楊愛萍，梁 斌，何宇清，張莉云，魏寶強(qiáng)

（天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072）

聯(lián)合新型分塊稀疏表示和梯度先驗(yàn)圖像盲復(fù)原

楊愛萍，梁 斌，何宇清，張莉云，魏寶強(qiáng)

（天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072）

針對(duì)目前基于稀疏表示的圖像盲復(fù)原算法計(jì)算量大且細(xì)節(jié)恢復(fù)能力有限等問題，提出一種新的圖像盲復(fù)原方法.首先針對(duì)現(xiàn)有稀疏表示模型中重疊分塊計(jì)算復(fù)雜度高的問題，提出一種多模式非重疊分塊策略，在每種模式下獨(dú)立求解復(fù)原圖像，然后對(duì)各模式下復(fù)原圖像求平均以消除“偽像”；另外，用范數(shù)作為稀疏性度量，將圖像梯度稀疏先驗(yàn)融入基于稀疏表示的圖像盲復(fù)原模型.最后，本文提出了聯(lián)合新型分塊字典稀疏表示和圖像梯度稀疏先驗(yàn)的盲復(fù)原模型，采取迭代方法交替估計(jì)模糊核和待復(fù)原圖像.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在主觀和客觀評(píng)價(jià)下均取得較好的復(fù)原結(jié)果，并顯著降低算法整體復(fù)雜度.

盲復(fù)原；新型分塊字典稀疏表示；梯度稀疏先驗(yàn)

圖像復(fù)原是典型的病態(tài)逆問題，根據(jù)模糊核是否已知可將圖像復(fù)原算法分為兩大類：一類是當(dāng)模糊核已知時(shí)，稱為非盲復(fù)原問題，如維納濾波［1］和RL算法［2］是兩種最常見的非盲復(fù)原方法；另一類是當(dāng)模糊核未知時(shí)，稱為盲復(fù)原問題，需要從退化圖像中同時(shí)估計(jì)出模糊核和原始圖像.

近年來，圖像盲復(fù)原技術(shù)成為研究的熱點(diǎn)，學(xué)者們提出了一系列有效算法.其中一類方法基于自然圖像梯度的稀疏性先驗(yàn)而提出，F(xiàn)ergus等［3］提出變分貝葉斯方法，對(duì)圖像梯度的重尾分布用混合高斯模型進(jìn)行建模.Krishnan等［4］使用la（a=0.5～0.8）范數(shù)度量稀疏性對(duì)圖像進(jìn)行約束，提高了對(duì)自然圖像梯度重尾分布的擬合度.在此基礎(chǔ)上，Krishnan等［5］提出了基于l1/l2范數(shù)的稀疏性度量，保證算法收斂于全局最優(yōu)解.這些方法取得了很好的復(fù)原效果，但都需要求解反卷積問題，導(dǎo)致算法不穩(wěn)定且計(jì)算量大.

隨著稀疏表示理論的發(fā)展，基于字典稀疏表示［6-7］的圖像盲復(fù)原方法取得了一系列進(jìn)展.Hu等［8］提出一種基于自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)的圖像盲去模糊算法，但該算法僅適用于小的核模糊，對(duì)于大的核模糊圖像復(fù)原效果很差.Zhang 等［9］提出基于稀疏表示的圖像盲去模糊算法，但因?qū)D像塊進(jìn)行字典稀疏表示與重構(gòu)，導(dǎo)致復(fù)原后圖像塊連接構(gòu)成整幅圖像時(shí)產(chǎn)生“偽像”，影響圖像整體復(fù)原效果.Jia等［10］聯(lián)合字典稀疏表示和空域約束，以及Li等［11］引入正則化規(guī)范，均取得了不錯(cuò)的復(fù)原效果，但對(duì)細(xì)節(jié)的恢復(fù)能力有限，仍需進(jìn)一步改進(jìn).

筆者針對(duì)目前基于稀疏表示的盲復(fù)原算法中存在的計(jì)算復(fù)雜度高、細(xì)節(jié)恢復(fù)能力有限、易產(chǎn)生“偽像”等不足，結(jié)合字典稀疏表示和圖像梯度先驗(yàn)約束，提出了一種新的圖像盲復(fù)原算法.主要包括：為了降低算法的復(fù)雜度，引入一種新的圖像非重疊分塊方式，并利用高效的稀疏編碼方法，提高訓(xùn)練字典的自適應(yīng)性和編碼的有效性；融入新的圖像稀疏先驗(yàn)和模糊核先驗(yàn)，構(gòu)造新的代價(jià)函數(shù).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法可有效克服目前算法中普遍存在的缺陷.

