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      質(zhì)疑式數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略研究

      2016-10-31 09:40:27作者單位山東大學(xué)附屬中學(xué)山東濟(jì)南250000
      現(xiàn)代教育 2016年8期
      關(guān)鍵詞:概念函數(shù)數(shù)學(xué)

      (作者單位:山東大學(xué)附屬中學(xué),山東濟(jì)南 250000)

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      ◎?qū)W科教學(xué)◎

      質(zhì)疑式數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略研究

      ■王道遠(yuǎn)

      數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)特征屬性的思維形式,也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的核心。其根本任務(wù)是準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延,使思考問(wèn)題、推理證明有所依據(jù),能有創(chuàng)見(jiàn)地解決問(wèn)題。因而,數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)尤為重要。

      一、理論介紹

      基于傳統(tǒng)教育學(xué)、心理學(xué)理論,概念教學(xué)主要有概念的形成和內(nèi)化兩種方式。

      概念的形成一般是針對(duì)由弱抽象形成的概念。如果某些數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)鍵屬性主要是在對(duì)大量同類數(shù)學(xué)對(duì)象的不同例證進(jìn)行分析、類比、猜測(cè)、聯(lián)想、歸納等活動(dòng)的基礎(chǔ)上,獨(dú)立概括出來(lái)的,那么這種概念獲得的方式就叫做概念形成。這一過(guò)程主要涉及以下相關(guān)因素:①感知、辨別各種刺激模式。②抽象出各刺激模式的共同屬性,并提出假設(shè)。③在特定的情境中修正、檢驗(yàn)假設(shè),形成概念。④把新概念一般化,并用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言符號(hào)表達(dá)。

      概念的同化一般是針對(duì)由強(qiáng)抽象形成的概念。如果學(xué)習(xí)過(guò)程是已定義的方式直接向?qū)W生呈現(xiàn)概念的關(guān)鍵特征,實(shí)際上是新的數(shù)學(xué)概念在已有概念的基礎(chǔ)添加其他新的特征性質(zhì)而形成。這時(shí),學(xué)生利用自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識(shí)對(duì)概念進(jìn)行加工、改造,從而理解新概念的意義。這種獲得概念的方式叫做概念同化。

      這兩種方式偏重于概念的邏輯結(jié)構(gòu)教學(xué)忽視數(shù)學(xué)概念本身的涵義,數(shù)學(xué)概念具有“過(guò)程”——“對(duì)象”的雙重性,概念教學(xué)既是邏輯分析的對(duì)象又是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的教學(xué)過(guò)程,近些年新興起了APOS理論,讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型、概念的抽象過(guò)程、數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用、形式表述和符號(hào)化的運(yùn)用等多方位理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念,使之符合學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的教育原理。關(guān)于APOS理論,杜賓斯基認(rèn)為,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進(jìn)行心理建構(gòu)的這一建構(gòu)過(guò)程,要經(jīng)歷以下的4個(gè)階段:第一階段:操作階段,第二階段:過(guò)程階段,第三階段:對(duì)象階段,第四階段:概型階段。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度分析,以上4個(gè)學(xué)習(xí)層次分析合理地反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程中真實(shí)的思維活動(dòng)。其中的“活動(dòng)階段”是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件,通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生親身體驗(yàn),感受概念的直觀背景和概念間的關(guān)系;“過(guò)程階段”是學(xué)生對(duì)活動(dòng)進(jìn)行思考,經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過(guò)程,學(xué)生在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思抽象出概念所特有的性質(zhì);“對(duì)象階段”是通過(guò)前面的抽象,認(rèn)識(shí)到了概念本質(zhì),對(duì)其賦予形式化的定義及符號(hào),使其達(dá)到精致化,成為一個(gè)具體的對(duì)象,在以后的學(xué)習(xí)中以此為對(duì)象去進(jìn)行新的活動(dòng);“概型階段”的形成要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)完善,起初的概型包含反映概念的特例、抽象過(guò)程、定義及符號(hào),經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系,在頭腦中形成綜合的心理圖式。APOS理論揭示了數(shù)學(xué)概念念學(xué)習(xí)的本質(zhì)是具有學(xué)科特色的學(xué)習(xí)理論。

