肖武，張毅，呂俊鋒，李中華，賀高紅

?

P-圖理論在過程網絡綜合中的應用研究進展

肖武，張毅，呂俊鋒，李中華，賀高紅

（大連理工大學精細化工國家重點實驗室，膜科學與技術研究開發(fā)中心，遼寧大連116024）

隨著石化生產裝置日趨大型化、復雜化和一體化，過程系統(tǒng)中的操作單元之間以及物料流、能量流和信息流之間的組合關聯(lián)復雜度不斷增加，P-圖理論通過公理約束生成嚴格超結構，可減少冗余結構的產生，得到了越來越廣泛的應用。首先概述了P-圖理論的數學定義、基本公理和求解算法及工作流程等，通過案例介紹了P-圖理論的建?？蚣芎蛨D形表示。然后系統(tǒng)總結了自1992年P-圖理論提出以來，其在分離網絡綜合、反應路徑識別、換熱網絡綜合等傳統(tǒng)過程網絡綜合的應用，以及近年來在工藝路w線選擇、供應鏈與調度優(yōu)化等新興研究領域的擴展。最后，比較分析了P-圖理論與數學規(guī)劃法的各自優(yōu)勢，提出了利用P-圖求解非線性問題的改進思路，展望了P-圖理論未來的研究方向，包括考慮經濟、環(huán)境等因素的多目標優(yōu)化，以及P-圖與數學規(guī)劃相結合，高效處理復雜大規(guī)模非線性規(guī)劃問題等。

P-圖；過程網絡綜合；系統(tǒng)工程；模型；優(yōu)化

引 言

過程工業(yè)作為國民經濟的重要組成部分，隨著科學技術的進步和生產力水平的提高，得到突飛猛進的發(fā)展。隨著國家節(jié)能減排標準的提高和工業(yè)品需求種類的增加，過程工業(yè)正在由高能耗、高污染、單一化向清潔化、精益化、多樣化的方向轉變。這就要求工業(yè)過程的工藝設計和改造不僅要考慮經濟性，還要考慮環(huán)境影響、可操作性、可靠性、安全性等指標，這也對過程系統(tǒng)綜合的理論方法提出了新的要求和挑戰(zhàn)[1]。

過程網絡綜合（process network synthesis, PNS）[2]作為過程系統(tǒng)綜合的一個重要分支，一般被定義為，按照規(guī)定的系統(tǒng)特性，尋找合適的系統(tǒng)結構及各個子系統(tǒng)的性能，并達到規(guī)定目標下的最優(yōu)組合[3]。目前，國內外常見的過程系統(tǒng)綜合方法有：直觀推斷法、夾點分析法、數學規(guī)劃法和圖論方法等[4-5]。其中基于經驗規(guī)則的直觀推斷和基于熱力學原則的夾點分析方法，在多層次多因素的過程網絡綜合中，無法實現不同層次各子系統(tǒng)之間的權衡，因此難以實現過程系統(tǒng)綜合的全局最優(yōu)。

近年來，過程綜合中常用的方法是基于超結構[6]和狀態(tài)空間[7]的數學規(guī)劃法，該類方法的主要思想是利用數學模型來描述過程系統(tǒng)，并得到給定目標下的最優(yōu)網絡結構與結構參數。具體步驟包括選擇超結構、建立數學模型、研發(fā)求解算法等。相比于直觀推斷法和夾點設計法而言，這類方法的優(yōu)點是能同時考慮過程系統(tǒng)中的多層次影響因素，并對其進行定量化代數表示，理論上可以得到全局最優(yōu)設計。所以數學規(guī)劃法在較長的時間內，都是過程網絡綜合與優(yōu)化的主流方法。

但是，隨著過程網絡的日益復雜，對應數學模型的復雜度也隨之增加，伴隨出現的問題有：超結構中冗余結構數量增多；模型非線性增加，求解時初值依賴度較高；對同一個實際問題，不同研究者可能抽象得到不同的數學模型[8]；建模困難，模型開發(fā)周期長等。

為了盡可能降低冗余結構對模型復雜度的影響，并縮短模型開發(fā)周期，Friedler等[9]提出了基于圖論的過程網絡綜合理論框架，即P-圖理論（process graph, P-graph），其主要特點包括：圖形化建模，自動生成最大超結構，支持邏輯約束，求解算法較為完善，網絡結構優(yōu)化與目標優(yōu)化相結合等。經過20多年的研究，P-圖理論逐漸發(fā)展成為集理論方法、建模平臺、求解算法于一體的較成熟理論框架。由于P-圖理論提供了一個友好的圖形建模環(huán)境，即使在沒有充足建模背景知識的情況下，借助算法和公理約束，依然能夠生成一個過程網絡的嚴格超結構，通過邏輯約束，減少冗余結構，因此，吸引了越來越多學者的關注。圖1是P-圖理論的模型層次圖，外層為網絡約束層，其嚴格超結構（rigorous superstructure）由公理和邏輯約束共同生成，這一層主要是保證所有子結構的合理性；內層為設備約束層，需對每一個候選設備添加約束。使用P-圖理論對模型求解時，通過加速分支定界算法為不同的子結構分配所需的設備約束，可以有效地減少冗余結構對模型復雜度的影響。

圖2是近年來發(fā)表的關于P-圖理論的文獻統(tǒng)計與文獻被引用情況統(tǒng)計，可以看出，P-圖理論的研究呈逐年上升趨勢，國外持續(xù)對P-圖理論進行研究并不斷拓展其應用范圍，特別是近八年來，得到了廣泛的研究。但目前國內對其研究和應用還較少，因此，本文從P-圖的理論基礎及其在過程網絡綜合中的應用兩個方面闡述該理論的研究進展，以期擴展其在國內過程系統(tǒng)工程領域的應用。