1　基于稀疏表示的圖像盲復(fù)原

1.1圖像盲復(fù)原問題

圖像模糊退化過程可建模如下：

式中：x和y分別為原始清晰圖像和模糊圖像字典排列的向量形式；k為模糊核或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；n為加性高斯白噪聲；*為卷積運(yùn)算符.由此可知，圖像復(fù)原過程即為由模糊加噪圖像y估計(jì)清晰圖像x的過程.當(dāng)未知量個(gè)數(shù)小于已知變量個(gè)數(shù)時(shí)，圖像盲復(fù)原是典型的欠定問題，需要利用正則化方法融入圖像的先驗(yàn)信息以得到穩(wěn)定解，常表示為如下最優(yōu)化問題：

式中：ρ（x）為正則化項(xiàng)，常基于自然圖像的先驗(yàn)信息而給定［12-14］；φ（k）為模糊核先驗(yàn)正則化項(xiàng)；μ和β分別為圖像先驗(yàn)和模糊核正則化參數(shù)，μ≥0，β≥0.

1.2基于稀疏表示的圖像盲復(fù)原模型

在稀疏模型中，圖像通常被分解成很小的塊進(jìn)行稀疏表示和重構(gòu)［15］.對(duì)于給定的圖像x∈Rn，令為圖像塊提取矩陣，則每個(gè)圖像塊可表示為

如果圖像塊xi具有稀疏性，則xi可由過完備字典D∈Rn×L（n＜L）的原子進(jìn)行線性表示，即

式中：字典D每1列稱為1個(gè)原子；αi為圖像塊xi在字典D下的稀疏表示系數(shù).整幅圖像可表示為

由式（2）可知，基于稀疏表示的圖像盲復(fù)原模型可表示為

式中：Ri為提取圖像的第i塊的矩陣；公式右邊第1項(xiàng)為保真項(xiàng)，確?；謴?fù)的圖像與原始清晰圖像盡可能地接近；第2和第3項(xiàng)為圖像塊在過完備字典D下的稀疏表示；ξi和ψi分別為字典表示和稀疏系數(shù)向量參數(shù)，ξi≥0，ψi≥0；第4項(xiàng)為模糊核約束項(xiàng).

1.3現(xiàn)有分塊模式的缺陷

如前所述，在稀疏表示模型中，圖像通常被分解成很小的塊進(jìn)行稀疏表示和重構(gòu).為了降低復(fù)原圖像的塊效應(yīng)，目前通常采用重疊取塊方式，如圖1所示.這種重疊取塊方式可在一定程度上抑制復(fù)原圖像的塊效應(yīng)，但需要對(duì)每一塊進(jìn)行稀疏表示.一方面，相鄰的塊具有相似特征，會(huì)產(chǎn)生過多無用的稀疏系數(shù)；另一方面，需要對(duì)每一塊進(jìn)行復(fù)原計(jì)算，大大增加了算法的復(fù)雜度，而且恢復(fù)的圖像常常出現(xiàn)“偽像”［9］.

圖1　圖像重疊取塊方式Fig.1 Method of overlapping image patches

另外，目前基于稀疏表示的圖像盲復(fù)原框架中，對(duì)圖像先驗(yàn)的約束常采用l1范數(shù)進(jìn)行稀疏性度量.由文獻(xiàn)［5］可知，l1范數(shù)僅適用于圖像去噪，對(duì)于圖像復(fù)原問題，采用可取得更好的結(jié)果.因此，為解決上述問題，本文提出基于非重疊分塊稀疏表示的圖像盲復(fù)原框架，并將作為稀疏性度量，提出新的盲復(fù)原模型.

2　本文算法

2.1不同模式下的非重疊分塊

重疊取塊會(huì)產(chǎn)生過多無用的稀疏系數(shù)且大大增加了算法的復(fù)雜度，特別是當(dāng)圖像尺寸較大時(shí)，問題尤為嚴(yán)重.在不降低復(fù)原圖像質(zhì)量的前提下，為了解決這一問題，本文采用一種新的非重疊分塊方式，如圖2所示.