      二、流程設(shè)計(jì)

      將APOS理論應(yīng)用于傳統(tǒng)的教育心理學(xué)中有關(guān)概念的原理,結(jié)合山東大學(xué)附屬中學(xué)的實(shí)際學(xué)情、數(shù)學(xué)質(zhì)疑式教學(xué)以及翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)研究,我們針對(duì)不同的概念形成了兩種比較具有代表性的課堂流程:

      (一)基于APOS理論的質(zhì)疑式概念形成的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

      概念形成的教學(xué)模式需要對(duì)具體的,直接的感性材料進(jìn)行觀察、感知、操作等活動(dòng),比較耗時(shí),一般適合概念體系中起著基礎(chǔ)和核心作用的少數(shù)抽象概念的學(xué)習(xí),如函數(shù)、分式的概念。

      (二)基于APOS理論的質(zhì)疑式概念同化的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

      概念同化在課堂上直接給出定義,板書到黑板上或者課件上,由師生共同分析概念的內(nèi)涵,把握概念的本質(zhì)屬性,結(jié)合預(yù)習(xí)提出的問(wèn)題,進(jìn)一步辨別概念的外延,去偽存真,把握概念。適合不易歸納總結(jié)的抽象性比較強(qiáng)的概念,如單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、同類項(xiàng)等概念的學(xué)習(xí)。

      APOS理論強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)概念寓于現(xiàn)實(shí)社會(huì)背景中,學(xué)生通過(guò)活動(dòng)親身經(jīng)歷、體驗(yàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系,從中經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過(guò)程,用數(shù)學(xué)的方法組織和建立數(shù)學(xué)概念,這樣建立起來(lái)的概念具有豐富的內(nèi)涵,其中包含著概念的現(xiàn)實(shí)原型、概念的抽象過(guò)程、數(shù)學(xué)思想方法和概念的形式化對(duì)象等,如代數(shù)式、軸對(duì)稱現(xiàn)象。通過(guò)APOS理論對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)化,更加注重概念的建構(gòu)過(guò)程,在學(xué)習(xí)過(guò)程中重現(xiàn)了概念探索的完整過(guò)程。

      三、案例分析

      北師大版八年級(jí)(上)第四章《函數(shù)》

      (一)教學(xué)目標(biāo)

      1.知識(shí)技能目標(biāo):(1)學(xué)生通過(guò)直觀感知,領(lǐng)悟函數(shù)概念的意義,能列舉生活中的函數(shù)實(shí)例;(2)學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量之間相互依存的關(guān)系的探索,學(xué)會(huì)用函數(shù)思想去進(jìn)行描述,初步理解對(duì)應(yīng)。

      2.過(guò)程與方法目標(biāo):(1)通過(guò)實(shí)踐與探索,學(xué)生參與函數(shù)概念的形成過(guò)程,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用和初步函數(shù)模型,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;(2)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)思想,逐步形成較好的思維品質(zhì)。

      3.情感目標(biāo):(1)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的分析探究,學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)。

      (二)重、難點(diǎn)

      1.重點(diǎn):函數(shù)概念的形成過(guò)程。

      2.難點(diǎn):理解函數(shù)概念,突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是通過(guò)實(shí)例幫助學(xué)生從函數(shù)的本質(zhì)進(jìn)行引導(dǎo)理解。

      (三)教學(xué)過(guò)程

      第一環(huán)節(jié):引入。

      世界萬(wàn)物都是在不停地運(yùn)動(dòng)變化的,這些運(yùn)動(dòng)變化都有一定的規(guī)律,如何來(lái)研究這些運(yùn)動(dòng)變化并尋找變化規(guī)律呢?數(shù)學(xué)上常常用函數(shù)來(lái)刻畫各種運(yùn)動(dòng)變化,從今天開始,我們將通過(guò)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)入函數(shù)的世界,一起領(lǐng)略函數(shù)及其圖象的美。

      第二環(huán)節(jié):合作交流,聚焦問(wèn)題。

      給出討論的問(wèn)題:

      1.在三個(gè)實(shí)例中,確定自變量、因變量分別是什么?

