不具有磁擴散的磁流體方程組的最新進展

向昭銀

（電子科技大學　數(shù)學科學學院，成都 611731）

不具有磁擴散的磁流體方程組的最新進展

向昭銀

（電子科技大學數(shù)學科學學院，成都 611731）

不具有磁擴散的磁流體方程組可以用于描述高溫等離子體的強烈碰撞或者碰撞所產生的阻尼很小的磁流體運動。本文主要對不具有磁擴散的磁流體方程組經典解的整體存在性等問題的最新研究進展進行了綜述，并提出了一些值得進一步深入研究的公開問題.

磁流體方程組；磁擴散；經典解；整體存在性

0 引 言

在本文中，我們將綜述如下不可壓縮磁流體方程組解的局部、整體存在性與大時間行為等方面的研究進展：

其中Ω??d。這里，B和 u分別表示磁場和流體速度場，p是相應的壓力，μ和 ν分別代表磁擴散系數(shù)和動力學粘性系數(shù)。

磁流體方程組（1）描述了導電流體在磁場中運動時磁場與流體相互作用的動力學行為。在方程組（1）的第三個方程中，▽·B=0反映了不存在磁單極，它可以由初始時刻磁單極的不存在性所確定；▽·u=0反映了流體的不可壓縮性質；若記E為電場，j為電流密度，σ為介質的電導率，則方程組（1）的第一個方程可以在安培定律▽×B=ε?tE+j中忽略位移電流（即ε=0），結合法拉第定律▽×E=-?tB、歐姆定律j=σ（E+u×B）并取μ∶=1/σ所得到；方程組（1）中的第二個方程是具有外力作用的Navier-Stokes方程，它描述了動量守恒，其中外力為洛倫茲力j×B。

物理學家Alfven于上世紀40年代建立了磁流體力學［1］，并因此獲得了1970年的Nobel物理學獎。數(shù)學上的研究起源于上世紀70年代。四十多年來，關于方程組（1）的解的存在唯一性等問題，已經取得了許多重要的進展。

1 關于具有磁擴散的磁流體方程組的研究

在完全耗散（即μ＞0且ν＞0）情形，Duvaut和Lions［2］在Sobolev空間HS（?d）中證明了方程組（1）的Cauchy問題經典解的局部存在性、唯一性以及小初值解的整體存在性。最近，Abidi和Paicu［3］在臨界空間框架下研究了非齊次介質中的磁流體方程組（1），得到了類似于文獻［2］的結果。在二維情形，Sermange和Temam［4］進一步證明了方程組（1）的Cauchy問題對于大初值，解也是整體存在的。由于三維Navier-Stokes方程大初值經典解的整體存在性是一個公開的問題，因此三維情形方程組（1）經典解的整體存在性也是一個公開問題。最近，He，Huang和Wang［5］等證明了對于大初值，只要初始磁場和初始速度場的差比較小，方程組（1）的Cauchy問題在三維情形仍存在整體經典解。另一方面，Jiu和Liu［6］也對具有某種徑向對稱結構的大初值，建立了方程組（1）Cauchy問題解的整體存在。具有完全耗散的方程組（1）在初邊值條件下的相應問題也有許多重要的進展，上述有關Cauchy問題的大部分結論仍成立。

一個自然的問題是，對于具有部分耗散（即μ＞0與ν＞0不同時成立）的方程組（1）是否存在整體解？當Ω=?2時，Cao和Wu［7］首次證明了具有混合部分粘性與部分磁擴散的方程組（1）整體經典解的存在唯一性及零粘性情形弱解的整體存在性；隨后，Cao，Regm i和Wu［8］進一步證明了具有水平粘性和水平磁擴散的方程組（1）整體經典解的存在唯一性；Du和Zhou［9］則對粘性系數(shù)與磁擴散系數(shù)進行了更細致的分類，并在各種情形研究了經典解的整體存在性與正則性準則。關于零粘性及分數(shù)階磁擴散方程組（1）經典解整體存在性的研究，我們參考［10—12］。

