遠小于體態(tài)值,所以研究橫截面積大小對多層石墨烯法向熱傳遞的影響是非常必要的.考慮有限大小的橫截面積,所以整個結(jié)構(gòu)稱為多層石墨烯納米帶.

很多實際應(yīng)用的微機電裝置的特征尺寸漸漸趨近于納米尺度,隨之出現(xiàn)了很重要的熱傳遞問題[11].例如溫度每升高1 ℃,對裝置的壽命、穩(wěn)定性和可靠性都有很大的影響[12].石墨烯非常大的面內(nèi)熱導(dǎo)率,使基于石墨烯材料的下一代微機電系統(tǒng)具有非常好的應(yīng)用前景.所以從下一代微機電系統(tǒng)的主體材料方面分析,研究橫截面積尺寸對多層石墨烯納米帶熱傳遞的影響是非常重要的.

考慮到在制造過程中,由于隨機因素的影響,納米帶中某一部分可能會出現(xiàn)凸起或扭曲,所以本文采用原子格林函數(shù)方法研究了橫截面積和結(jié)構(gòu)凸起對多層石墨烯納米帶法向熱傳導(dǎo)的影響.

1　格林函數(shù)算法

根據(jù)Landauer公式[13],可以計算出通過2個熱浴之間研究對象的熱流J:

(1)

T(ω)=tr(GrΓLGaΓR)

(2)

式中,Gr=(Ga)+為中間研究對象的格林函數(shù);ΓL，ΓR表示中間和左(右)端的相互作用.在本文的研究中不考慮電聲耦合以及聲子之間的散射,所以格林函數(shù)G滿足如下方程[14]:

[(ω+iη)2I-K]G=I

(3)

式中,η為無窮小的正數(shù),在計算過程中要調(diào)試這個值以判斷結(jié)果的收斂性;I為單位矩陣;K為力常數(shù)矩陣,表示原子之間相互作用的情況,可以用原子有限位移差分法計算:

(4)

式中,i,j為原子振動的方向;u為偏離平衡位置的位移;E為系統(tǒng)的總能量;M為原子的質(zhì)量.依據(jù)式(1)～(4)可以發(fā)現(xiàn)，整個計算過程中與溫度有關(guān)的只有玻色-愛因斯坦統(tǒng)計,所以熱導(dǎo)可以用下面的公式計算:

(5)

本文面內(nèi)碳碳鍵相互作用采用Tersoff[15]作用勢,層間相互作用采用范德華力[16].

2　計算模型

計算模型如圖1所示,根據(jù)格林函數(shù)的要求,系統(tǒng)被分成3個部分:左邊熱浴L,中間研究對象C以及右邊熱浴R.圖1(a)為均一橫截面積的多層石墨烯納米帶模型,在計算過程中通過改變橫截面積大小來研究其對法向熱導(dǎo)的影響;圖1(b)為截面處有凸起的多層石墨烯納米帶模型,在這個模型中L和R的橫截面積固定,由于石墨烯面內(nèi)各向同性,只改變中間部分Cy方向的尺寸以研究凸起對法向熱導(dǎo)的影響.

(a) 均一橫截面積的多層石墨烯納米帶

(b) 橫截面積凸起的多層石墨烯納米帶

3　結(jié)果與討論

3.1橫截面積對納米帶法向熱傳導(dǎo)的影響

圖2(a)顯示隨著橫截面積的增大,AA和AB兩種堆疊模式的石墨烯納米帶法向熱導(dǎo)隨之增大,這是因為隨著面積的增大,更多的聲子參與到界面熱傳遞中.圖2(b)計算的聲子透射函數(shù)T(f)可以更精確地解釋上述結(jié)果,圖中，頻率f=ω/(2π).對于AA堆疊的多層石墨烯納米帶,通過比較不同橫截面積處的透射函數(shù)發(fā)現(xiàn)隨著面積的增大,聲子透射函數(shù)在整個頻率范圍內(nèi)都隨之增大.由式(5)可知,熱導(dǎo)與透射函數(shù)呈正相關(guān),所以法向熱導(dǎo)會隨著橫截面積的增大而增加.另外,從圖2(b)進一步可以發(fā)現(xiàn):高頻聲子有較小的透射函數(shù)值.這是因為在納米帶中,高頻段的聲子支一般比較平坦,在整個布里淵區(qū)內(nèi)的頻率差較小,所以高頻聲子對透射函數(shù)的貢獻較小.結(jié)合玻色-愛因斯坦統(tǒng)計,得出在以范德華力聯(lián)結(jié)的界面高頻聲子對熱導(dǎo)的貢獻要小于低頻聲子,這與文獻[17-18]的實驗結(jié)果相符合.