圖2　圖像非重疊取塊方式Fig.2 Method of non-overlapping image patches

由于這種非重疊取塊方式要求相鄰圖像塊之間沒有重疊區(qū)域且這些塊必須包含圖像的每個(gè)像素點(diǎn)，所以圖像可能不被均勻分割，即提取圖像塊的尺寸可能不相同.基于這一現(xiàn)象，本文將圖像按照幾種不同的模式進(jìn)行非重疊分塊.例如，將一個(gè)大小為N1×N2的圖像按照塊尺寸n1×n2進(jìn)行分塊.為便于說明，現(xiàn)將圖像塊類型分為內(nèi)部塊、邊界塊和拐角塊，并規(guī)定所有的圖像塊水平和垂直對(duì)齊.

（1） 內(nèi)部塊.如圖3中標(biāo)記為1的塊，塊尺寸為n1×n2.

（2） 邊界塊.如圖3中標(biāo)記為2的塊，若在圖像左邊界和右邊界，則行數(shù)為n1，列數(shù)小于n2；若在圖像上邊界和下邊界，則列數(shù)為n2列，行數(shù)小于n1.

（3） 拐角塊.如圖3中標(biāo)記為3的塊，塊的尺寸小于n1×n2.

根據(jù)上述規(guī)定，圖像的非重疊取塊方式可以由圖像左上角塊的尺寸唯一確定，如圖3所示60× 60的圖像，在3種模式下進(jìn)行的8× 8非重疊分塊.取圖像左上角塊大小分別為4× 8、8× 4和8× 2，并依據(jù)上述規(guī)定進(jìn)行劃分，可以看出3幅圖像提取塊的邊界位于不同的像素點(diǎn).

圖3　3種非重疊塊分割Fig.3 Three different ways of non-overlapping patches

在上述每種非重疊分塊模式下，求解基于稀疏表示的圖像盲復(fù)原問題模型.在每種獨(dú)立分塊模式下，復(fù)原圖像會(huì)在分塊邊界處產(chǎn)生明顯的塊效應(yīng)，為了解決該問題，本文采用在多種分塊模式下獨(dú)立求解復(fù)原圖像，然后再總體求算術(shù)平均的方式.后續(xù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法，能有效抑制“偽像”效應(yīng)，提高PSNR值，且大大降低算法的復(fù)雜度.

2.2基于非重疊分塊字典稀疏表示和梯度先驗(yàn)的圖像盲復(fù)原

自然圖像的梯度直方圖服從一種典型的重尾分布［3］，算法通常采用圖像的l1范數(shù)或la（a=0.5～0.8）范數(shù)作為稀疏性度量.由文獻(xiàn)［5］可知，這些范數(shù)在代價(jià)函數(shù)求解過程中，圖像高頻區(qū)域反而變得更加模糊，紋理細(xì)節(jié)無法有效得到復(fù)原.

式中：公式右邊第4項(xiàng)為圖像梯度約束項(xiàng)；?x為圖像在水平和垂直方向上的梯度，采用作為稀疏性度量范數(shù)，可以有效地提高圖像的復(fù)原能力；最后一項(xiàng)為模糊核約束項(xiàng)，選用l1范數(shù)進(jìn)行約束，同時(shí)核滿足歸一化和非負(fù)值；ηi、λi、ρ、γi為平衡各項(xiàng)之間的參數(shù).

3　模型的求解

稀疏表示中，字典D起著至關(guān)重要的作用，其原子與圖像特征的匹配程度直接影響著圖像復(fù)原的質(zhì)量.本文采用文獻(xiàn)［16］提出的塊鄰域梯度字典學(xué)習(xí)（block proximal gradient，BPG）算法對(duì)Berkeley Segmentation Dataset［17］中200幅圖像隨機(jī)提取20,000個(gè)8× 8圖像塊進(jìn)行學(xué)習(xí)得到需要的字典.BPG算法相比之前的KSVD算法［17］和OLM算法［18］等，具有更快的收斂速度和更強(qiáng)的自適應(yīng)性.

式（7）中存在3個(gè)未知量：模糊核k、稀疏系數(shù)向量α、清晰圖像x，直接求解將面臨收斂慢速和容易陷入局部最小值等問題，本文采取交替更新的方法進(jìn)行求解.分別固定其中兩個(gè)未知量，每次只求解1個(gè)參數(shù)，因此每一個(gè)迭代過程，將式（7）轉(zhuǎn)化成多個(gè)簡(jiǎn)單的子問題.