2 關于不具有磁擴散的磁流體方程組Cauchy問題的研究

值得指出的是，上述的所有研究工作中，為了得到經典解的整體存在性，都或多或少地要求磁場具有一定的擴散。但是，由于等離子體為良導體，即σ?1。因此在等離子物理的許多研究問題中，都可以假設μ=0，此時方程組（1）可以轉化為如下不具有磁擴散形式的磁流體方程組：

事實上，在等離子物理中，基于磁流體波的高溫等離子的受熱研究是一個相當有趣而具有挑戰(zhàn)性的問題。因此，不具有磁擴散的磁流體方程組（2）可以用于描述高溫等離子體的強烈碰撞或者由于碰撞所產生的阻尼很小的磁流體運動。

近年來，磁流體力學方程組（2）的數(shù)學理論也吸引了許多數(shù)學家的高度關注。對于光滑初值，利用標準的能量方法很容易證明解的局部存在性與唯一性。最近，許多數(shù)學家在低正則初值假設之下研究了局部適定性問題。例如，F(xiàn)efferman等［13］通過建立一個新的交換子估計，在中證明了方程組（2）局部解的存在唯一性，其中，d=2，3；Chemin等［14］則在臨界Besov空間中證明了局部解的存在性及d=3時的唯一性；Wan［15］進一步證明了d=2時的唯一性。

一個長期的公開問題是：不具有磁擴散的磁流體方程組（2）是否存在整體經典解？Bardos，Sulem和Sulem［16］證明了，對于強的背景磁場及小的局部化初始攝動，理想磁流體方程組（即方程組（2）中ν=0）存在光滑整體解且當t→∞時，非線性的相互作用是可以漸進忽略的。但是，Bardos等這種基于特征的方法不能應用于方程組（2）。Chiuderi和Califano［17］則從數(shù)值上證明了二維磁流體方程組（2）具有不依賴于歐姆電阻的能量耗散率。

在數(shù)學理論方面的研究，Lin和Zhang［18］取得了第一個突破。他們利用各向異性的Besov空間和Littlewood-Paley分解技巧對如下三維磁流體形式的方程組 Cauchy問題在平衡態(tài)（?-，u-）=（x3，0）附近建立了解的經典解的整體存在性：

隨后，Lin和Zhang［19］利用基本的能量方法對（3）建立了經典解的整體存在性，從而簡化了文獻［18］的證明；而Ren，Xiang和Zhang［20］則給出了基于基本的能量方法的簡化證明及衰減估計。對方程組（3）的研究有兩方面的意義：其一是方程組（3）與粘彈性流體方程具有相似的非線性結構，事實上，若?為向量，則（3）就是標準的粘彈性流體方程；其二是在二維情形，由▽·B=0可知存在勢函數(shù)?使得B=（?2?-?1?），從而方程組（3）在二維情形等價于不具有磁擴散的磁流體方程組（2）。關于不具有磁擴散的二維磁流體方程組（2）的第一個數(shù)學結果屬于Lin，Xu和Zhang［21］。他們利用Lagrange坐標和各向異性的Besov空間技巧證明了方程組（2）的Cauchy問題在平衡態(tài)（，）=（e1，0）附近存在整體經典解；隨后，Zhang［22］給了一個基于基本能量方法的證明；Ren等［23］則進一步建立了解的衰減估計。最近，Zhang［24］證明了對于大初值，只要背景磁場充分強，方程組（2）仍存在整體強解；對在二維情形的相關工作，我們也參考［25，26］。關于不具有磁擴散的三維磁流體方程組（2）的Cauchy問題，Xu和Zhang［27］證明了對于一類具有某種相容性條件的初值，在平衡態(tài)（，）=（e1，0）附近存在整體經典解；Abidi和Zhang［28］則進一步去掉了關于初值的相容性限制。關于三維情形不具有磁擴散的磁流體方程組（2）在的大初值條件下的整體存在性問題，最近也有一些深入研究。比如，Lei［29］考慮方程組（2）在磁場旋轉且垂直于速度場（即在球面坐標系下uθ=Br=BZ=0）情形有限能量解的整體存在性；Jiu等［30］以代替△u，并得到了類似于［29］的結果。

