基于累積張量分解的雷達(dá)信號(hào)欠定盲分離算法

艾小凡,羅勇江,趙國慶

(西安電子科技大學(xué)電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710071)

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基于累積張量分解的雷達(dá)信號(hào)欠定盲分離算法

艾小凡,羅勇江,趙國慶

(西安電子科技大學(xué)電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710071)

針對(duì)時(shí)域和頻域不充分稀疏條件下的雷達(dá)信號(hào)欠定盲分離問題,提出了基于信號(hào)不同時(shí)延的累積量與三階張量分解估計(jì)混合矩陣的方法,并通過修正子空間投影算法完成對(duì)雷達(dá)源信號(hào)的恢復(fù)。首先將混合信號(hào)的四階累積量表示成三階張量,利用三階張量分解獲得混合矩陣估計(jì)值;通過求解雷達(dá)源信號(hào)任意時(shí)頻點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的估計(jì)矩陣的列矢量,得到該時(shí)頻點(diǎn)處最優(yōu)超定矩陣的偽逆并恢復(fù)源信號(hào)。該算法可以解決復(fù)雜電磁環(huán)境下時(shí)頻域同時(shí)混疊的雷達(dá)信號(hào)盲分離問題,仿真結(jié)果表明與現(xiàn)有算法相比提高了盲分離中混合矩陣估計(jì)性能和源信號(hào)恢復(fù)性能。

盲源分離; 欠定混合矩陣; 四階累積量; 張量分解; 子空間投影

0　引　言

盲源分離(blind source separation,BSS)已成為信號(hào)處理的熱點(diǎn)領(lǐng)域,它是指在未知的傳輸通道和源信號(hào)的條件下,僅通過傳感器收到的混合信號(hào)來分離源信號(hào)。在實(shí)際過程應(yīng)用中,混合信號(hào)的個(gè)數(shù)往往小于源信號(hào)的個(gè)數(shù)，此時(shí)稱為欠定盲源分離(underdetermined blind source separation,UBSS)[1]。隨著現(xiàn)代電子戰(zhàn)電磁環(huán)境的復(fù)雜化,信號(hào)參數(shù)空間嚴(yán)重交疊,傳統(tǒng)的基于參數(shù)的雷達(dá)信號(hào)分選系統(tǒng)性能受到嚴(yán)重影響。近年來,許多學(xué)者[2-3]將盲源分離的方法應(yīng)用于雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域,如雷達(dá)信號(hào)分選、DOA估計(jì)等,并取得了一定的效果。

許多學(xué)者提出了基于稀疏成分分析(sparse component analysis,SCA)的欠定盲源分離問題的解決方法[1,4-7],文獻(xiàn)[1]提出了利用勢函數(shù)的方法估計(jì)混合矩陣,然后采用l1范數(shù)優(yōu)化的方法恢復(fù)源信號(hào);文獻(xiàn)[5]提出了利用聚類的方法估計(jì)混合矩陣;后有學(xué)者提出了基于勢函數(shù)改進(jìn)方法[6];針對(duì)混合矩陣的估計(jì),文獻(xiàn)[7]提出了一種基于時(shí)頻比(time-frequency ratio of mixtures,TIFROM)的方法。上述這些方法均需要源信號(hào)滿足稀疏性,無法解決時(shí)域和頻域混疊且不充分稀疏條件下雷達(dá)信號(hào)盲分離問題。針對(duì)不充分稀疏條件下的欠定盲分離,文獻(xiàn)[8]提出了利用矩陣對(duì)角化求解混合信號(hào)的四階統(tǒng)計(jì)特性完成混合矩陣的估計(jì);文獻(xiàn)[9]提出了利用聯(lián)合矩陣對(duì)角化和聯(lián)合矩陣非對(duì)角化兩種方法求解混合矩陣,上述兩種算法無需信號(hào)滿足稀疏性的條件,但要求源信號(hào)具有相同的非零峭度符號(hào),且僅僅只討論了混合矩陣的估計(jì);文獻(xiàn)[10]提出的基于四階累積張量的方法需要假設(shè)混合矩陣具有非負(fù)性,同時(shí)文中的源信號(hào)恢復(fù)算法不適用時(shí)域和頻域混疊且不充分稀疏條件下雷達(dá)信號(hào)。文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[12]提出了基于二次時(shí)頻分布的欠定盲源分離信號(hào)恢復(fù)算法,但文獻(xiàn)[11]中的方法需要混合矩陣已知且滿足一定的約束條件,文獻(xiàn)[12]采用時(shí)頻綜合的方法恢復(fù)源信號(hào),源信號(hào)的頻率范圍需要滿足一定的條件。針對(duì)源信號(hào)的恢復(fù),文獻(xiàn)[13]提出了一種基于子空間投影的盲分離算法,文獻(xiàn)[14]提出了一種改進(jìn)的子空間投影算法,通過計(jì)算時(shí)頻點(diǎn)之間的歐式距離來確定任意時(shí)頻點(diǎn)源信號(hào),這兩種方法在任意時(shí)頻點(diǎn)實(shí)際存在的源信號(hào)數(shù)小于設(shè)置的定值時(shí)則較難以恢復(fù)出源信號(hào)。