1 P-圖理論基礎

1.1 P-圖建模框架

一個過程網絡模型中，一般包含單元操作、原料、產品、中間產物等基本元素。在P-圖理論中，使用表示原料，表示中間物料，表示產品，表示設備，來描述這些過程元素。廣義地說，也可以將其看作過程事件（單元操作）、起始狀態(tài)（原料）、最終狀態(tài)（產品）、中間狀態(tài)（中間產物）的有序組合。

這里通過一個案例說明如何將一個工藝流程圖（PFD）轉換成P-圖。圖3所示是某合成工段的生產工藝，原料A、B經過單元操作O1得到中間物料E，原料C經過單元操作O2得到中間物料E，原料D經過單元操作O3得到中間物料F，最后，E和F的混合物經過操作單元O4，得到最終產品G。

對于圖3所示的工藝過程，其對應的P-圖表示如圖4所示。從圖中可以很清晰地示意出原料A、B、C、D通過單元操作O1、O2、O3生產中間產物E、F，然后通過單元操作O4生產最終產物G的工藝過程。體現了基于P-圖的建模過程具有的簡單、直觀、邏輯關系清晰、拓展性強等特點。

在P-圖中，有且只有兩種類型的弧，一種由物質指向單元操作，另一種由單元操作指向物質，弧長的物理意義是與之相連的物質的消耗（生成）量，可以作為待優(yōu)化變量，而與單元操作相連的弧之間的長度比是由單元操作的特性決定的，如對設備O1而言，每生成1 mol E需要消耗2 mol A和1.5 mol B，所以從A到O1、B到O1和O1到E的3個弧的長度比為2:1.5:1。

此外，利用P-圖進行過程綜合時，還需已知：

（1）原料（產品）集合包括用量（產量）范圍和價格范圍，一般在原料頂點里約束；

（2）每個操作單元集合包括設備投資、操作費用和設備折舊周期等，一般在設備頂點里約束；

（3）與單元操作相連的各個流股的消耗（生成）比例，一般在與單元操作相連的弧上進行約束。

1.2 P-圖的數學定義

P-圖數學本質是二分圖（偶圖）[10]，主要包含以下幾個集合，有限非空集合表示物質，有限非空集合表示單元操作。其中物質集合又包含原料子集合和產品子集合。

一個過程網絡問題可以表示為（,,）或者（,），且滿足

í，í且?=? (1)

對一個特定的操作單元而言，假設是進料，是出料，則由該操作單元就可以表示成（,），也就是說，操作單元集合是一對物質集合的析取，于是可以得到

??() ×?() (2)

其中，超集? ()表示中所有子集的組合，式（2）的物理意義為，設備集合是進料集合和出料集合的析取組合。

從圖論的角度，物質集合與單元操作集合共同構成了P-圖的頂點，即

=∪(3)

而P-圖的弧是類頂點與類頂點之間的連接，即

=1∪2(4)

這里1是由單元操作指向物質的弧，2是由物質指向單元操作的弧，即

1= { (,) |= (,)∈and∈} (5)

2= { (,) |= (,)∈and∈} (6)

1.3 P-圖的基本公理

在一個過程網絡超結構的構建中，往往會出現只有數學意義而沒有工程意義的冗余結構或重復連接，為了避免這類冗余結構使過程網絡模型出現組合爆炸，Friedler等[11]在提出P-圖理論的同時，增加了5條公理，在不丟失可行解的情況下，最大程度地減少不合理網絡子結構的生成。

（1）產品集合P中的每個元素必須在超結構中出現；

（2）一個物質為原料的充分必要條件是該物質不是任何一個單元操作的輸出；

（3）每一個單元操作都需要在過程網絡中定義；

（4）過程網絡中的任何一個單元操作都有至少一條路徑到達產品；

（5）每一個物質都與至少一個單元操作相連。

公理的提出，對縮小搜索問題解空間十分有幫助，文獻[12]給出了在P-圖理論框架下，使用公理與不使用公理時組合問題規(guī)模的對比，假定一個由35個操作單元構成的過程網絡，在不使用公理的情況下，對所有可能進行全排列，一共存在235– 1 = 3436×107種可能的子網絡，而使用公理約束以后，最終只剩3645種可行的子結構。

1.4 P-圖理論工作流程及算法簡介

P-圖理論的基本算法包括MSG、SSG和ABB。

MSG（maximal structure generation）：即最大結構生成算法，用于生成在滿足公理約束下，過程網絡綜合問題的最大結構，即通常所說的超結構（superstructure）；MSG算法起初由Pidgin Algol語言編寫[13]，由剔除部分和組合部分構成，屬于多項式時間算法。

SSG（solution structure generation）：即子結構生成算法，用于生成所有可行的子結構，其中也包含最優(yōu)子結構，該算法基于決策圖（decision- mapping，DM）理論[7]，用來對MSG超結構進行遍歷。

ABB（accelerated branch & bound）：即加速分枝定界算法，用于確定最優(yōu)子結構，目標函數為最小化單周期內的總費用。一般從原料節(jié)點或者產品節(jié)點開始計算，并在設備節(jié)點的選擇時結合目標函數，判斷是否引入新的設備節(jié)點，來使目標得以改善[14]。相比于傳統(tǒng)的分支定界算法的MILP（mixed integer linear programming）模型，該算法可以更加快速地完成對過程網絡的搜索[15]。

P-圖理論的工作流程如圖5所示[16]，首先，針對確定過程網絡綜合問題，使用P-圖對該問題進行描述；然后，采用公理約束以及最大結構生成（MSG）算法生成問題的過程網絡的最大結構，也就是通常所說的超結構（superstructure）；然后，根據問題的需要，既可以采用SSG算法生成所有的可行子結構，也可以采用ABB算法，配合目標函數，生成問題的最優(yōu)結構以及最優(yōu)目標。近年來，還有學者提出對于PNS問題的啟發(fā)式算法[17]。