(a) AA和AB堆疊納米帶法向熱導(dǎo)與橫截面積的關(guān)系

(b) AA堆疊納米帶在不同橫截面積處聲子透射函數(shù)與頻率的關(guān)系

單位面積的熱導(dǎo)是表征物體傳熱能力的重要物理量.用總熱導(dǎo)除以橫截面積得到多層石墨烯納米帶單位面積法向熱導(dǎo)與橫截面積的關(guān)系,如圖3(a)所示.結(jié)果顯示，單位面積熱導(dǎo)與橫截面積呈負相關(guān).選取圖3(a)中2個橫截面積SA和SB,利用晶格動力學(xué)方法計算納米帶的色散關(guān)系.結(jié)果發(fā)現(xiàn),當(dāng)納米帶的橫截面積從SA增加到SB時,聲子支增加的主要部分位于高頻段,而根據(jù)前文論述,高頻聲子對界面熱導(dǎo)的貢獻較小,所以單位面積熱導(dǎo)隨著面積的增加而減少.當(dāng)橫截面積繼續(xù)增大時,圖3(a)顯示單位面積熱導(dǎo)漸漸收斂,趨近于用無窮大橫截面積計算的界面熱導(dǎo)100MW/(m2·K)[19].聲子透射函數(shù)被用來解釋這一收斂現(xiàn)象.圖3(b)顯示了不同橫截面積處的透射函數(shù)比與聲子頻率的關(guān)系.圖中只顯示了0～5THz的頻率段,因為這一頻率段的聲子對界面熱導(dǎo)的貢獻最大.圖中TC(f),TD(f),TE(f)分別表示橫截面積為SC,SD,SE時的透射函數(shù).因為透射函數(shù)比圍著一個常數(shù)做輕微的波動,所以對不同頻率聲子的透射函數(shù)比做了平均,圖3(b)中的虛水平線顯示了平均值,同時圖中也顯示了相關(guān)的面積比.據(jù)此可以計算出在不同橫截面積處單位面積的透射函數(shù)比為

(6)

由式(6)發(fā)現(xiàn)當(dāng)橫截面積大于SC(對應(yīng)的尺寸指數(shù)為(8,8)[20])時,單位面積的透射函數(shù)可以看成定值.根據(jù)式(1)和(5)可知,單位面積的熱流和單位面積的熱導(dǎo)也是定值.所以當(dāng)橫截面積大于SC時,多層石墨烯納米帶的單位面積熱導(dǎo)趨近于體態(tài)值.另外從式(6)也可以看出,隨著橫截面積的增加,單位面積的透射函數(shù)減小(盡管減小很少),從而導(dǎo)致單位面積的熱導(dǎo)下降,進一步驗證了單位面積熱導(dǎo)與橫截面積呈負相關(guān)的結(jié)論.

從圖2(a)和圖3(a)中可以看出，AA堆疊的多層石墨烯納米帶的法向熱導(dǎo)比AB堆疊的要大.因為在相同的橫截面積下前者具有更大的透射函數(shù),如圖4(a)所示.聲子的局域態(tài)密度首次被用來很好地解釋了AA堆疊方式具有更大的透射函數(shù)這一結(jié)果.為了更好地進行說明,選取了2處頻率的聲子局域態(tài)密度進行計算:f1處聲子具有相同的透射函數(shù);f2處聲子透射函數(shù)差別最大.圖4(b)的計算結(jié)果表明，在頻率f1處,2種堆疊方式有相同的局域態(tài)密度(紅色代表高的局域態(tài)密度,藍色代表低的局域態(tài)密度)即相同的振動方式,所以具有相同的透射函數(shù);在頻率f2處,AA堆疊方式具有更大的局域態(tài)密度而且不同層的顏色相同,所以聲子更容易傳遞,具有更大的透射函數(shù).

(a) 單位面積熱導(dǎo)與橫截面積的關(guān)系

(b) 聲子透射函數(shù)比與頻率的關(guān)系

(a) 在相同橫截面積下不同堆疊方式透射函數(shù)與聲子頻率的關(guān)系(橫截面積為3.438 nm2)