針對(duì)上述方法的不足,本文提出了一種利用混合信號(hào)不同的時(shí)延四階累積量構(gòu)造為三階張量,并對(duì)其進(jìn)行分解完成對(duì)混合矩陣的估計(jì),然后修正子空間投影算法實(shí)現(xiàn)對(duì)雷達(dá)源信號(hào)的恢復(fù)。針對(duì)張量的分解,采用改進(jìn)的迭代最小二乘算法得到估計(jì)的混合矩陣;然后求解任意時(shí)頻點(diǎn)處實(shí)際的源信號(hào)個(gè)數(shù)及其對(duì)應(yīng)的估計(jì)矩陣的列矢量,獲得該時(shí)頻點(diǎn)處最優(yōu)的超定矩陣并利用其偽逆恢復(fù)源信號(hào)。該方法可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜電磁環(huán)境下時(shí)頻域混疊的雷達(dá)信號(hào)盲分離問題,完成對(duì)混合矩陣的盲估計(jì)和源信號(hào)的分離。

1　信號(hào)模型

設(shè)M個(gè)陣元接收到P(P>M)個(gè)雷達(dá)信號(hào),混合信號(hào)X(t)∈CM可表示為

(1)

式中,S(t)∈CP表示P個(gè)雷達(dá)信號(hào)；未知混合矩陣A=[a1,a2,…,aP]∈CM×P；N(t)表示陣元上的加性觀測噪聲。

為了解決時(shí)域和頻域混疊且不充分稀疏條件下的雷達(dá)信號(hào)欠定盲分離問題,假設(shè)矩陣A和雷達(dá)信號(hào)S(t)滿足下列3個(gè)條件:

(1)A中任意M×M子矩陣的行列式不為0,且滿足M2≥P;

(2)源信號(hào)的各分量為零均值且為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的非高斯信號(hào);

(3)任意時(shí)頻點(diǎn)上,源信號(hào)同時(shí)存在的個(gè)數(shù)J小于混合信號(hào)的個(gè)數(shù)。

在實(shí)際過程中,不同的雷達(dá)源信號(hào)之間是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且為非高斯信號(hào),因此假設(shè)(2)是比較容易滿足。

2　混合信號(hào)的四階累積量

混合信號(hào)的四階累積量采用四次協(xié)方差矩陣QX(τ1,τ2,τ3)∈CM2×M2表示,定義如下:

(2)

式中,1≤i,j,k,l≤M；“*”為復(fù)數(shù)共軛；xi(t)表示混合信號(hào)X(t)的第i路混合信號(hào)。

將式(1)代入式(2)可得

(3)

式中,QS(τ1,τ2,τ3)表示源信號(hào)的四次協(xié)方差矩陣,其維數(shù)為P2×P2;?表示Kronecker乘積。

由假設(shè)條件(b)可知,統(tǒng)計(jì)獨(dú)立源信號(hào)的四次協(xié)方差矩陣QS(τ1,τ2,τ3)至少包含P2-P個(gè)零元素[8],因此式(3)可以表示為

(4)

(5)

3　基于累積張量的混合矩陣估計(jì)

(6)

式中,K是大于P的正整數(shù)(K一般取2P)。

定義張量T∈CM2×M2×K和矩陣D∈CK×P,其中張量T的第(i,j,k)個(gè)元素為Ti,j,k=[QX(0,0,k-1)]i,j,矩陣D的第(k,r)個(gè)元素Dk,r=[CS(0,0,k-1)]r,r,因此式(6)可表示為