目前，比較成熟的P-圖建模平臺是P-graph Studio，它是由PNS Studio發(fā)展而來的，由于該軟件具備以下特征，所以近年來在研究中得到較為廣泛的應用：

（1）包含完整的PNS問題求解器（MSG、SSG、ABB）；

（2）通用的建模環(huán)境，可方便地構建過程網絡綜合模型；

（3）相比于代數建模系統(tǒng)（如GAMS/AMPL），圖形化的建模環(huán)境可以加快建模過程，并方便查看計算結果。

2 P-圖理論在過程網絡綜合中的應用

P-圖理論自從誕生以來，廣泛應用在過程網絡綜合的研究中，其中幾個經典的研究方向包括分離網絡綜合、反應路徑識別、換熱網絡綜合等。下面將對這些應用進行分類綜述。

2.1 分離網絡綜合

分離網絡綜合（separation network synthesis, SNS）指的是在給定待分離原料和最終產品的情況下，找到最優(yōu)分離路線的過程。處理SNS主要方法包括啟發(fā)式算法和數學規(guī)劃法，前者主要通過啟發(fā)規(guī)則得到最終結構，而后者所得到的結果是超結構的一個子結構。但是，如果生成的超結構不完全，更優(yōu)的網絡結構就有可能被忽略。Kovacs等[18-19]在研究分離網絡綜合時，增加考慮了冗余結構與循環(huán)結構對目標函數的影響，發(fā)現相比于沒有冗余和循環(huán)的分離網絡，總費用可以減少5%。文中還指出，在過程網絡綜合中，生成嚴格超結構的必要性。在此基礎上，Kovacs等[20]在研究多股原料的分離網絡問題時，提出了生成準確超結構的計算思路，奠定了P-圖理論用于生成嚴格過程超結構的MSG算法基礎。

為使P-圖理論框架能夠更方便地處理分離網絡綜合問題，捕捉更多的潛在組合方案，Heckl等[21]提出將分離網絡綜合問題系統(tǒng)地轉化成一類過程網絡綜合問題，圖6是轉換后的包含3種物質的分離網絡P-圖超結構，原料集合表示待分離的物系，產品集合表示分離后的終產物，中間產物集合表示所有分離產物有序組合，產品與設備之間的連接弧既可以根據具體的分離網絡手動添加，也可以根據P-圖的公理約束自動生成，于是，在該圖中可以方便地表示出所有可行的子分離路線，在不產生冗余結構的同時，讓超結構所包括的子結構盡可能多。Heckl還將分離網絡問題歸納為3類，分別為單一分離路線、多個分離路線和多種原料分離，并采用SSG算法生成對應的可行分離子序列，結合費用目標函數最小化的ABB算法進行求解。

Bertok等[22]在P-圖理論的基礎上，首次將過程網絡生成、結構優(yōu)化和可行結構分析集成在同一軟件框架下，形成P-Graph Studio軟件的雛形，并以生物分離過程不同工藝路線選擇優(yōu)化為例，利用P-圖構造了汽提、萃取、吸收、精餾等不同工藝路線的組合，通過比較最小化投資費用來確定最終工藝路線，得到不同生產周期下年操作費用的變化趨勢。

含有共沸物系的分離路線設計主要包括選擇適合的共沸劑，繪制剩余曲線圖（RCM），結合剩余曲線圖確定分離路線，Feng等[23]借助P-圖提出了一種系統(tǒng)化生成可行候選序列的方法，該方法既適用于連續(xù)系統(tǒng)，也適用于間歇分離系統(tǒng)，在剩余曲線圖中，該方法根據熱力學邊界將物質分為集總物料，并通過第一原理（first principle）和最小啟發(fā)規(guī)則，自動舍棄可能產生不可行解的精餾序列的組合，并得到一系列可行分離序列。在此基礎上，Feng等[24]擴展了物質在剩余曲線圖（RCM）上的表示，將整個剩余曲線圖考慮其中，避免陷入局部搜索，另外還結合P-圖將共沸過程的剩余曲線圖自動轉換成含有摩爾流量的過程流程圖。

國內方面，許曉慧等[13]提出了基于P-圖理論的組合算法，將Douglas的階層分解法[25]、基于剩余曲線圖的啟發(fā)式方法與P-圖的MSG算法相結合，自動產生分離過程的嚴格超結構，用于普通精餾和共沸精餾分離過程。

2.2 反應路徑識別

反應路徑識別一般指在已知起始反應物、終產物、可能的中間產物和一系列基元反應的條件下，確定滿足熱力學（thermodynamic feasibility）或動力學（kinetic desirability）指標的宏觀反應，并達到潛在經濟條件的最優(yōu)。

由于組成宏觀反應的基元反應數量較多，使得枚舉類方法出現組合爆炸，最終導致問題在有限時間內難以求解。P-圖理論的公理約束主要用于減少完全超結構中不可行的子結構，于是Seo等[26]利用這一特性，提出了針對可行反應路徑的6條公理約束以及組合反應網絡的7條公理約束，并給出對應的RPIMSG（reaction path identification maximal structure generation）算法和RPISSG（reaction path identification solution structure generation）算法[27]。利用這一方法，將可行解的數量由4782968個減少為46個。在此基礎上，Fan等[28]又提出RPIRSG和NX算法，用來進一步加速子問題的生成。

同理，很多催化反應包含能量最優(yōu)（energetically favorable）和化學計量數最優(yōu)（stoichiometrically feasible）的反應路徑，如水汽轉換反應[29]、Fischer-Tropsch反應[30]、甲醇降解[31]等，利用上述基于P-圖的方法，均可以在幾秒之內得到可行解。

