雙曲線一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)的簡(jiǎn)證與推廣

安徽省銅陵市第一中學(xué)

陳良驥　　(郵編：244000)

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雙曲線一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)的簡(jiǎn)證與推廣

安徽省銅陵市第一中學(xué)

陳良驥(郵編：244000)

通過對(duì)雙曲線一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)的簡(jiǎn)證， 試圖深刻解釋其本質(zhì)，并參照簡(jiǎn)證的過程對(duì)原性質(zhì)推廣，最后給出雙曲線中一系列優(yōu)美的性質(zhì).

雙曲線;漸近線;二次曲線方程;交點(diǎn)曲線系方程

趙忠華老師在貴刊2016年第2期提出如下一個(gè)定理：在雙曲線所在的平面內(nèi)任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在漸近線和雙曲線上)，過此點(diǎn)作兩條漸近線的平行線，這兩條直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與漸近線交于兩點(diǎn)，則雙曲線上兩點(diǎn)連線平行于漸近線上兩點(diǎn)連線.文[1]利用坐標(biāo)法加以證明，運(yùn)算量略大.這里筆者另辟蹊徑，給出利用二次曲線方程的證法，一方面使得證明過程得到簡(jiǎn)化，另一方面在此基礎(chǔ)上對(duì)原性質(zhì)作出一些推廣，并試圖從二次曲線的層面深刻揭示其本質(zhì).

圖1

為了方便，文[1]中的雙曲線性質(zhì)用性質(zhì)1的方式表述.

1　簡(jiǎn)證過程

注意到AB和MN的斜率相等，且縱截距不相等，所以AB//MN.

說明以上的解答基于二次曲線里的一個(gè)基本的原理，即若二次曲線T1和T2的方程分別為a1x2+b1y2+c1xy+d1x+e1y+f1=0 和a2x2+b2y2+c2xy+d2x+e2y+f2=0且它們有交點(diǎn)，則經(jīng)過T1和T2交點(diǎn)的二次曲線系方程是a1x2+b1y2+c1xy+d1x+e1y+f1+λ(a2x2+b2y2+c2xy+d2x+e2y+f2)=0(不包括曲線T2).性質(zhì)1證明過程中首先將直線l1,l2所形成的點(diǎn)集C1視作一個(gè)特殊的二次曲線，然后將二次曲線C1和雙曲線C2的方程相減即得其交點(diǎn)AB所形成的方程，本質(zhì)是在曲線系方程中取了λ=-1，由于二次曲線C1和雙曲線C2的方程的特殊性，使得此時(shí)其二次曲線恰好退化成一條過兩交點(diǎn)的直線.

2　相關(guān)推廣

根據(jù)上述的證明過程，我們不難得出性質(zhì)2和性質(zhì)3(證明略)

圖2

說明從另一個(gè)角度看，性質(zhì)4中雙曲線C在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線l可以視作性質(zhì)1中的A,B兩點(diǎn)重合的極端情況.當(dāng)然，性質(zhì)1—4還可以向點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于雙曲線的極線方向推廣，此處從略.下面我們從過點(diǎn)P(x0,y0)作其它兩條特殊直線方面開始推廣研究.

圖3

從幾何的層面看，性質(zhì)5是顯而易見的，下面我們給出利用二次曲線系方程的證法.

接下來，我們研究?jī)蓷l垂線與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)的狀況.

圖4

其證明過程也非常類似，如下

令一方面，設(shè)直線A1B1,A2B2的方程分別為a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0，則A1B1、A2B2所成點(diǎn)集的二次曲線系方程是(a1x+b1y+c1)·(a2x+b2y+c2)=0.

同理A1B2、B1A2的傾斜角也互補(bǔ)或都為0.

若將過點(diǎn)P(x0,y0)作l1、l2的垂線改成過點(diǎn)P(x0,y0)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線即得到性質(zhì)7.

圖5

如果點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線C上，考慮性質(zhì)7的極端形式，不難得出性質(zhì)8(證明略).

圖6

說明性質(zhì)7—8還可以推廣至方程無xy項(xiàng)的一般的二次曲線，相關(guān)結(jié)論留給讀者.

1趙忠華.雙曲線一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)的發(fā)現(xiàn) [J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) ，2016(2)

2016-07-29)