(7)

(8)

根據(jù)張量理論可知,上述張量分解得到的混合矩陣在排序和幅值的不確定性并不影響三階張量分解的唯一性[15],即式(8)中的三階張量T滿足式(9)時(shí),張量T的正則分解是唯一的:

(9)

式中,kAQ與kD分別表示矩陣AQ和D的Krustal秩(簡稱k-秩)。

由假設(shè)條件1可知,AQ的k-秩為P,又因?yàn)榫仃嘍的k-秩為P,所以式(9)可以表示為P≥2。即當(dāng)混合信號(hào)和源信號(hào)滿足2≤P≤M2時(shí),張量T的分解是唯一的。對(duì)張量正則分解后得到的矩陣,其列矢量在幅度和位置的不確定性,并不會(huì)對(duì)混合矩陣的估計(jì)和源信號(hào)的恢復(fù)造成影響。

(10)

4　基于修正的子空間投影法的源信號(hào)恢復(fù)

(11)

式中,X(t,f)∈CM；S(t,f)∈CN分別是混合信號(hào)和源信號(hào)在時(shí)頻點(diǎn)(t,f)的STFT系數(shù)。在任意時(shí)頻點(diǎn)(t0,f0)處,式(11)可以表示為

(12)

矩陣AL的正交投影矩陣Q為

(13)

正交投影矩陣Q滿足以下特征:

(14)

(15)

上述傳統(tǒng)的子空間投影法假設(shè)任意時(shí)頻點(diǎn)(t0,f0)都有L個(gè)源信號(hào),但當(dāng)該時(shí)頻點(diǎn)實(shí)際的源信號(hào)數(shù)m與L不一致時(shí),源信號(hào)的恢復(fù)會(huì)引入噪聲,且m與L相差越大,算法性能越差[14]。

本文提出一種修正子空間投影方法,通過估計(jì)任意時(shí)頻點(diǎn)處實(shí)際的源信號(hào)數(shù)m以及對(duì)應(yīng)的混合矩陣列矢量AL,完成源信號(hào)的恢復(fù),提高源信號(hào)恢復(fù)性能,下面給出修正子空間投影算法恢復(fù)源信號(hào)方法。

(16)

式中，i∈{α1,…,αm}且i?{β1,…,βr}。

由于噪聲等其他因素的影響,式(16)的值一般不嚴(yán)格等于0,因此其計(jì)算結(jié)果滿足‖QrX(t0,f0)‖<ε(ε一般取0.1)時(shí),則認(rèn)為‖QrX(t0,f0)‖等于0。

通過上述分析可知,求解任意時(shí)頻點(diǎn)處源信號(hào)個(gè)數(shù)以及源信號(hào)對(duì)應(yīng)的混合矩陣列矢量Ar可以轉(zhuǎn)換為對(duì)下式的優(yōu)化問題:

(17)

式中,P為源信號(hào)個(gè)數(shù)；Ar為混合矩陣A中的r個(gè)列矢量張成的矩陣；Qr為Ar的正交投影矩陣。

修正的子空間投影法源信號(hào)恢復(fù)算法步驟:

步驟1計(jì)算混合信號(hào)的STFT系數(shù)X(t,f),初始化r=1;

步驟2選擇某一個(gè)時(shí)頻點(diǎn)(t0,f0);

5　仿真結(jié)果

為了評(píng)價(jià)混合矩陣的估計(jì)效果,定義平均相對(duì)誤差EA為混合矩陣評(píng)價(jià)因子[1]:

(18)

源信號(hào)的恢復(fù)性能采用類似信噪比的方法作評(píng)價(jià)因子[1],定義如下:

(19)

源信號(hào)為4個(gè)線性調(diào)頻雷達(dá)信號(hào),混合信號(hào)個(gè)數(shù)3。采樣率200 MHz,采樣點(diǎn)數(shù)為4 000,各個(gè)信號(hào)歸一化頻率范圍為[0.5,0]、[0,0.3]、[0.24,0.5]和[0.3,0.2]。混合矩陣A中各個(gè)元素通過下式給出:

(20)

