基于卡爾丹方程的高分辨ROSAR成像算法及性能分析

張　俊,廖桂生,許京偉,朱圣棋

(西安電子科技大學(xué)雷達信號處理國家重點實驗室,陜西 西安 710071)

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基于卡爾丹方程的高分辨ROSAR成像算法及性能分析

張俊,廖桂生,許京偉,朱圣棋

(西安電子科技大學(xué)雷達信號處理國家重點實驗室,陜西 西安 710071)

旋轉(zhuǎn)式合成孔徑雷達(rotor synthetic aperture radar,ROSAR)是一種新型的雷達成像模式,其圓形運動軌跡斜距歷程造成傳統(tǒng)二階斜距近似法在寬方位波束場景下方位向散焦嚴(yán)重。針對這一問題,提出了一種基于卡爾丹方程解析表達式的ROSAR成像算法?？紤]通過對回波信號的斜距表達式進行四階近似,推導(dǎo)了回波信號的二維頻譜,分析距離徙動對成像結(jié)果的影響,提出基于卡爾丹方程解析表達式實現(xiàn)距離徙動補償,進而實現(xiàn)整個場景精確聚焦的成像算法并給出了算法的運算量。仿真實驗驗證了算法的有效性及在噪聲環(huán)境下的穩(wěn)健性。

旋轉(zhuǎn)式合成孔徑雷達; 二維頻譜; 卡爾丹方程; 距離徙動; 四階近似

0　引　言

合成孔徑雷達(synthetic aperture radar,SAR)作為一種全天時、全天候的高分辨率成像雷達,在軍事和民用領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]。旋轉(zhuǎn)式合成孔徑雷達(rotor synthetic aperture radar,ROSAR)是一種新型的雷達成像模式,它既保留了傳統(tǒng)合成孔徑雷達的優(yōu)點,更具有重訪周期短、全視域成像等優(yōu)勢,在應(yīng)急救災(zāi)、自主避險等方面具有重要的應(yīng)用價值[3-4]。

直升機ROSAR模式中,天線被固定在旋翼上,隨旋翼一起做圓周運動,本質(zhì)上,ROSAR成像是利用天線旋轉(zhuǎn)運動形成的方位向圓弧實現(xiàn)合成孔徑,從而在短周期內(nèi)完成全視場二維成像。然而由于ROSAR天線運動軌跡為圓形,導(dǎo)致其斜距歷程與傳統(tǒng)直線SAR相比更為復(fù)雜,難以直接利用駐相原理計算二維頻譜。文獻[5]針對圓跡環(huán)掃SAR(CTSSAR)提出了二階斜距近似求解駐相點的距離多普勒(range-Doppler,RD)算法,在方位角波束較小且距離分辨率較低的情況下,二階近似可以滿足成像的需求,但在方位角波束較大,距離分辨率要求較高的情況下,這種近似會產(chǎn)生較大誤差,影響最終的成像結(jié)果。文獻[6]提出的后向投影(back projection,BP)算法對于復(fù)雜頻譜計算以及圖像重建等問題都具有很好的效果,但由于對場景中的每一個點都進行了插值處理,整個算法的運算量巨大。文獻[7]提出了一種改進ω-κ圓跡SAR算法,由于不需要計算駐相點,具有較好的聚焦結(jié)果,但計算量仍然較大。文獻[8]提出了一種基于頻域分析的ROSAR成像算法,其頻譜展開仍然只保留二次項,雖然能夠校正距離彎曲實現(xiàn)最終成像,但精度較低,當(dāng)距離分辨率要求較高時,會由于距離徙動造成圖像扭曲。文獻[9]基于軌道近似的思想,將ROSAR的圓弧合成孔徑轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)SAR的直線合成孔徑,補償相位誤差后利用ω-κ算法進行聚焦,雖然能夠?qū)崿F(xiàn)最終成像,但圖像散焦情況較為嚴(yán)重,難以滿足高分辨的要求。

針對現(xiàn)有ROSAR成像算法存在的分辨率低、計算量大等問題,本文提出了一種新的高分辨ROSAR快速成像算法。通過分析推導(dǎo)ROSAR信號的斜距公式,對近似斜距的四階項進行計算處理,基于卡爾丹方程解析表達式獲得回波信號的二維頻譜實現(xiàn)最終成像,分析了距離徙動對成像的影響并推導(dǎo)二維分辨率表達式,給出了整個算法的運算量分析,算法具有高分辨、低運算量的優(yōu)點且在噪聲環(huán)境下仍具有較好的穩(wěn)健性。