此外，Fan等[32]以乙烯加氫反應為例，將P-圖理論用于識別多位點催化反應的可行路徑，圖7表示在不同機理下，H2和C2H4反應生成C2H6的反應路徑P-圖超結構，圖中黑實線和與其相連的弧表示一個可能的基元反應，例如，S11表示原料H2和中間產物l1經過基元反應S11得到中間產物Hl1的過程。某些中間產物既可能由多個基元反應產生，也可能是多個基元反應的原料，在P-圖中，不僅可以清晰地表達出這些基元反應之間的邏輯關系，還可以自動有序地生成它們的組合，即反應路徑超結構。最終的反應路徑就是在特定約束下若干個基元反應的組合，也就是該超結構的一部分。Fan等通過RPIMSG算法減少了完全超結構中不可行的子結構，大大縮短了計算時間，并發(fā)現每個可行反應路徑中都包含一個共同的限速步驟，進而為多位點催化劑的設計提供一定的指導。在此基礎上，Yun等[33]又將其用于熱力學主導的生物反應可行路徑的識別過程中，進一步拓展了P-圖理論這一高效圖論算法的應用范圍。

2.3 換熱網絡綜合

在一個含換熱過程的網絡綜合中，可以通過提取冷熱流股信息，利用夾點技術或者數學規(guī)劃法進行換熱過程綜合，這類方法一般不考慮分離過程的變化。Nagy等[34]將分離網絡綜合（separation network synthesis，SNS）與換熱網絡綜合（heat exchanger network synthesis, HENS）同時考慮，提出了基于P-圖理論的組合方法，并在原P-圖理論的基礎上，提出了hP-圖，來分析不同溫位的熱量對分離效果的影響。目標函數為設備費用與操作費用的和，使用ABB算法求解，并以甲苯加氫脫烷基化的生產案例驗證了該方法的有效性。

Heckl等[35]在hP-圖的基礎上，增加了冷熱流股之間的熱量交換匹配，并在分離網絡中考慮多種分離特性（揮發(fā)性、溶解性、滲透性等），對包含混合器、分配器、分離器、公用工程及換熱器在內的設備費用進行計算，并以年度費用最小作為目標，將只能生產單一產品的原過程網絡，擴展為可生產多種產品的分離網絡。

后來，Friedler等[36]又提出了含多階段（multi period）操作的換熱網絡綜合，隨著換熱器、分離器、混合器數目的增加，超結構中的組合復雜度呈指數增長，利用P-圖理論ABB多項式時間算法，生成嚴格超結構的同時，可以極大地降低問題的計算復雜度。

2.4 工藝路線選擇

除了以上傳統(tǒng)方向外，近年來，P-圖理論還被應用于一些新興的過程網絡綜合研究方向上。隨著過程工藝數量的增多，從原料到產品的工藝路線選擇也成為過程網絡綜合的一個重要課題。

Halasz等[37]利用P-圖對可再生的生物質網絡進行建模，提出了從原料（生物飼料）到產品（乳酸、氨基酸、纖維、電能）的工藝流程選擇方案，并給出不同生產能力下對應投資費用的近似關聯(lián)。在此基礎上，Lam等[38]提出基于P-圖的多層次網絡，對開放結構的生物質網絡綜合問題進行處理，將生物質利用網絡分為供應區(qū)域、集散中心、過程加工區(qū)域和消費區(qū)域這4個層級，并允許多個生物質原料在不同層級之間相互轉移，進而利用P-圖構建生物質利用網絡的超結構，其中子問題的MILP模型在GAMS（general algebraic modeling system）平臺中使用Cplex求解，目標函數為整個網絡的利潤最大化。Halasz等[39]又進一步將P-圖用于工業(yè)園區(qū)內生成可再生資源利用網絡的超結構中，并對園區(qū)附加值最大化與環(huán)境影響最小化之間的權衡進行了初步探索。結合已有的P-圖理論，Kettl等[40]開發(fā)了RegiOpt軟件，用來優(yōu)化在某一工業(yè)區(qū)域內，能量供應網絡的最優(yōu)生產策略，并減少生產中排放物對環(huán)境的影響。

對含有燃料電池組合循環(huán)（fuel cell combined cycles, FCCC）的能量轉化系統(tǒng)進行經濟性評價，是組合復雜度較為顯著的一類問題，使用混合整數規(guī)劃（mixed integer programming, MIP）不能很方便地處理，根據P-圖可以同時生成多個次優(yōu)解的特性，Varbanov等[41]做出了不同工藝路線下，對應經濟性和環(huán)境影響兩因素的靈敏度分析，并通過P-圖的公理約束和相關算法有效地解決了這類問題。Tan等[42]利用P-圖理論確定多產品工廠的最優(yōu)操作策略，并以某區(qū)域熱電廠生產為例，提供了一種與混合整數線性規(guī)劃（MILP）等價的生產優(yōu)化方案。此外，在復雜工藝路線的運行過程中存在效率和安全性之間的權衡，氣候變化、供水、功能及庫存變化對整個工藝路線的正常運行都有一定影響，所以備選操作方案的準備是工藝過程設計的另一個重要任務，于是Tan等[43]利用P-圖可以生成多個可行解的特點，來優(yōu)化緊急工況下工藝操作的調整方案。Losada等[44]和How等[45]還將P-圖分別用于甲苯合成苯甲醛工藝路線優(yōu)化和生物質網絡回路設計。

P-圖理論的MSG算法可以自動產生分離過程的嚴格超結構，基于該算法，Xu等[46]又結合層次分解法和現象驅動的設計，提出了新的組合方法，并將其應用于生物發(fā)酵下游產品分離過程中。