      2.因變量隨自變量如何變化?

      3.對(duì)于自變量的每一個(gè)值,有沒(méi)有因變量的值和它對(duì)應(yīng),值有幾個(gè)?

      4.在三個(gè)實(shí)例中,共同點(diǎn)是什么?

      第三環(huán)節(jié):結(jié)合問(wèn)題,質(zhì)疑提升。

      預(yù)設(shè)學(xué)生的問(wèn)題:

      1.自變量的取值范圍是什么?

      2.怎樣算自變量的取值范圍?

      3.所有函數(shù)都能用圖像表示出來(lái)嗎?

      4.函數(shù)有何分類?

      5.我們可以直接在圖像中看出是否為函數(shù)嗎?其他形式呢?

      6.是函數(shù)式數(shù)嗎?是什么?怎樣表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系?如何快速判斷是否函數(shù)?無(wú)規(guī)律的變量變化是函數(shù)嗎?怎么表示?

      結(jié)合學(xué)生提出的問(wèn)題及導(dǎo)學(xué)案中給出的實(shí)例,進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)于函數(shù)的理解。經(jīng)過(guò)師生的共同討論,總結(jié)出三個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)就是:有一個(gè)變化過(guò)程,都有兩個(gè)變量,給定其中某一個(gè)變量的值,相應(yīng)地就確定了兩一個(gè)變量的值,這個(gè)值并且是唯一的。(學(xué)生可能回答不到位,注意引導(dǎo))。

      第四環(huán)節(jié):抽象共性,形成概念。

      我們把具有這些共同特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)。

      函數(shù)的概念:一般地,在某個(gè)變化過(guò)程中,有兩個(gè)變量x和y,如果對(duì)于任意一個(gè)x的值,就相應(yīng)地確定了唯一的y值,就稱y是x的函數(shù),其中,x是自變量,y是因變量。

      概念的內(nèi)涵:函數(shù)概念中的“任意一個(gè)”“唯一”,你是怎么理解的?理解函數(shù)的概念把握三點(diǎn):一個(gè)變化過(guò)程,兩個(gè)變量,對(duì)于自變量的每一個(gè)值,因變量都有唯一的值與它相對(duì)應(yīng)即一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。判斷兩個(gè)量是否具有函數(shù)關(guān)系也應(yīng)以這三點(diǎn)為依據(jù),主要是第三點(diǎn)。

      概念的外延:通過(guò)分析三個(gè)實(shí)例,可以把握函數(shù)的三種表示方式:圖像、表格、關(guān)系式滲透數(shù)學(xué)史的知識(shí):函數(shù)這個(gè)詞是1895年李善蘭首先翻譯過(guò)來(lái)的,“函”是隨……而變化的事物,強(qiáng)調(diào)了變化,兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系。

      顯然,在實(shí)際生活中,自變量的取值必須有意義,符合實(shí)際情況,在純粹數(shù)學(xué)問(wèn)題中,自變量的取值應(yīng)該是讓數(shù)學(xué)式子有意義。有關(guān)自變量的取值范圍問(wèn)題,我們將在陸續(xù)的學(xué)習(xí)中學(xué)到。

      總之,中學(xué)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中處于核心地位。教師要圍繞這核心展開教學(xué),在概念的理解和數(shù)學(xué)思維方式上給予討論、質(zhì)疑、訓(xùn)練,讓學(xué)生在理解概念(理解其中的數(shù)學(xué)思想和方法)的基礎(chǔ)上對(duì)細(xì)節(jié)問(wèn)題、變化問(wèn)題深入思考。并且,我們知道一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過(guò)程”到“對(duì)象”的建立有時(shí)是比較漫長(zhǎng)的。如函數(shù)概念“過(guò)程”到“對(duì)象”的抽象需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù),螺旋上升,直到學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀結(jié)構(gòu)。教師在今后的教學(xué)中要注意學(xué)生對(duì)知識(shí)的概型建立,即加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系和應(yīng)用,幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)概念的心理圖示。

      (作者單位:山東大學(xué)附屬中學(xué),山東濟(jì)南250000)

      (責(zé)任編輯:甄鴻啟)

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