1　ROSAR回波信號模型與問題分析

圖1所示為ROSAR的幾何模型。將天線固定在直升機旋翼上,其旋轉(zhuǎn)半徑為L,旋轉(zhuǎn)角速度為ω。直升機載機高度為H,當(dāng)天線旋轉(zhuǎn)過一周時,會在地面形成一個圓環(huán)帶照射場景。設(shè)天線俯仰角為φ,俯仰向波束寬度為θeBw,方位向波束寬度為θaBw,且天線照射方向始終與其運動方向垂直。為表述簡便起見,選用圓柱坐標(biāo)系表示目標(biāo)方位,所以場景內(nèi)的點目標(biāo)P坐標(biāo)為(rp,θp,0)。

圖1　ROSAR工作幾何模型Fig.1　Geometric model of ROSAR

定義逆時針旋轉(zhuǎn)方向為正,天線在某一時刻的旋轉(zhuǎn)角為ωta,ta為慢時間,天線的位置可以表示為(L,ωta,H)。根據(jù)余弦定理,可以求出天線陣元與點目標(biāo)P之間的斜距R(ta)表達式為

(1)

雷達發(fā)射的信號為線性調(diào)頻信號,則點目標(biāo)回波基帶信號在距離-方位域(tr-ta域)形式可表示為

(2)

式中，Tp為發(fā)射脈沖寬度;γ為線性調(diào)頻率;c表示光速;λ為雷達工作波長。下面結(jié)合式(1)推導(dǎo)回波信號sp(tr,ta)的二維頻譜Sp(fr,fa)。

對式(2)沿距離向做傅里葉變換至距離頻域,考慮到包絡(luò)對成像結(jié)果影響很小,推導(dǎo)中忽略包絡(luò)變化,因此得距離頻率-方位信號表達式

(3)

式中，fr為距離頻率;A1為距離向傅里葉變換后的信號包絡(luò)。對式(3)沿方位向做傅里葉變換得到回波信號的二維頻譜表達式

(4)

式中,fa為多普勒頻率。已知距離頻率二次項對方位向變換無影響,用駐相點法求解式(4)的積分變換形式,其積分項φ(ta)為

(5)

將斜距表達式(1)代入式(5),并關(guān)于ta求導(dǎo)。由駐相定理可知,滿足積分項導(dǎo)數(shù)φ′(ta)取值為0時的ta為駐相點取值

(6)

2　基于卡爾丹方程的ROSAR成像方法

由上節(jié)中的分析可知,在推導(dǎo)ROSAR回波數(shù)據(jù)的二維頻譜時,對其斜距近似的精確度將影響最終成像的質(zhì)量。常用的二階近似由于舍棄了高階相位信息,在方位向波束寬度較大時會降低圖像聚焦效果,由此考慮保留泰勒展開式中的四階項,簡化求解駐相點問題的同時,進一步提升了近似的精度,從而保證了最終成像的質(zhì)量。

對式(1)中斜距R(ta)進行四階泰勒級數(shù)展開如下

(7)

(8)

將式(8)代入式(5),得到近似后的相位φ(ta)為

(9)

(10)

利用式(10)求解駐相點

(11)

由上式不難看出,經(jīng)過近似后的駐相點方程為三階方程,既保留了更多的距離向信息,同時也對駐相點的求解進行了簡化。求解相位φ(ta)的駐相點,實際是解式(11)的三階方程的根。本文提出一種基于卡爾丹方程解析表達式的求解方法。將式(11)表達為卡爾丹方程標(biāo)準(zhǔn)形式,得到

(12)

其中l(wèi)=0,且

(13)

(14)

根據(jù)卡爾丹方程性質(zhì)[10]求解式(12),可知其存在判別式

(15)

式(15)取值不同時,卡爾丹方程的解對應(yīng)不同的形式。

(1)當(dāng)Δ≥0時,式(12)只存在一個實數(shù)解

(16)

(2)當(dāng)Δ<0時,式(12)存在3個實數(shù)解

(17)

其中

(18)

在實際應(yīng)用中,最終得到的是實數(shù)解,當(dāng)Δ<0時,需要根據(jù)ROSAR的參數(shù)來選擇,以確保實數(shù)解處于波束照射對應(yīng)的一個脈沖周期之中從而具有實際的物理意義,即ta∈(-Tp,Tp)。

(19)