在之前的工藝路線綜合中，一般均是單一周期的操作，即在某個計算周期內，操作條件和操作單元的負載保持不變，但實際生產過程中可能存在生產隨季節(jié)發(fā)生波動的工況。2015年，Heckl等[47]將P-圖理論擴展到含多階段操作的過程綜合中，通過虛擬流股連接多個不同的操作周期，可以實現不同季節(jié)間的生產操作優(yōu)化。在此基礎上，Tan等[48]將不同的設備規(guī)模也考慮在多周期操作的工藝路線綜合中。

2.5 供應鏈與資源調度

P-圖也是一種高效的企業(yè)級供應鏈網絡設計工具[49]，相比于數學規(guī)劃法，在P-圖中非常容易添加語義與邏輯約束，而且生成的網絡結構魯棒性較好。此外，借助P-圖可以同時生成多個可行解的特點，可以方便地生成一系列候選供應方案，并將經濟性以外的因素綜合考慮在內，因此非常適合業(yè)務迅速變化的小型企業(yè)。

在設計柴油供應鏈時，多個候選方案便于在緊急情況下迅速切換，以保證柴油供應的穩(wěn)定性，所以Kim等[50]借助P-圖可以生成多個可行解這一特點來完成柴油供應鏈設計；Bertok等[51]在含有調和與運輸過程的生物柴油供應網絡優(yōu)化中，通過備用方案的建立，提高了整個供應鏈的可靠性。Heckl等[52]將P-圖用于綜合考慮能量、水、供給物連接關系的可持續(xù)供應鏈設計，相比于用電能或天然氣，利用可再生能源可以降低17%費用，并且能夠明顯降低生態(tài)足跡（ecological footprint）和能值（energy）。此外，Ng等[53]在研究生物能量供應鏈時，提出同時考慮費用最小和供應鏈風險的雙目標模型，并利用P-圖ABB算法，批量產生包含最優(yōu)解在內的一系列可行解。

此外，除了可以將過程流程直接轉換成P-圖建模外，還可以將P-圖作為過程的工作流建模工具（workflow modeling）[54]，進而快速構建出包含事件、狀態(tài)變化的抽象模型。

如車輛調度問題就是尋求滿足一定時間、空間約束的最優(yōu)車輛行駛路線，圖8是車輛運輸調度過程的P-圖超結構表示，在該超結構中，由上至下表示時間的推移與運輸任務的進度，黑實線表示每輛卡車可能的運輸事件，中間的實心圓表示卡車在不同時間點所在的位置，如卡車R1可以先在Tihany完成P1任務，再在8: 40之前趕去Veszprem完成P3任務；也可以直接趕去Veszprem執(zhí)行P3任務，而P1任務由其他卡車完成。該運輸過程不僅存在調度任務的編排，還要考慮到卡車行駛過程中的CO2排放對環(huán)境的影響，于是在P-圖中可以增加CO2這一特殊原料集合，用來計算整個過程的CO2排放總量，這樣，就借助P-圖描述一個具有多影響因素的優(yōu)化問題。利用SSG算法產生多個近優(yōu)解的特點，Barany等[55]將費用最小作為主優(yōu)化目標，將CO2排放量作為次優(yōu)化目標，構成多目標優(yōu)化，進而得到包含CO2排放的車輛分配與調度方案，從表1中可以發(fā)現，從運輸費用角度考慮，路線3比路線4更好，但是從CO2排放的角度，路線4碳排量更小，更加環(huán)保。在此基礎上，文獻[56]增加了約束的上下限，并考慮了車輛運輸過程中的其他活動以及對應的固定費用，使結果更接近真實的調度問題。此外，在解決含維護計劃的車輛調配問題時，Adonyi等[57]利用P-圖對車輛行程進行離散時間建模，證明了在車輛平均使用年數過長而且經常存在故障的公交體系中，定期維護可以明顯降低整個系統(tǒng)的運營費用。

表1 考慮CO2排放的運輸過程優(yōu)化路線[55]

3 P-圖理論與數學規(guī)劃法的比較

表2從理論基礎、建模思想、計算復雜度及各自擅長的問題類型等方面對數學規(guī)劃法和P-圖理論進行比較。從表2中可以看出，兩種方法均可以解決過程網絡綜合問題，在網絡超結構的構建與求解效率上，P-圖更具有優(yōu)勢，而在處理非線性較強、不易圖形化的過程綜合問題時，數學規(guī)劃法仍具有不可替代的作用。

表2 P-圖理論與數學規(guī)劃法比較

Table 2 Comparison between P-graph theory and mathematical programming

項目數學規(guī)劃法P-圖理論 理論基礎代數理論圖論 超結構建立一般手動構建自動生成嚴格超結構 邏輯約束部分求解器支持支持 計算復雜度與模型和結構相關一般為線性 建模思想將問題抽象為數學表達式原問題直接圖形建模 問題類型MILP/MINLP通常MILP 適用范圍各類過程綜合問題含網絡結構的過程綜合 求解結果一般是唯一解最優(yōu)解+一系列可行解 結果分析代數結果繪制圖形直觀圖形結果

雖然P-圖理論已經在過程網絡綜合中有了一定的應用，但是由于其難以求解非線性問題，相比于基于代數理論的數學規(guī)劃法而言，還存在一些不足。

4 P-圖理論的非線性改進思路

在P-圖理論的已有基礎上，可以將工程上常見的非線性關系統(tǒng)一表示為輸入-輸出形式，這類非線性主要指某個（某些）輸入量與輸出量之間存在非線性關聯(lián)。在此類非線性關系中，將輸入變量作為自變量，輸出變量為因變量，使用方程()來表示輸入與輸出的關系，如圖9所示。