3.1k-子問題：模糊核估計(jì)

該子問題中，固定系數(shù)α和圖像x，求圖像的模糊核k，式（7）可簡(jiǎn)化為

這里采用在梯度域通過迭代收縮軟閾值ISTA算法對(duì)式（8）進(jìn)行求解，求解過程可分兩步進(jìn)行.首先求得約束下的梯度圖像?x，然后通過梯度圖?x、?y估計(jì)模糊核k，因此，式（8）可分解為

式中?x、?y分別為待復(fù)原圖像和模糊圖像在水平和垂直方向上的梯度.

這里可將式（9）中梯度的范數(shù)l2看作已知量，即則式（9）可轉(zhuǎn)化為范數(shù)l2與l1相加的形式，即

式（11）即可采用迭代收縮軟閾值ISTA算法求解，求得圖像的模糊核k，具體步驟如表1所示.

表1　模糊核k更新Tab.1 Kernel updating

3.2x-子問題：清晰圖像估計(jì)

當(dāng)模糊核k和稀疏系數(shù)向量α固定時(shí)，可將式（7）簡(jiǎn)化為

該子問題為最小二乘問題，可利用快速傅里葉變換（FFT）求解［14］，其解形式為

式中：F（·）為傅里葉變換；F-1（·）為F（·）的逆變換；為F（·）的共軛；°表示矩陣對(duì)應(yīng)元素相乘.

在每種非重疊分塊模式下，分別得到清晰圖像的1個(gè)估計(jì)，即

通過多次實(shí)驗(yàn)測(cè)試發(fā)現(xiàn)，對(duì)圖像進(jìn)行3種模式的非重疊分塊即可有效抑制復(fù)原圖像的塊效應(yīng)，過多模式的分塊對(duì)改善“偽像”影響不大，且會(huì)降低算法的效率，因此，本文采取3種非重疊分塊方式估計(jì)清晰圖像.

3.3α-子問題：稀疏系數(shù)估計(jì)

當(dāng)估計(jì)得到的圖像x及模糊核k固定時(shí)，式（7）可簡(jiǎn)化為

式（15）中，圖像塊之間是相互獨(dú)立的，可以轉(zhuǎn)化為各圖像塊的稀疏系數(shù)求解問題，即

為了提高稀疏表示效率，平衡所有系數(shù)對(duì)最優(yōu)解的影響，式（16）利用加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)優(yōu)化算法.加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)通過對(duì)圖像的平滑區(qū)域和邊緣采用不同的權(quán)重來提升細(xì)節(jié)恢復(fù)能力，在實(shí)際中獲得了廣泛的應(yīng)用.這里采用稀疏系數(shù)的反函數(shù)形式，并為了確保權(quán)系數(shù)恒大于0，采用如下形式：

利用文獻(xiàn)［19］中的YALL1算法求解加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最優(yōu)化問題（即式（16））.

本文提出的基于新型分塊字典稀疏表示和梯度先驗(yàn)的快速圖像盲復(fù)原算法具體步驟如表2所示.

表2　算法的整體思路Tab.2 Overall algorithm

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性，選取Levin圖像集中的16幅測(cè)試圖像［20］和2幅實(shí)拍模糊圖像［5］，分別進(jìn)行盲復(fù)原實(shí)驗(yàn).

首先，針對(duì)測(cè)試圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)對(duì)象選取模糊核分別為7× 7、13× 13、17× 17以及23× 23的高斯模糊圖像，并添加方差為0.01的加性高斯白噪聲.稀疏模型中選取圖像塊為8× 8；式（7）中各參數(shù)取值依次為：η=0.05、λ=0.1、ρ=0.15、γ=4.6.將本文提出的算法與近年來公認(rèn)較為優(yōu)秀的單幅圖像盲復(fù)原算法（Levin和Babacan的空域復(fù)原方法［21-22］、Hu等［8］的稀疏域復(fù)原方法）進(jìn)行比較，計(jì)算復(fù)原圖像與原圖像的峰值信噪比（PSNR），計(jì)算結(jié)果如表3所示.由表3可看出，本文提出的基于新型分塊字典稀疏表示和梯度先驗(yàn)的盲復(fù)原方法取得了較高的PSNR值.

表3　幾種算法盲復(fù)原結(jié)果比較Tab.3Comparison of blind recovered results with different algorithms

圖4和圖5給出了復(fù)原圖像效果及估計(jì)的模糊核.由圖可看出，Levin算法和Babacan算法對(duì)模糊核的估計(jì)比較準(zhǔn)確，復(fù)原圖像能夠恢復(fù)出一定的細(xì)節(jié)，但是相比于原始清晰圖像感覺有一層“薄霧”覆蓋在圖像上方；Hu的算法適用于模糊核尺寸不超過9× 9的圖像盲復(fù)原［8］，當(dāng)尺寸較大時(shí)，對(duì)模糊核估計(jì)不準(zhǔn)確，造成圖像復(fù)原效果較差；本文方法可準(zhǔn)確估計(jì)較大尺寸模糊核，且復(fù)原圖像細(xì)節(jié)清晰，主觀效果較好.

