鄧國(guó)強(qiáng) 唐敏

摘要：探討了離散數(shù)學(xué)在信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)中的重要作用，提出以專業(yè)需求為導(dǎo)向的理論教學(xué)改革方案，闡述了“數(shù)論”加入信息專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程的必要性與迫切性，同時(shí)給出針對(duì)信息專業(yè)的離散數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)改革的方法和途徑。

關(guān)鍵詞：信息與計(jì)算科學(xué)；離散數(shù)學(xué)；數(shù)論

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）38-0099-02

提高高等教育質(zhì)量是立足我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)階段性特征和國(guó)際發(fā)展潮流提出的深刻命題，是當(dāng)前我國(guó)高等教育改革發(fā)展最緊迫的任務(wù)。高等教學(xué)改革必須符合專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)，并且針對(duì)學(xué)生的不同層次進(jìn)行合理的教學(xué)改革和嘗試。通過(guò)研究國(guó)內(nèi)外各大出版社的離散數(shù)學(xué)教材內(nèi)容及信息專業(yè)的理論基礎(chǔ)，針對(duì)信息專業(yè)的人才培養(yǎng)計(jì)劃，認(rèn)為對(duì)于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生，在離散數(shù)學(xué)課程中加入“數(shù)論”學(xué)習(xí)是必要的，同時(shí)給出針對(duì)信息專業(yè)的離散數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)改革的方法和途徑。

一、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的設(shè)置與發(fā)展

信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)是以信息領(lǐng)域?yàn)楸尘?，?shù)學(xué)與信息、管理相結(jié)合的交叉學(xué)科專業(yè)。它運(yùn)用近代數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)解決信息科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中的問(wèn)題，應(yīng)用十分廣泛。專業(yè)方向包括圖象識(shí)別、人工智能、數(shù)據(jù)壓縮、信息處理、軟件開(kāi)發(fā)方法和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)等。

信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)主要開(kāi)設(shè)離散數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)軟件與理論、信息科學(xué)方面的專業(yè)課程。課程體系和知識(shí)結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了在扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，合理架構(gòu)信息科學(xué)與計(jì)算科學(xué)的專業(yè)基礎(chǔ)理論。通過(guò)離散數(shù)學(xué)、信息論、科學(xué)計(jì)算、運(yùn)籌學(xué)等方面的基礎(chǔ)知識(shí)教育和建立數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)實(shí)踐課、專業(yè)實(shí)習(xí)各環(huán)節(jié)的訓(xùn)練，著重培養(yǎng)學(xué)生解決科學(xué)計(jì)算、軟件開(kāi)發(fā)和設(shè)計(jì)、信息處理與編碼等實(shí)際問(wèn)題的能力。

二、離散數(shù)學(xué)在信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)中的重要地位

在近十年里，信息技術(shù)有了飛速的發(fā)展，在生產(chǎn)和生活的各個(gè)領(lǐng)域都發(fā)揮著越來(lái)越大的作用，一個(gè)嶄新的信息時(shí)代正在來(lái)臨。面對(duì)這樣一個(gè)巨大的變化，國(guó)內(nèi)外對(duì)計(jì)算機(jī)類、信息類專業(yè)教育的改革也進(jìn)行了大量的研討和有益的實(shí)踐。當(dāng)前，高等教育面臨著更多的挑戰(zhàn)，一方面是新技術(shù)新知識(shí)的爆炸性增長(zhǎng)，另一方面是社會(huì)對(duì)多種不同類型和層次的人才需求。因此有必要把培養(yǎng)目標(biāo)和專業(yè)方向進(jìn)一步細(xì)分，相關(guān)的教學(xué)計(jì)劃和課程體系也需要更新和調(diào)整。

許多教育學(xué)者認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)工程學(xué)生是非常重要的，數(shù)學(xué)思維提供概念框架，學(xué)生能從數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到除了微分和積分的知識(shí)，當(dāng)我們考慮如何把數(shù)學(xué)教給工程學(xué)生的時(shí)候，不僅僅是數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，而是掌握解決問(wèn)題的策略、方法和如何使用資源。

離散數(shù)學(xué)是高等院校信息科學(xué)專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，是研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。通過(guò)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不但可以掌握處理離散結(jié)構(gòu)的描述工具和方法，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件，而且可以提高抽象思維和嚴(yán)格的邏輯推理能力。

長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)生把離散數(shù)學(xué)當(dāng)成一般數(shù)學(xué)類課程對(duì)待，與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)無(wú)異。因課程本身涉及的知識(shí)范圍較廣，教師也容易忽略授課專業(yè)的特點(diǎn)和要求。文獻(xiàn)[1]，[2]，[3]對(duì)離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革進(jìn)行了探討和實(shí)踐。針對(duì)信息及其相關(guān)專業(yè)的學(xué)生，不能千篇一律地設(shè)置統(tǒng)一的課程和使用統(tǒng)一的教材，應(yīng)該根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)有所取舍，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)根據(jù)該專業(yè)學(xué)生的需求，強(qiáng)調(diào)與專業(yè)密切相關(guān)的理論知識(shí)，根據(jù)教育部頒發(fā)CCC2005規(guī)范中關(guān)于離散數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的要求與信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)，認(rèn)為“數(shù)論”應(yīng)加入離散數(shù)學(xué)教學(xué)中。