(b) 聲子局域態(tài)密度

3.2結(jié)構(gòu)凸起對納米帶法向熱傳導(dǎo)的影響

接下來考慮結(jié)構(gòu)凸起對多層石墨烯納米帶法向熱導(dǎo)的影響.前文中的計算結(jié)果表明當(dāng)橫截面積大于SC時,單位面積的熱導(dǎo)趨于體態(tài)值,為了消除熱浴橫截面積的影響,這里令兩端的橫截面積為SC,只改變中間y方向的尺寸指數(shù)m，而x方向的尺寸指數(shù)固定為n=8.計算結(jié)果顯示隨著m的增加納米帶法向熱導(dǎo)減少,如圖5(a)所示.本文用3種機制來解釋這一現(xiàn)象：① 是圖5(b)所示的透射函數(shù).從圖中可以看出,當(dāng)m從8增加到10時,透射函數(shù)有一個明顯的減少,所以熱導(dǎo)下降劇烈;而當(dāng)m從16增加到20時,透射函數(shù)沒有明顯的變化所以熱導(dǎo)也沒有明顯的改變.② 從聲子局域態(tài)密度出發(fā).如圖5(c)所示,當(dāng)m>8時,熱流在通過凸起時需要改變方向,所以熱導(dǎo)下降;且當(dāng)m>16時,聲子局域振動態(tài)密度相同,導(dǎo)致相同的透射函數(shù)和法向熱導(dǎo).③ 用熱阻串聯(lián)模型來進行解釋.圖5(d)是圖1(b)中研究模型的等效熱路圖,其中R1=R3表示凸起與左右兩側(cè)的接觸熱阻相等,R2表示凸起本身的熱阻,很明顯R1=R3?R2.當(dāng)m增加時,R1和R3增加,熱導(dǎo)減少;當(dāng)m>16時,R1和R3保持不變,盡管R2增加,但相較于R1和R3增加很小,所以熱導(dǎo)沒有明顯變化.根據(jù)上述3個原因,可以得出凸起可以改變熱流的方向和降低熱傳遞的效率.

(a) 納米帶法向熱導(dǎo)與凸起尺寸大小的關(guān)系(n=8)

(b) 透射函數(shù)在不同凸起大小處與聲子頻率的關(guān)系

(c) 聲子局域態(tài)密度

(d) 等效熱學(xué)模型

4　結(jié)語

本文采用原子格林函數(shù)方法研究了橫截面積大小和凸起結(jié)構(gòu)對多層石墨烯納米帶法向熱導(dǎo)的影響.計算結(jié)果表明,隨著橫截面積的增大,納米帶單位面積的熱導(dǎo)下降.原因是高頻聲子對界面熱傳導(dǎo)的貢獻小于低頻聲子.進一步增大橫截面積,發(fā)現(xiàn)單位面積法向熱導(dǎo)趨于體態(tài)值,這是由單位面積的聲子透射函數(shù)不變造成的.另外,本文發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)凸起會改變熱流的方向和降低熱傳遞的效率.

< class="emphasis_italic">References

)

[1]NovoselovKS,GeimAK,MorozovSV,etal.Electricfieldeffectinatomicallythincarbonfilms[J]. Science, 2004, 306(5696): 666-669.DOI:10.1126/science.1102896.

[2]BalandinAA,GhoshS,BaoW,etal.Superiorthermalconductivityofsingle-layergraphene[J]. Nano Letters, 2008, 8(3): 902-907.DOI:10.1021/nl0731872.

[3]YangJ,YangY,WaltermireSW,etal.Measurementoftheintrinsicthermalconductivityofamultiwalledcarbonnanotubeanditscontactthermalresistancewiththesubstrate[J]. Small, 2011, 7(16): 2334-2340.DOI:10.1002/smll.201100429.

[4]HuL,DesaiT,KeblinskiP.Thermaltransportingraphene-basednanocomposite[J]. Journal of Applied Physics, 2011, 110(3): 033517.DOI:10.1063/1.3610386.

[5]KonathamD,PapavassiliouDV,StrioloA.Thermalboundaryresistanceatthegraphene-grapheneinterfaceestimatedbymoleculardynamicssimulations[J]. Chemical Physics Letters, 2012, 527: 47-50.DOI:10.1016/j.cplett.2012.01.007.

[6]JangW,ChenZ,BaoW,etal.Thickness-dependentthermalconductivityofencasedgrapheneandultrathingraphite[J]. Nano Letters, 2010, 10(10): 3909-3913.DOI:10.1021/nl101613u.

[7]SeolJH,JoI,MooreAL,etal.Two-dimensionalphonontransportinsupportedgraphene[J]. Science, 2010, 328(5975): 213-216.DOI:10.1126/science.1184014.

[8]TianL,AnilkumarP,CaoL,etal.Grapheneoxidesdispersingandhostinggraphenesheetsforuniquenanocompositematerials[J]. ACS Nano, 2011, 5(4): 3052-3058.DOI:10.1021/nn200162z.

[9]LiuY,HuangJ,YangB,etal.Dualityoftheinterfacialthermalconductanceingraphene-basednanocomposites[J]. Carbon, 2014, 75: 169-177.DOI:10.1016/j.carbon.2014.03.050.

[10]LiuY,HuC,HuangJ,etal.Tuninginterfacialthermalconductanceofgrapheneembeddedinsoftmaterialsbyvacancydefects[J]. The Journal of Chemical Physics, 2015, 142(24): 244703.DOI:10.1063/1.4922775.