針對該類非線性問題，一種可行的解決思路如下，其求解流程如圖10所示。

（1）確定PNS問題類型，定義待解決的問題，并將其抽象為網絡表述；

（2）在P-圖輔助建模工具P-graph Studio中，構建已有PNS問題的超結構；

（3）借助MSG算法，確定出該PNS問題的最大網絡結構（rigorous superstructure）；

（4）確定設備約束層中的設備參數以及線性/非線性的輸入輸出關系；

（5）生成待處理的模型輸入文件（.in文件）；

（6）診斷該模型中是否存在非線性關系，如果不存在則直接選擇合適的計算方法（ABB或SSG+LP）調用pns_solver求解并得到最終結果文件（.out文件），并跳至步驟（10）；如果存在非線性關系，則執(zhí)行步驟（7）；

（7）使用外部程序對已有模型中非線性關系進行分段線性化處理，生成一系列子模型，并生成對應輸入文件（.in文件）；

（8）使用外部程序調用pns_solver，選擇合適的計算方法（ABB或SSG+LP）批量求解已生成的子模型，并將子模型的求解結果輸出到中間結果文件（.out文件）；

（9）調用外部程序比較每個子模型結果的求解結果，并找出最優(yōu)的求解結果，輸出到最終結果文件（.out文件）；

（10）將結果返回給P-graph Studio，得到最優(yōu)的工藝路線方案。

5 結論與展望

綜上所述，P-圖理論能夠為PNS問題的有效解決提供理論框架，相比于傳統(tǒng)的數學規(guī)劃法，P-圖為使用者提供了一個友好的圖形建模環(huán)境，即使在沒有充足建模背景知識的情況下，借助MSG算法和公理約束，依然能夠生成一個過程網絡的嚴格超結構，而且在進行過程網絡建模時，可以方便地加入邏輯約束，進而減小組合問題的搜索空間。所以，P-圖理論更適合應用在含有決策系統(tǒng)的過程網絡中。

在問題求解方面，P-圖理論已經形成了成熟的求解算法，與數學規(guī)劃的求解流程不同，SSG算法可以給出超結構中的所有可行子結構，ABB算法可以在生成最優(yōu)解的同時，保留該問題的一系列次優(yōu)解和對應網絡結構，方便在費用最小這一目標下將其他因素也考慮在內。

目前，P-圖理論內部還只能處理線性問題，對于含有非線性約束的過程，可以參考本文第4節(jié)提出的方法處理，或者轉換成數學規(guī)劃的方法來解決。在下一階段，可以對P-圖理論與數學規(guī)劃進行優(yōu)勢互補，數學規(guī)劃可以作為P-圖的一個外置模塊，從而增加對非線性問題的處理能力。此外，還可以將P-圖模型做成一個數據無關的獨立模塊，針對輸入數據的變化，動態(tài)地給出優(yōu)化結果。

在未來，利用P-圖理論，可以在一個工藝建模過程中，同時考慮經濟、環(huán)境、安全等多個目標因素。在應用領域方面，P-圖理論的應用會逐漸拓展到水網絡綜合、新型清潔能源的利用、過程操作控制等過程工業(yè)的其他領域。

References

[1] SARGENT R. Process systems engineering: a retrospective view with questions for the future[J]. Computers and Chemical Engineering, 2005, 29(6): 1237-1241.

[2] FRIEDLER F, FAN L T, IMREH B. Process network synthesis: problem definition[J]. Networks, 1998, 31(2): 119-124.

[3] 姚平經, 楊友麒. 過程系統(tǒng)工程[M]. 上海: 華東理工大學出版社, 2009. YAO P J,YANG Y L. Process Systems Engineering [M]. Shanghai: East China University of Science and Technology Press, 2009.

[4] GROSSMANN I E, CABALLERO J A, YEOMANS H. Mathematical programming approaches to the synthesis of chemical process systems[J]. Korean Journal of Chemical Engineering, 1999, 16(4): 407-426.

[5] 李萍, 華賁. 過程系統(tǒng)綜合集成優(yōu)化法的研究進展[J]. 廣東化工, 2005, 32(1): 80-83. LI P, HUA B. Development on optimizing approaches for process system integration and synthesis[J]. Guangdong Chemical Industry, 2005, 32(1): 80-83.

[6] GROSSMANN I E. Mixed-integer programming approach for the synthesis of integrated process flowsheets[J]. Computers and Chemical Engineering, 1985, 9(5): 463-482.

[7] BAGAJEWICZ M J, PHAM R, MANOUSIOUTHAKIS V. On the state space approach to mass/heat exchanger network design[J]. Chemical Engineering Science, 1998, 53(14): 2595-2621.

[8] GROSSMANN I E, TRESPALACIOS F. Systematic modeling of discrete-continuous optimization models through generalized disjunctive programming[J]. AIChE Journal, 2013, 59(9): 3276-3295.

[9] VARGA V, HECKL I, FRIEDLER F,. PNS solutions: a P-graph based programming framework for process network synthesis[J]. Chemical Engineering Transactions, 2010, 21: 1387-1392.

[10] TICK J. P-graph-based workflow modelling[J]. Acta Polytechnica Hungarica, 2007, 4(1):75-88.

[11] FRIEDLER F, TARJAN K, HUANG Y W,. Graph-theoretic approach to process synthesis: polynomial algorithm for maximal structure generation[J]. Computers and Chemical Engineering, 1993, 17: 929-942.

[12] FRIEDLER F, VARGA J B, FAN L T. Decision-mapping: a tool for consistent and complete decisions in process synthesis[J]. Chemical Engineering Science, 1995, 50(11): 1755-1768.

[13] 許曉慧, 孫娜, 趙立新. 基于P-圖理論的組合算法合成分離過程嚴格超結構[J]. 計算機與應用化學, 2014, 31(12): 1496-1502. XU X H, SUN N, ZHAO L X. Rigorous superstructure generation of separation systems by the P-graph-based combinatorial algorithm[J]. Computer and Applied Chemistry, 2014, 31(12): 1496-1502.