三、“數(shù)論”與信息專業(yè)的關(guān)系

信息技術(shù)日新月異，對(duì)于當(dāng)前適用并流行的技術(shù)和工具，可能在幾年后就會(huì)銷聲匿跡。比如計(jì)算機(jī)語(yǔ)言、數(shù)據(jù)庫(kù)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、加密解密技術(shù)，往往幾年就會(huì)有一次較大的更新。本科教育應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生思考的能力、清楚而準(zhǔn)確地表達(dá)自己的能力、解決問(wèn)題的能力以及知道什么問(wèn)題還沒(méi)有解決的能力。“數(shù)論”的學(xué)習(xí)不僅與信息專業(yè)密切相關(guān)，而且能使學(xué)生在上述能力上得到訓(xùn)練。

“數(shù)論”有許多應(yīng)用，尤其是用于信息科學(xué)，包含散列函數(shù)、偽隨機(jī)數(shù)生成和移位密碼。其中兩個(gè)重要的應(yīng)用是做大整數(shù)算術(shù)的方法和稱為公鑰系統(tǒng)的密碼系統(tǒng)。在了解這些應(yīng)用之前，應(yīng)該學(xué)習(xí)在“數(shù)論”及其應(yīng)用中占中心地位的一些關(guān)鍵性結(jié)論。例如，如何用中國(guó)剩余定理（即孫子定理）為求解模為兩兩互素的整數(shù)的線性同余系統(tǒng)，如何以這個(gè)結(jié)果為基礎(chǔ)做大整數(shù)算術(shù)，了解費(fèi)馬小定理和偽素?cái)?shù)的概念，并說(shuō)明如何用這些概念建立一個(gè)公鑰系統(tǒng)。

RSA密碼系統(tǒng)涉及的知識(shí)都是“數(shù)論”中的基本知識(shí)，Wilson定理、Fermat小定理、Euler定理給出了三個(gè)重要的同余類。掌握它們能更好地理解RSA加密解密機(jī)制。RSA方法現(xiàn)在得到廣泛使用。另一方面，人們正在積極研究以求發(fā)現(xiàn)有效分解整數(shù)的新方法。一旦新的分析方法問(wèn)世，就必須使用更大的素?cái)?shù)以確保信息的安全。已知最有效的分解法（2002年為止）需要數(shù)十億年才能分解400位的整數(shù)。

與信息專業(yè)密切相關(guān)的“數(shù)論”理論還有很多，諸如Euclidean算法，用于素性檢測(cè)的Solovay-Strassen算法、Miller-Rabin算法，分解因子的Pollard p-1算法、Pollard ρ算法、Dixon隨機(jī)平方算法，偽隨機(jī)數(shù)的生成，線性同余類，Hashing函數(shù)，模運(yùn)算等。

四、國(guó)內(nèi)外離散數(shù)學(xué)教材內(nèi)容對(duì)比

國(guó)內(nèi)外各大出版社出版了大量《離散數(shù)學(xué)》的教材，通過(guò)教材內(nèi)容的比照，發(fā)現(xiàn)離散數(shù)學(xué)課程與其他課程的重要區(qū)別在于內(nèi)容涵蓋范圍極廣，一般包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論，此為離散數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容。此外，有的離散數(shù)學(xué)教材還包括數(shù)論、數(shù)學(xué)推理、歸納與遞歸、計(jì)數(shù)、離散概率、計(jì)算模型、布爾代數(shù)等。根據(jù)一般經(jīng)驗(yàn)，完成全部?jī)?nèi)容的教學(xué)需要兩個(gè)學(xué)期，大約108～144學(xué)時(shí)。如果課時(shí)受到限制，教師應(yīng)該根據(jù)本專業(yè)學(xué)生的專業(yè)要求和發(fā)展做出教學(xué)內(nèi)容的適當(dāng)調(diào)整和適當(dāng)增減。

由高等教育出版社2012年出版，屈婉玲主編的《離散數(shù)學(xué)》是國(guó)內(nèi)眾多高校選用的一本優(yōu)秀教材，它是面向21世紀(jì)課程教材?！峨x散數(shù)學(xué)》1998年作為普通高等教育“九五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材出版，2004年以“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材立項(xiàng)進(jìn)行了修訂。與“修訂版”相比，增加了組合數(shù)學(xué)中關(guān)于遞推方程、生成函數(shù)等組合計(jì)數(shù)方法的內(nèi)容，增加了有關(guān)初等數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)的介紹，并講述了它們?cè)谟?jì)算機(jī)加密技術(shù)中的應(yīng)用。同時(shí)，刪減了關(guān)于集合基數(shù)以及代數(shù)結(jié)構(gòu)中群、環(huán)、域、格的部分內(nèi)容?？梢?jiàn)國(guó)內(nèi)對(duì)初等數(shù)論內(nèi)容的重視只始于最近幾年。根據(jù)CCC2005專業(yè)規(guī)范的意見(jiàn)，計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)將劃分為計(jì)算機(jī)科學(xué)、計(jì)算機(jī)工程、軟件工程與信息技術(shù)四個(gè)專業(yè)方向，高教出版社的《離散數(shù)學(xué)》主要是根據(jù)前三個(gè)專業(yè)方向的教學(xué)要求編寫的，而針對(duì)信息技術(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

