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      關(guān)于Pα漸近線

      2022-04-19 10:30:44劉仕田
      關(guān)鍵詞:割線漸近線動(dòng)點(diǎn)

      劉仕田

      (四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000)

      1 背 景

      曲線的漸近線能夠很好的控制圖形,因而給出其漸漸線尤為重要.李曉萍[1]給出了平面的切線與漸近線的關(guān)系,并提出了下面的問題:設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,∞)連續(xù),過點(diǎn)(x,f(x))和(x+1,f(x+1))的割線方程為:Y=f(x)=(f(x+1)-f(x))(X-x).當(dāng)x→∞時(shí),割線與函數(shù)的漸近線有什么關(guān)系?

      在本文中,一方面給出了Pα漸近線存在性定理,其次對(duì)問題進(jìn)行了回答.

      2 基本概念及其基礎(chǔ)知識(shí)

      定義1[4]若曲線C上動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與定直線L的距離區(qū)域0,那么稱直線L為曲線C的漸近線.

      根據(jù)定義1, 可以得到下面的常見定義.

      我們對(duì)斜漸近線和P2推廣,得到下面的定義.

      定義3假設(shè)a0,a1,a2是常數(shù)且常數(shù)α2≥α1≥0.若當(dāng)曲線f(x)上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與某曲線y=a2xα2+a1xα1+a0的距離趨于0.如果a2≠0,那么稱曲線y=a2xα2+a1xα1+a0為曲線的Pα2-漸近線;如果a2=0但a1≠0,那么稱y=a1xα1+a0為Pα1-漸近線;如果α2=α1=0,那么y=a0是水平漸近線.

      注釋1若α2=2,α1=0或1,則Pα2漸近線就是P2-漸近線;若a2=0,α1=1,則Pα1漸近線就是斜漸近線.

      注釋2顯然若存在Pα2漸近線,必然有α2>α1≥0.

      定義4假設(shè)ai,αi是常數(shù),i=1,2,…,n且滿足αn>αn-1≥…≥a0≥0.若當(dāng)曲線f(x)上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與某曲線y=anxαn+an-1xαn…+a1xα1+a0的距離趨于0,那么稱y=anxαn+an-1xαn…+a1xα1+a0是曲線的Pαn漸近線.

      3 Pαn漸近線存在性

      本節(jié)主要就定義3,討論曲線漸近線存在性問題.

      由此可知,存在Pα1-漸近線y=a1xα1+a0.

      由極限運(yùn)算法則,可得:

      注釋由命題2,同樣地可以得到Pαn漸近線存在性的命題.

      4 問題的解答

      于是我們可得漸近線為:

      可以驗(yàn)證,當(dāng)n=1,2,3時(shí),可以得到文[2]的形式.

      結(jié) 語(yǔ)

      本文討論關(guān)于漸近線的一個(gè)推廣.我們對(duì)以直線或以二次多項(xiàng)式為漸進(jìn)線的函數(shù)做了進(jìn)一步的考慮,并且將其推廣到是αn次多項(xiàng)式為漸近線(這里分?jǐn)?shù)次多項(xiàng)式是如下的形式的多項(xiàng)式:anxαn+an-1xαn-1+…+a0這里an≠0且αn>αn-1≥…≥α1≥0≥0).對(duì)于存在性命題2,是否可以利用泰勒公式了考慮?因此我們就此提出一個(gè)問題:

      問題:如果考慮函數(shù)的導(dǎo)數(shù),那么如何得出相應(yīng)的存在性定理?

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