[14] VARGA V, HECKL I, FRIEDLER F,. PNS solutions: a P-graph based programming framework for process network synthesis[J]. Chemical Engineering Transactions, 2010, 21: 1387-1392.

[15] 許曉慧, 宋海華, 于蘭平, 等. 加速分支定界算法在化工過程合成中的應用[J]. 計算機與應用化學, 2011, 28(4): 451-457. XU X H, SONG H H, YU L P,. Application of accelerated branch and bound in process synthesis of chemical engineering[J]. Computer and Applied Chemistry , 2011, 28 (4): 451-457.

[16] VARGA V, HECKL I, FRIEDLER F,. PNS solutions: a P-graph based programming framework for process network synthesis[J]. Chemical Engineering Transactions, 2010, 21: 1387-1392.

[17] ALMASI D, IMREH C, KOVACS T,. Heuristic algorithms for the robust PNS problem[J]. Acta Polytechnica Hungarica, 2014, 11(4): 169-181.

[18] KOVACS Z, FRIEDLER F, FAN L T. Recycling in a separation process structure[J]. AIChE Journal, 1993, 39(6): 1087-1089.

[19] KOVACS Z, FRIEDLER F, FAN L T. Parametric study of separation network synthesis: extreme properties of optimal structures[J]. Computers and Chemical Engineering, 1995, 19: 107-112.

[20] KOVACS Z, ERCSEY Z, FRIEDLER F,Exact super-structure for the synthesis of separation-networks with multiple feed-streams and sharp separators[J]. Computers and Chemical Engineering, 1999, 23: S1007-S1010.

[21] HECKL I, FRIEDLER F, FAN L T. Solution of separation-network synthesis problems by the P-graph methodology[J]. Computers and Chemical Engineering, 2010, 34(5): 700-706.

[22] BERTOK B, BARANY M, FRIEDLER F. Generating and analyzing mathematical programming models of conceptual process design by P-graph software[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2012, 52(1): 166-171.

[23] FENG G, FAN L T, FRIEDLER F. Synthesizing alternative sequencesa P-graph-based approach in azeotropic distillation systems[J]. Waste Management, 2000, 20(8): 639-643.

[24] FENG G, FAN L T, SEIB P A,. A graph-theoretic method for the algorithmic synthesis of azeotropic-distillation systems[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2003, 42(15): 3602-3611.

[25] DOUGLAS J M. A hierarchical decision procedure for process synthesis[J]. AIChE Journal, 1985, 31(3): 353-362.

[26] SEO H, LEE D Y, PARK S,. Graph-theoretical identification of pathways for biochemical reactions[J]. Biotechnology Letters, 2001, 23(19): 1551-1557.

[27] FAN L T, BERTOK B, FRIEDLER F,. Mechanisms of ammonia-synthesis reaction revisited with the aid of a novel graph-theoretic method of determining candidate mechanisms in deriving the rate law of a catalytic reaction[J]. Hungarian Journal of Industrial Chemistry, 2001, 29(1): 71-80.

[28] FAN L T, BERTOK B, FRIEDLER F. A graph-theoretic method to identify candidate mechanisms for deriving the rate law of a catalytic reaction[J]. Computers and Chemistry, 2002, 26(3): 265-292.

[29] FAN L T, LIN Y C, SHAFIE S,. Graph-theoretic and energetic exploration of catalytic pathways of the water-gas shift reaction[J]. Journal of the Chinese Institute of Chemical Engineers, 2008, 39(5): 467-473.

[30] LIN Y C, FAN L T, SHAFIE S,. Generation of light hydrocarbons through Fischer-Tropsch synthesis: identification of potentially dominant catalytic pathwaysthe graph-theoretic method and energetic analysis[J]. Computers and Chemical Engineering, 2009, 33(6): 1182-1186.

[31] LIN Y C, FAN L T, SHAFIE S,Graph-theoretic approach to the catalytic-pathway identification of methanol decomposition[J]. Computers and Chemical Engineering, 2010, 34(5): 821-824.

[32] FAN L T, LIN Y C, SHAFIE S,. Exhaustive identification of feasible pathways of the reaction catalyzed by a catalyst with multiactive sitesa highly effective graph-theoretic algorithm: application to ethylene hydrogenation[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2012, 51(6): 2548-2552.

[33] YUN C, KIM T Y, ZHANG T,Determination of the thermodynamically dominant metabolic pathways[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2012, 52(1): 222-229.

[34] NAGY A B, ADONYI R, HALASZ L,Integrated synthesis of process and heat exchanger networks: algorithmic approach[J]. Applied Thermal Engineering, 2001, 21(13): 1407-1427.

[35] HECKL I, FRIEDLER F, FAN L T. Integrated synthesis of optimal separation and heat exchanger networks involving separations based on various properties[J]. Heat Transfer Engineering, 2005, 26(5): 25-41.

[36] FRIEDLER F, VARBANOV P, KLEME? J. Advanced HENs design for multi-period operation using P-graph[J]. Chemical Engineering Transactions, 2009, 18(1): 457-462.

[37] HALASZ L, POVODEN G, NARODOSLAWSKY M. Sustainable processes synthesis for renewable resources[J]. Resources Conservation and Recycling, 2005, 44(3): 293-307.

[38] LAM H L, KLEMES? J J, VARBANOV P S,. P-graph synthesis of open-structure biomass networks[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2012, 52(1): 172-180.

[39] HALASZ L, EDERZ M, SANDORZ N,. Optimal integration of sustainable technologies in industrial parks[J]. Chemical Engineering Transactions, 2010, 19: 43-48.

[40] KETTL K H, NIEMETZ N, SANDOR N,Regional optimizer sustainable energy technology network solutions for regions[J]. Computer Aided Chemical Engineering, 2011, 29: 1959-1963.