2.1相位誤差分析

為了分析算法提出的四階近似對成像結(jié)果的影響,需考慮高次項帶來的相位誤差。對斜距泰勒展開保留其高次項。由于展開后五次項系數(shù)為零,所以只考慮六次項帶來的誤差,更高次項的誤差忽略不計,則有

(20)

其中q6為六次項系數(shù),推導(dǎo)得出

(21)

由于實際應(yīng)用中常存在fr?fc,為簡便起見,在計算相位誤差時可將fr忽略不計。

選取ROSAR典型參數(shù)如表1所示,方位向波束θaBw的寬度選擇90°,最終得到的六次項誤差如圖2所示。

表1　系統(tǒng)仿真參數(shù)

圖2　四階近似相位誤差Fig.2　Phase error of fourth order polynomial

2.2距離徙動影響分析

在ROSAR模型下,對于距離半徑相同,方位角不同的點目標(biāo),它們的距離徙動形狀相同,表現(xiàn)為方位向的平移不變性。而對距離半徑不同,方位角相同的點目標(biāo),它們的距離徙動形狀也不相同,即表現(xiàn)為距離徙動空變性。這里主要討論距離徙動的空變性,即相同方位角不同半徑的點目標(biāo)距離徙動。由式(1)定義距離徙動差為

(22)

式中,ΔR(θa,rsmax)表示場景最長邊緣rsmax處的距離徙動;ΔR(θa,rsmin)表示場景最短邊緣rsmin處的距離徙動;P(rsmax)與P(rsmin)分別表示場景最遠處到天線的最短斜距與場景最近處到天線的最短斜距,即

(23)

由圖1中ROSAR的幾何模型易推出rsmax與rsmin的表達式

(24)

由式(24)可以看出,場景的最遠距離rsmax與場景的最近距離rsmin均受俯仰角波束寬度θeBw的影響,俯仰角波束寬度不同時,最終得到的距離徙動差RCM(θa)也不同。選取俯仰角波束寬度θeBw為參變量,圖3給出了距離徙動差RCM(θa)隨方位角θa變化曲線圖。

圖3　距離徙動差RCM(θa)隨方位角θa變化曲線Fig.3　Curve for rang cell migration difference Rcm(θa) respect to azimuthal angle θa

由圖3可知,距離徙動差RCM(θa)隨著方位角θa的增加而增加,且俯仰角波束寬度θeBw越大,距離徙動差的變化范圍就越大。當(dāng)距離分辨率ρr遠大于距離徙動差RCM(θa)時,可以忽略距離徙動對最終成像的影響,但當(dāng)距離分辨率ρr較高時,距離徙動差RCM(θa)的影響無法被忽略,需要考慮相應(yīng)的補償方法。

2.3具體成像流程

前幾節(jié)分析推導(dǎo)了基于卡爾丹方程的ROSAR回波信號二維頻譜及距離徙動對成像結(jié)果的影響。本節(jié)將討論利用之前得到的二維頻譜,并考慮高距離分辨條件下,通過消除距離徙動影響來設(shè)計算法成像流程。高距離分辨下,距離徙動對成像的影響不能忽略,若直接對此前推得的二維頻譜進行方位壓縮,只能對成像場景中心點附近精確聚焦,而場景邊緣處的目標(biāo)會由于距離徙動造成的多普勒調(diào)頻率失配而導(dǎo)致散焦,因此,需要在方位壓縮前對場景中產(chǎn)生距離徙動的目標(biāo)進行補償。考慮雷達系統(tǒng)參數(shù)滿足如下關(guān)系

fc?fr

(25)

所以可以將式(14)中的n近似為

(26)

(27)

可以看出,近似后的相位也與距離頻率無關(guān),實現(xiàn)了距離向與方位向的去耦合,簡化了補償距離徙動相位差的操作。將式(27)代入式(19)得到新的二維頻域表示式

(28)

選取與場景中心距離為Rc的一參考點,通過式(28)中距離為R0的點目標(biāo)相位與距場景中心Rc的參考點相位相減得到需要補償?shù)木嚯x徙動相位差

(29)

通過補償式(29)所示的距離徙動相位差,就可以消除距離徙動帶來的影響,實現(xiàn)方位向的良好聚焦。

整個算法的具體成像流程如下:

(1)通過二維快速傅里葉變換獲得如式(19)所示回波信號的二維頻譜;

(2)對信號進行距離脈壓后,在頻域?qū)⒖键c處的頻譜進行補償,脈壓函數(shù)與參考點補償因子的表達式如下

(30)