[11]ChungDDL.Thermalinterfacematerials[J]. Journal of Materials Engineering and Performance, 2001, 10(1): 56-59.DOI:10.1361/105994901770345358.

[12]PopE.Energydissipationandtransportinnanoscaledevices[J]. Nano Research, 2010, 3(3): 147-169.DOI:10.1007/s12274-010-1019-z.

[13]RegoLGC,KirczenowG.Quantizedthermalconductanceofdielectricquantumwires[J]. Physical Review Letters, 1998, 81(1): 232-235.DOI:10.1103/physrevlett.81.232.

[14]WangJS,WangJ,LüJT.Quantumthermaltransportinnanostructures[J]. The European Physical Journal B, 2008, 62(4): 381-404.DOI:10.1140/epjb/e2008-00195-8.

[15]LindsayL,BroidoDA.Erratum:OptimizedTersoffandBrennerempiricalpotentialparametersforlatticedynamicsandphononthermaltransportincarbonnanotubesandgrapheme[Phys.Rev.B81, 205441 (2010)] [J]. Physical Review B, 2010, 82(20): 209903.DOI:10.1103/physrevb.82.209903.

[16]GirifalcoLA,HodakM,LeeRS.Carbonnanotubes,buckyballs,ropes,andauniversalgraphiticpotential[J]. Physical Review B, 2000, 62(19): 13104-13110.DOI:10.1103/PhysRevB.62.13104.

[17]YangJ,ShenM,YangY,etal.Phonontransportthroughpointcontactsbetweengraphiticnanomaterials[J]. Physical Review Letters, 2014, 112(20): 205901.DOI:10.1103/physrevlett.112.205901.

[18]FuQ,YangJ,ChenY,etal.Experimentalevidenceofverylongintrinsicphononmeanfreepathalongthec-axisofgraphite[J]. Applied Physics Letters, 2015, 106(3): 031905.DOI:10.1063/1.4906348.

[19]LiuC,WeiZ,ChenW,etal.Pressureeffectsonthethermalresistanceoffew-layergraphene[J]. Physics Letters A, 2016, 380(1): 248-254.DOI:10.1016/j.physleta.2015.09.007.

[20]SaitoR,DresselhausG,DresselhausM.S. Physical properties of carbon nanotubes [M].ImperialCollegePress, 1998: 37-45.

Cross-planethermaltransportinmultilayergraphenenanobundles

LiuChenhan1,2DongYun1,2,3ChenWeiyu1,2TaoYi1,2CaiShuang1,2WeiZhiyong1,2BiKedong1,2YangJuekuan1,2ChenYunfei1,2

(1SchoolofMechanicalEngineering,SoutheastUniversity,Nanjing211189,China) (2JiangsuKeyLaboratoryforDesignandManufactureofMicro-NanoBiomedicalInstruments,SoutheastUniversity,Nanjing211189,China) (3SchoolofMechanicalandElectronicalEngineering,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou730050,China)

Inordertoexploretheeffectsofcrossareaandjunction,whichmaybecausedduringthemanufacturingprocess,onthecross-planethermaltransportofmultilayergraphenenanobundles,acalculationresearchisconductedbyusingtheatomicGreen’sfunctionmethod,whichcandescribethephononwavepropertyandquantumeffectsonthenanoscale.Theresultsshowthatthethermalconductanceperunitareaofmultilayergraphenenanobundlesisnegativelydependentonthecrossareaandfinallyconvergestothebulkvalue100MW/(m2·K).Thereasonisthatthemostincreasedpartsofphononsarelocatedinhigh-frequencyregionasthecrossareaincreasing,whilehigh-frequencyphononshavelowertransmissionvalueattheinterfacethanlow-frequencyphonons.Inaddition,theresultsofphononlocaldensityofstatesandtransmissionfunctionshowthatthejunctioncanchangetheheatconductiondirectionandreduceheattransportefficiency,thusdecreasingthecross-planethermalconductance.

atomicGreen’sfunctionmethod;multilayergraphenenanobundles;phonon;transmissionfunction;thermalconductance

10.3969/j.issn.1001-0505.2016.05.015

2016-01-26.作者簡介: 劉晨晗(1989—)，男，博士生；陳云飛(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，yunfeichen@seu.edu.cn.

江蘇省普通高校學(xué)術(shù)學(xué)位研究生創(chuàng)新計劃資助項目(KYLX15_0058)、東南大學(xué)優(yōu)秀博士學(xué)位論文培育基金資助項目(YBJJ1541)、國家自然科學(xué)基金資助項目(51665030).

:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.05.015.

O469

A

1001-0505(2016)05-0987-05

引用本文: 劉晨晗,董赟,陳偉宇,等.多層石墨烯納米帶的法向熱傳導(dǎo)[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,46(5):987-991. < class="emphasis_italic">DOI