3 關于不具有磁擴散的磁流體方程組初邊值問題的研究

上述有關不具有磁擴散的磁流體方程組經典解的整體存在性都是針對Cauchy問題，并不涉及邊界條件。事實上，對于方程組（2）的初邊值問題而言，關于Cauchy問題的研究技巧并不適用。

與速度場具有滑動邊界條件、磁場具有非穿透邊界條件

4 關于不具有磁擴散的磁流體方程組的一些公開問題

關于不具有磁擴散的磁流體方程組（2），存在大量尚未解決的公開問題。這里僅僅提出幾個作者感興趣的問題：

1）Cauchy問題大初值解的整體存在性；

2）在一般邊界條件下初邊值問題解的整體存在性；

3）自由邊值問題解的整體存在性；

4）整體經典解的衰減估計等大時間行為；

5）粘性極限（即ν→0）問題。

［1］ALFVEN H.Existence of electromagnetic-hydrodynamic waves［J］.Nature.1942，150：405-406.

［2］DUVAUT G，LIONS J L.Inéquations en thermoelasticitéetmagnétohydrodynamique［J］.Arch.Rational Mech.Anal.，1972，46：241-279.

［3］ABIDIH，PAICU M.Global existence for the magnetohydrodynamic system in critical spaces［J］.Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A，2008，138：447-476.

［4］SERMANGE M，TEMAM R.Some mathematical questions related to the MHD equations［J］.Comm.Pure App l.Math.，1983，36：635-664.

［5］HE C，HUANG X，WANG Y.On some new global existence results for 3D magnetohydrodynamic equations［J］.Nonlinearity，2014，27：343-352.

［6］JIU Q，LIU J.Global regularity for the 3D axisymmetric MHD Equations with horizontal dissipation and vertical magnetic diffu-sion［J］.Disc.Cont.Dyn.Sys.-Series A，2015，35：301-322.

［7］CAO C，WU J.Global regularity for the 2D MHD equations with mixed partial dissipation and magnetic diffusion［J］.Adv. Math.，2011，226：1803-1822.

［8］CAO C，REGMID，WU J.The 2D MHD equations with horizontal dissipation and horizontalmagnetic diffusion［J］.J.Differential Equations，2013，254：2661-2681.

［9］DU L，ZHOU D.Global well-posedness of two-dimensionalmagnetohydrodynamic flows with partial dissipation and magnetic diffusion［J］.SIAM J.Math.Anal.，2015，47：1562-1589.

［10］CAO C，WU J，YUAN B.The 2D incompressible magnetohydrodynamics equations with only magnetic diffusion［J］.SIAM J. Math.Anal.，2014，46：588-602.

［11］JIU Q，ZHAO J.Global regularity of2D generalized MHD equationswith magnetic diffusion［J］.Z.Angew.Math.Phys.，2015，66：677-687.

［12］TRAN C，YU X，ZHAIZ.On global regularity of 2D generalized magnetohydrodynam ic equations［J］.J.Differential Equations，2013，254：4194-4216.

［13］FEFFERMAN C，MCCORM ICK D，ROBINSON J，et al.Higher order commutator estimates and local existence for the non-resistive MHD equations and related models［J］.J.Functional Analysis，2014，267：1035-1056.

［14］CHEMIN J，MCCORMICK D，ROBINSON J，et al.Local existence for the non-resistive MHD equations in Besov spaces［J］. Adv.Math.，2016，286：1-31.

［15］WAN R.On the uniqueness for the 2D MHD equations withoutmagnetic diffusion［DB/OL］.Eprint arXiv，2015，arXiv：1503. 03589.

［16］BARDOSC，SULEM C，SULEM P.Longtime dynam ics of a counductive fluid in the presence of a strong magnetic field［J］. Trans.Amer.Math.Soc.，1988，305：175-191.