圖4　Building復(fù)原效果比較Fig.4Recovered results of Building with different algorithms

圖5　Children復(fù)原效果比較Fig.5 Recovered results of Children with different algorithms

下面對(duì)本文算法的復(fù)雜度進(jìn)行討論.上述幾種算法中，Levin和Babacan的算法是在空域進(jìn)行的，本文研究稀疏表示框架下圖像盲復(fù)原問題，因此這里對(duì)相同條件下的Hu算法［8］（重疊5像素）、傳統(tǒng)重疊分塊稀疏表示（重疊4像素）、本文非重疊分塊稀疏表示下算法（式（7））的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行比較.實(shí)驗(yàn)中選取預(yù)先學(xué)習(xí)得到的字典，計(jì)算相同迭代次數(shù)下的稀疏編碼、復(fù)原圖像和估計(jì)模糊核3個(gè)子問題的總運(yùn)行時(shí)間，分別對(duì)高斯模糊核為7× 7、13× 13和23× 23 3種圖像盲復(fù)原時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表4所示.由表3、表4可以看出，本文提出的基于新型分塊模式算法在較好改善圖像復(fù)原質(zhì)量的前提下，能有效降低算法的運(yùn)行時(shí)間.

最后，為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的有效性，對(duì)幾幅實(shí)拍模糊圖像進(jìn)行盲復(fù)原實(shí)驗(yàn)，選取了盲復(fù)原算法中常用未知模糊核的“魚”和“佛”實(shí)拍圖像［5］，復(fù)原效果如圖6和圖7所示.由圖6和圖7可以看出，所提算法對(duì)高斯模糊之外的實(shí)際拍攝的模糊圖像也具有很好的復(fù)原效果.

圖6　魚復(fù)原效果比較Fig.6 Recovered results of Fish with different algorithms

圖7　佛復(fù)原效果比較Fig.7 Recovered results of Buddha with different algorithms

5　結(jié)　語

針對(duì)現(xiàn)有基于稀疏表示的圖像盲復(fù)原方法中計(jì)算量大且恢復(fù)細(xì)節(jié)有限等問題，本文采用一種新的非重疊分塊方式降低算法的復(fù)雜度，并利用新型的稀疏編碼算法提高字典的自適應(yīng)性和編碼的有效性.另外將作為稀疏性度量范數(shù)融入總的代價(jià)函數(shù)，提出新的盲復(fù)原模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的盲復(fù)原算法在保證改善圖像復(fù)原質(zhì)量的同時(shí)，大大降低了算法的整體復(fù)雜度.

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（責(zé)任編輯：趙艷靜）

A Union of New Patch-Dictionary Sparse Representation and Gradient Prior for Blind Image Deblurring

Yang Aiping，Liang Bin，He Yuqing，Zhang Liyun，Wei Baoqiang
（School of Electronic Information Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

In the light of the heavy computational loads and the limited ability in detail preserving of sparse representation-based blind image deblurring algorithms，a new method based on patch-dictionary approach and gradient prior was proposed in this paper.First，in order to increase the computational efficiency，a multimode non-overlapping strategy，in which the image recovery was independently carried out in each mode，was presented，and then the results of the subproblems were averaged to eliminate artificial effects；In addition，using thenorm as the sparsity measure，we incorporated the gradient prior into the sparse deblurring model.Finally，we designed a novel combined new patch-dictionary sparse representation and gradient prior image deblurring model in which the deblur kernel updating and the deblurred image estimating were performed in turn via the iteration.Experimental results show that the approach proposed achieves better results in both subjective and objective evaluation criteria and significantly reduces the overall complexity of the algorithm.

blind deblurring；new patch-dictionary sparse representation；sparse gradient prior

TP391

A

0493-2137（2016）09-0984-08

10.11784/tdxbz201501058

2015-01-21；

2015-05-22.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61372145，61472274，61201371）.

楊愛萍（1977— ），女，博士，副教授.

楊愛萍，yangaiping@tju.edu.cn.

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-05-28. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20150528.0828.001.html.