(3)對補償后的信號做距離向逆傅里葉變換至距離-多普勒域,對距離徙動相位差進行補償,消除距離徙動對方位聚焦的影響,其補償因子為

(31)

(4)進行方位向逆傅里葉變換得到最終聚焦的ROSAR圖像。

圖4給出了本文所提算法的流程圖。

圖4　算法流程圖Fig.4　Flow diagram of proposed algorithm

2.4計算量分析

算法為獲得更為豐富的相位信息實現(xiàn)良好聚焦,通過求解卡爾丹方程得到四次斜距歷程的駐相點,在方位頻域完成距離徙動的校正,避免了波數(shù)域算法距離徙動校正中的插值操作,有效降低了整個算法的運算量,本節(jié)通過估算浮點運算(floating point,FLOP)量,給出算法的計算量分析。

在成像算法中主要進行傅里葉變換/逆傅里葉變換、相位相乘、插值代換這三種基本操作,算法大部分的計算量都來自與這三種操作,因此分析中將不考慮匹配濾波器設(shè)置、預(yù)設(shè)插值核索引、插值點數(shù)等因素,而求解卡爾丹方程最終得到的是解析解,可以忽略其對算法計算量的影響。

已知N點FFT或IFFT的FLOT為5Nlog2(N),一次復(fù)數(shù)相位相乘需要6次,插值核長度為Nker時,每個通道內(nèi)進行一次基帶插值需要Nker次實數(shù)相乘與Nker-1次實數(shù)相加,由于復(fù)數(shù)據(jù)有兩個通道,所以每一復(fù)輸出點需要的所有FLOT為2(2Nker-1)。根據(jù)以上定義,結(jié)合圖4的流程圖,可以給出本算法的計算量

(32)

式中,Nra與Naz分別表示距離向采樣點數(shù)與方位向采樣點數(shù),而插值核長度為Nker的插值操作的計算量為2(2Nker-1)NazNra/109,算法與傳統(tǒng)ω-k等波數(shù)域成像算法相比,用距離徙動相位差補償代替了插值操作,可以有效降低運算量。

圖5給出了算法的計算量隨回波采樣點數(shù)變化曲線圖,并與插值核長度為16的STOLT插值ω-k算法計算量進行比較,這里假定回波的方位向采樣點數(shù)與距離向采樣點數(shù)相同,不難看出當(dāng)回波數(shù)據(jù)量較小時,兩種算法的計算量接近,當(dāng)數(shù)據(jù)較大時,本文所提算法計算量與ω-k算法相比明顯降低。

圖5　計算量變化曲線Fig.5　Curve for variation of calculated amount

2.5分辨率性能分析

在距離維,ROSAR的距離分辨率與傳統(tǒng)直線條帶SAR相同,均為ρr=c/2B,其中B為信號帶寬,c為光速。而在方位維,由于ROSAR方位維上方向隨方位角的變化而改變,所以方位分辨率與傳統(tǒng)直線條帶SAR不同。假設(shè)有一點Q與點目標(biāo)P位于同一平面且具有相同半徑,而方位角差為Δθ,則可知其對應(yīng)斜距為

(33)

對上式關(guān)于求導(dǎo),得到對應(yīng)的多普勒頻差為

(34)

由于Δθ很小,所以上式又可以近似為

(35)

式中，PRF為脈沖重復(fù)頻率；Na為方位向采樣點數(shù)是距離點P最小方位分辨率的目標(biāo),則可推出對應(yīng)的方位角分辨率為Δθ=λR0PRF/2NaωrpL。因此,方位分辨率為

(36)

式中，Td=N/PRF為方位積累時間；va=ωL為天線運動線速度。由于方位向采樣點數(shù)與方位向波束寬度存在如下關(guān)系

(37)

表示取整操作,所以ROSAR方位向分辨率實際是關(guān)于方位向波束的函數(shù)

(38)

3　仿真實驗結(jié)果

3.1算法與傳統(tǒng)二階近似成像算法對比實驗

本節(jié)通過仿真實驗,對比本文算法與傳統(tǒng)二階近似在不同方位向波束寬度條件下的最終成像結(jié)果,驗證本文方法的有效性。為模擬載機平臺低空工作場景,選取平臺工作高度為500 m,考慮到實際直升機的旋翼長度,選取天線旋轉(zhuǎn)半徑為1.5 m,且天線的旋轉(zhuǎn)速度與旋翼旋速相同,設(shè)置5個點目標(biāo),同一距離單元內(nèi)的點目標(biāo)方位向間隔為6°。ROSAR的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