［17］CALIFANO F，CHIUDERIC.Resistivity-independent dissipation ofmagnetrodydrodynam ic waves in an inhomogeneous plasma［J］.Phy.Rev.E，1999，60：4701-4707.

［18］LIN F，ZHANG P.Global small solutions to MHD type system（I）：3-D case［J］.Comm.Pure.Appl.Math，2014，67：531-580.

［19］LIN F，ZHANG T.Global small solutions to a complex fluid model in 3D［J］.Arch.Rational Mech.Anal.，2015，216：905-920.

［20］REN X，XIANG Z，ZHANG Z.Decay of smooth solution for the 3D MHD-type equationswithoutmagnetic diffusion［J］.Science China Mathematics，2016，to appear.

［21］LIN F，XU L，ZHANG P.Global small solutions of 2-D incompressible MHD system［J］.J.Differential Equations，2015，259：5440-5485.

［22］ZHANG T.An elementary proof of the global existence and uniqueness theorem to 2-D incompressible non-resistive MHD system［EB/OL］.（2014-04-23）［1015-11-20］.http：//arxiv.org/pdf/1404.5681V2.pdf.

［23］REN X，WU J，XIANG Z，ZHANG Z.Global existence and decay of smooth solution for the 2-D MHD equations withoutmagne tic diffusion［J］.J.Functional Analysis，2014，267：503-541.

［24］ZHANG T.Global solutions to the 2D viscous，non-resistive MHD system with large background magnetic field［J］.J.Differen tial Equations.2016，http：//dx.doi.org/10.1016/j.jde.2015.12.005

［25］HU X，LIN F.Global existence for two dimensional incompressible magnetohydrodynamic flows with zero magnetic diffusivity［EB/OL］.（2014-05-01）［2015-12-01］.http：//arxiv.org/pd f/140s.0082V1.pdf.

［26］WU J，WU Y，XU X.Global small solution to the 2D MHD system with a velocity damping term［J］.SIAM J.Math.Anal.，2015，47：2630-2656.

［27］XU L，ZHANG P.Global small solutions to three dimensional incompressible MHD system［J］.SIAM J.Math.Anal.，2015，47：26-65.

［28］ABIDIH，ZHANG P.On the global solution of 3-D MHD system with initial data near equilibrium［EB/OL］.（2015-11-10）［2015-12-01］.http：//arxiv.org/pdf/1511.02978v1.pdf

［29］LEI Z.On axially symmetric incompressible magnetohydrodynam ics in three dimensions［J］.J.Differential Equations，2015，259：3202-3215.

［30］JIU Q，YU H，ZHENG X.Global well-posedness for axisymmetric MHD system with only vertical viscosity［EB/OL］.（2015-07-09）［2015-12-01］.http：//arxiv.org/pdf/1507.02468.pdf.

［31］REN X，XIANG Z，ZHANG Z.Global well-posedness for the 2D MHD equations withoutmagnetic diffusion in a strip domain［J］.Nonlinearity，2016，to appear.

［32］TAN Z，WANG Y.Global well-posedness of an initial-boundary value problem for viscous non-resistive MHD systems［EB/ OL］.（2015-11-24）［2015-12-1］，http：//arxiv/pdf/1509.08349V3.pdf.

Recent Studies on the MHD EquationsW ithout M agnetic Diffusion

XIANG Zhaoyin
（School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China）

The MHD equations without magnetic diffusion can be applied tothe description of strong p lasma collisions or the extremely small resistivity due to these collisions.In this article，the recent studies on the MHD equations withoutmagnetic diffusion are exam ined，exposing several issues still in this area.

MHD equations；zero magnetic diffusion；classical solution；global existence

O175.2

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.01.018

1673-5072（2016）01-0120-05

2016-01-11

國家自然科學基金項目（11571063）

向昭銀（1978—），男，四川合江人，博士，教授，博士生導師，主要從事偏微分方程研究。

向昭銀，E-mail：zxiang@uestc.edu.cn