[41] VARBANOV P, FRIEDLER F. P-graph methodology for cost-effective reduction of carbon emissions involving fuel cell combined cycles[J]. Applied Thermal Engineering, 2008, 28(16): 2020-2029.

[42] TAN R R, CAYAMANDA C D, AVISO K B. P-graph approach to optimal operational adjustment in polygeneration plants under conditions of process inoperability[J]. Applied Energy, 2014, 135: 402-406.

[43] TAN R R, BENJAMIN M F D, CAYAMANDA C D,. P-graph approach to optimizing crisis operations in an industrial complex[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2016, 55(12): 3467-3477.

[44] LOSADA J P, HECKL I, BERTOK B,Process network synthesis for benzaldehyde production: P-graph approach[J]. Chemical Engineering Transactions, 2015, 45:1369-1374.

[45] SHEN H B, HOOI H B, LOONG L H,Synthesis of multiple biomass corridordecomposition approach: a P-graph application [J]. Journal of Cleaner Production, 2016, 130:45-57.

[46] XU X, ZHU C, MA Y,A robust combinatorial approach based on P-graph for superstructure generation in downstream bioprocesses[J]. Brazilian Journal of Chemical Engineering, 2015, 32(1): 259-267.

[47] HECKL I, HALASZ L, SZLAMA A,. Process synthesis involving multi-period operations by the P-graph framework[J]. Computers and Chemical Engineering, 2015, 83: 157-164.

[48] TAN R R, AVISO K B. An extended P-graph approach to process network synthesis for multi-period operations[J]. Computers and Chemical Engineering, 2016, 85: 40-42.

[49] FAN L T, KIM Y, YUN C,. Design of optimal and near-optimal enterprise-wide supply networks for multiple products in the process industry[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2009, 48(4): 2003-2008.

[50] KIM Y, FAN L T, YUN C,. Graph-theoretic approach to optimal synthesis of supply networks: distribution of gasoline from a refinery[J]. Computer Aided Chemical Engineering, 2008, 25: 247-252.

[51] BERTOK B, KALAUZ K, SULE Z,Combinatorial algorithm for synthesizing redundant structures to increase reliability of supply chains: application to biodiesel supply[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2012, 52(1): 181-186.

[52] HECKL I, CABEZAS H, FRIEDLER F. Designing sustainable supply chains in the energy-water-food nexus by the P-graph methodology[J]. Chemical Engineering Transactions, 2015, 45:1351-1356.

[53] NG R T L, TAN R R, HASSIM M H. P-graph methodology for bi-objective optimisation of bioenergy supply chains: economic and safety perspectives[J]. Chemical Engineering Transactions, 2015, 45:1357-1362.

[54] TICK J, KOVACS Z. P-graph based workflow synthesis[C]// International Conference on Intelligent Engineering Systems. Miami, 2008: 249-253.

[55] BARANY M, BERTOK B, KOVACS Z,. Optimization software for solving vehicle assignment problems to minimize cost and environmental impact of transportation[J]. Chemical Engineering Transactions, 2010, 21: 499-504.

[56] BARANY M, BERTOK B, KOVACS Z,Solving vehicle assignment problems by process-network synthesis to minimize cost and environmental impact of transportation[J]. Clean Technologies and Environmental Policy, 2011, 13(4): 637-642.

[57] ADONYI R, HECKL I, OLTI F. Scheduling of bus maintenance by the P-graph methodology[J]. Optimization and Engineering, 2013, 14(4): 565-574.

Progress of research and application of P-graph theory in process network synthesis

XIAO Wu, ZHANG Yi, LüJunfeng, LI Zhonghua, HE Gaohong

(State Key Laboratory of Fine Chemicals, Research and Development Center of Membrane Science and Technology, Dalian University of Technology, Dalian 116024, Liaoning, China)

With upsizing, complexifying and unifying in modern petro-chemical systems, the combined complexity among streams of mass, energy and information as well as among unit operations keeps increasing exponentially. P-graph theory has found widespread applications by generation of rigorous superstructures as a result of axiom constraints which may reduce creation of redundant structures. This review on P-graph theory began with the mathematical definition, fundamental axioms, solution algorithms and workflow, and a case study to show the modeling framework and graphic representation. A literature study of past 20 years’ publications systemically summarized application of P-graph theory in traditional process system engineering of separation network synthesis, reaction path synthesis and heat exchange synthesis, and recent expansion in new areas of process technology selection, supply chain and process optimization. The advantages and disadvantages of P-graph theory and mathematical programming were compared, and improving ideas were proposed to solve nonlinear problems with P-graph theory. The prospective research and application of P-graph theory were forecasted, including multi-objective optimization in consideration of economic and environmental factors, effective solution of large complex nonlinear programming problems by the combination of both P-graph and mathematical programming, and other potential applications.

P-graph; process network synthesis; system engineering; model; optimization

2016-02-02.

Prof. HE Gaohong, hgaohong@dlut.edu.cn

10.11949/j.issn.0438-1157.20160154

TQ 021.8

A

0438—1157（2016）10—4029—11

國家自然科學基金項目（21206014, 21125628, 21527812）；國家留學基金項目（201506060258）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金項目（DUT14LAB14）；中國石油化工股份有限公司資助項目（X514001）；教育部長江學者獎勵計劃項目。

2016-02-02收到初稿，2016-07-08收到修改稿。

聯(lián)系人：賀高紅。第一作者：肖武（1977—），男，博士，副教授。

supported by the National Natural Science Foundation of China (21206014, 21125628, 21527812), the Project of China Scholarship Council (201506060258), the Fundamental Research Funds for the Central Universities (DUT14LAB14), the Project of the China Petroleum and Chemical Corporation (X514001) and the Changjiang Scholars Program.