“數(shù)論”是與信息專業(yè)密切相關(guān)的基礎(chǔ)理論。作為信息專業(yè)的教師和學(xué)生，應(yīng)該注重“數(shù)論”方面的學(xué)習(xí)。通過(guò)調(diào)查國(guó)內(nèi)外出版的包含“數(shù)論”的離散數(shù)學(xué)教材，可以看出，國(guó)外離散數(shù)學(xué)教材早在10年前就已經(jīng)強(qiáng)調(diào)“數(shù)論”的學(xué)習(xí)，而目前國(guó)內(nèi)的絕大多數(shù)教材并沒(méi)有將此囊括進(jìn)去。教材的更新往往有一個(gè)較長(zhǎng)的周期，教師必須自行加快改革步伐，緊跟時(shí)代和信息技術(shù)的快速發(fā)展。

五、實(shí)踐

課程設(shè)置既要強(qiáng)調(diào)理論，也要強(qiáng)調(diào)實(shí)踐。國(guó)內(nèi)出版的離散數(shù)學(xué)教材包含了大量的實(shí)例、應(yīng)用、算法、練習(xí)，但是缺少一些實(shí)踐類的題目。信息學(xué)科是一門特別強(qiáng)調(diào)實(shí)踐和動(dòng)手能力的專業(yè)，為此，在實(shí)踐教學(xué)過(guò)程方面，結(jié)合當(dāng)前社會(huì)需求及課程知識(shí)結(jié)構(gòu)，增加“計(jì)算機(jī)題目”、“計(jì)算和研究題目”、“寫作題目”。重視學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體地位，盡量激發(fā)主動(dòng)探索和實(shí)踐的熱情，開(kāi)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)由“授之以魚(yú)”向“授之以漁”的轉(zhuǎn)變。

1.計(jì)算機(jī)題目。每一章學(xué)習(xí)完后，布置一組計(jì)算機(jī)題目。把學(xué)生已經(jīng)學(xué)到的有關(guān)計(jì)算和離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)。

2.計(jì)算和研究題目。布置一組計(jì)算和研究性問(wèn)題，要完成這些練習(xí)需要軟件工具的幫助，例如學(xué)生自己編寫程序，或數(shù)學(xué)計(jì)算軟件如Maple或Mathematica。

3.寫作題目。布置一組應(yīng)該書面完成的題目。要完成這類題目，學(xué)生需要查閱參考數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。有些題目在過(guò)去的歷史上是很重要的，學(xué)生需要查找原始資料，其他的題目則是通往新內(nèi)容和新思想的途徑。

這些題目的設(shè)置，完全是開(kāi)發(fā)性的，學(xué)生可以鍛煉查閱文獻(xiàn)的能力、分析問(wèn)題的能力、判斷是非的能力。當(dāng)然，對(duì)習(xí)慣于標(biāo)準(zhǔn)答案的學(xué)生和習(xí)慣于按照教材授課的老師來(lái)說(shuō)，這些題目都是極大的挑戰(zhàn)，因?yàn)橹袊?guó)式教育普遍缺少思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。所以，增加實(shí)踐性課題是教師進(jìn)行教學(xué)改革的有效工具，并能促使學(xué)生思維轉(zhuǎn)型，為將來(lái)從事科研工作或者實(shí)踐工作打下良好的基礎(chǔ)。

六、結(jié)束語(yǔ)

全面提高高等教育質(zhì)量必須堅(jiān)持改革創(chuàng)新，敢于突破思想觀念和體制機(jī)制障礙。離散數(shù)學(xué)是信息學(xué)科學(xué)生必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，因其課程內(nèi)容的龐雜和設(shè)置的靈活性，教師應(yīng)根據(jù)本專業(yè)的培養(yǎng)計(jì)劃進(jìn)行適時(shí)的改革，不要大而廣，與專業(yè)需求脫節(jié)。經(jīng)過(guò)深入研究、論證，認(rèn)為應(yīng)將“數(shù)論”加入離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，并增加實(shí)踐性題目。實(shí)踐表明，研究成果在信息專業(yè)中具有一定的推廣價(jià)值。對(duì)于專業(yè)理論的學(xué)習(xí)，學(xué)什么、學(xué)多廣、學(xué)多深，都是值得探討和改革的問(wèn)題，只有在不斷的改革嘗試和總結(jié)改進(jìn)中，才能使學(xué)生真正受益，滿足科研型和工程型人才的培養(yǎng)需要。

參考文獻(xiàn)：

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