圖1　4個(gè)雷達(dá)源信號(hào)的時(shí)頻圖Fig.1　TFD of four original radar source signals

采用基于聯(lián)合對(duì)角化的四階累積量混合矩陣估計(jì)算法(FOOBI)[9]、基于時(shí)頻分布的盲分離算法(TFDs_based)[12]以及本文算法對(duì)混合信號(hào)分別進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),得到混合矩陣的性能隨信噪比的變化曲線,如圖3所示。從圖中可以看出,本文方法的混合矩陣估計(jì)精度相對(duì)較優(yōu)。

圖2　混合信號(hào)X(1)的時(shí)頻分布Fig.2　TFD of the mixed signal X(1)

圖3　不同信噪比下混合矩陣估計(jì)性能Fig.3　Performance of mixing matrix estimation versus SNR

圖4為本文算法在信噪比為15dB時(shí)恢復(fù)的源信號(hào)時(shí)頻圖。圖5為本文算法和傳統(tǒng)子空間投影算法[13]在源信號(hào)恢復(fù)性能上隨信噪比變化的曲線。圖5中,L為傳統(tǒng)子空間投影算法假設(shè)的時(shí)頻點(diǎn)上源信號(hào)個(gè)數(shù),仿真結(jié)果表明L的取值對(duì)源信號(hào)恢復(fù)性能影響較大;本文算法通過計(jì)算每個(gè)時(shí)頻點(diǎn)處實(shí)際存在的源信號(hào)個(gè)數(shù),提高了算法對(duì)源信號(hào)的恢復(fù)性能。

圖4　本文算法恢復(fù)的4個(gè)源信號(hào)時(shí)頻圖Fig.4　TFD of four signals recovered by the proposed method

圖5　源信號(hào)恢復(fù)性能Fig.5　Performance of source reconstruction

6　結(jié)　論

本文提出了一種利用張量分解與累積量相結(jié)合的方法估計(jì)混合矩陣,并修正了子空間投影算法用于源信號(hào)恢復(fù)方法,可解決時(shí)域和頻域不充分稀疏條件下的雷達(dá)信號(hào)欠定盲分離。仿真結(jié)果表明與現(xiàn)有算法相比,本文方法估計(jì)的混合矩陣和恢復(fù)的源信號(hào)性能較優(yōu),驗(yàn)證了該方法用于解決時(shí)域和頻域混疊且不充分稀疏條件下的雷達(dá)信號(hào)欠定盲分離問題的可行性。

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Underdetermined blind separation of radar signals based on tensor decomposition

AI Xiao-fan,LUO Yong-jiang,ZHAO Guo-qing

(Key Laboratory of Electronic Information Countermeasure and Simulation Technology, Ministry of Education,Xidian University,Xi’an 710071,China)

Considering the underdetermined blind separation of radar signals which is non-disjoint in time-frequency domain,a method based on observed signals and the cumulant is proposed for estimating matrix,and then the modified subspace projection is used for recovering radar signal.Firstly,the fourth-order cumulant is constructed based on observed signals and the cumulant is expressed as the third-order tensor,the mixed matrix is estimated by tensor decomposition with enhanced line search alternating least square.Finally,the over-determined matrix,which is calculated by estimating the column vector corresponds to the active original signal at any time-frequency point,is used to complete the estimation of signal by Moore-Penrose.The proposed method can solve the blind separation of non-disjoint radar signals in the time-frequency domain under complex electromagnetic environment.Simulation results show that the proposed method outperforms the existing methods in mixed matrix estimation and source recovery.

blind source separation; underdetermined mixtures; fourth-order cumulant; tensor decomposition; subspace projection

2015-10-08；

2015-12-25；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-07-18。

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(FP11015020004)資助課題

TN 971,TN911.7

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.11.09

艾小凡(1988-),男,博士研究生,主要研究方向?yàn)殡娮觽刹炫c信息對(duì)抗、多維信號(hào)處理。

E-mail:xiaofan_ai88@163.com

羅勇江(1979-),男,副教授,博士,主要研究方向?yàn)殡娮觽刹炫c信息對(duì)抗、寬帶實(shí)時(shí)信號(hào)處理。

E-mail:yjluo@mail.xidian.edu.cn

趙國慶(1953-),男,教授,主要研究方向?yàn)殡娮觽刹炫c信息對(duì)抗、雷達(dá)信號(hào)處理。

E-mail:guoqzhao@mail.xidian.edu.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160718.1042.012.html