已知當(dāng)方位向波束θaBw較窄時,采用二階近似的方法也可以得到理想的成像結(jié)果,本文不再詳細列舉。當(dāng)方位向波束θaBw為40°時,由圖6可以看出,二階斜距近似所得到的成像點在方位向上出現(xiàn)了旁瓣混疊,峰值旁瓣比(PSLR)下降,最終的成像質(zhì)量下降;而本文所提方法在方位向仍能使主旁瓣較明顯分開,峰值旁瓣比損失較少,聚焦效果良好。當(dāng)方位向波束θaBw增大至70°時,可以看出二階斜距近似的方位向混疊嚴(yán)重,主瓣展寬,嚴(yán)重散焦,難以滿足成像要求;而四階斜距近似在方位向也出現(xiàn)了部分旁瓣混疊,峰值旁瓣比損失接近1.61 dB,但仍能保持較好的函數(shù)形狀,由之前相位誤差分析可知符合成像要求,在成像質(zhì)量要求不是特別高的情況下,可以采用本文的方法進行成像。

圖6　θaBw=40°時兩種方法成像結(jié)果Fig.6　Imaging by two methods when θaBw=40°

圖7　θaBw=70°時兩種方法成像結(jié)果Fig.7　Imaging by two methods when θaBw=70°

選取θaBw=40°時的中心點目標(biāo)成像結(jié)果進行本算法的聚焦性能分析,給出積分旁瓣比(integrated side-lobe ratio,ISLR)的計算公式如下

(39)

式中，Ptotal、Pmain分別代表處理后的信號總功率與主瓣功率。在計算積分旁瓣比時,考慮到臨近目標(biāo)旁瓣會對中心點目標(biāo)積分旁瓣比產(chǎn)生影響,所以選取200點方位向采樣點數(shù)作為旁瓣寬度進行計算。由之前分析可知,ROSAR的距離分辨率理論值為0.45 m,方位向分辨率理論值為0.77 m。表2給出成像性能結(jié)果,可以看出,仿真點目標(biāo)成像結(jié)果均與理論值接近,證明了本算法的可行性。

表2　算法成像點目標(biāo)性能分析

3.2算法在噪聲環(huán)境下的成像結(jié)果分析

本節(jié)通過在白噪聲環(huán)境下對點目標(biāo)成像結(jié)果分析,驗證了本文算法的穩(wěn)健性。ROSAR成像系統(tǒng)參數(shù)如表1所示,點目標(biāo)設(shè)置與第3.1節(jié)相同,在背景高斯噪聲功率為-10 dB的場景下,選取方位向波束寬度θaBw=40°為對點目標(biāo)成像,最終成像結(jié)果如圖8所示。

圖8　噪聲環(huán)境下點目標(biāo)群成像結(jié)果Fig.8　Targets imaging in nosie

由圖8可以看出,在-10 dB背景噪聲環(huán)境下,最終的點目標(biāo)成像結(jié)果仍能保持較好的聚焦結(jié)果與副瓣對稱性。選取中心點進行性能分析,距離向與方位向的峰值旁瓣比分別為12.54 dB和12.37 dB,與第3.1節(jié)中無噪聲場景中的成像結(jié)果對比,兩維脈沖響應(yīng)的峰值旁瓣比稍有衰減,但屬于可接受范圍之內(nèi)。計算圖像的最小熵值,復(fù)散射強度構(gòu)成二維圖像I,具體公式如下

(40)

式中，Na、Nr分別表示方位向采樣點數(shù)與距離向采樣點數(shù)；D(n,k)為圖像的散射強度密度,通過式(40),可以計算出無噪聲環(huán)境下聚焦后的圖像最小熵值為6.47,噪聲環(huán)境下聚焦后的圖像最小熵值為8.73,相比于理想環(huán)境中的成像結(jié)果,圖像熵值有所增大,但仍能保持良好的聚焦效果,證明了本算法在噪聲環(huán)境下也能夠?qū)崿F(xiàn)精確成像,具有較好的穩(wěn)健性。

4　結(jié)　論

本文提出了一種基于卡爾丹方程解析表達式的ROSAR成像新方法,推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)合成孔徑下的斜距方程,對斜距進行了四階近似處理后,求得駐相點解析表達式,從而獲得回波信號的二維頻譜,計算六次項相位誤差,并分析距離徙動對最終成像的影響,設(shè)計了結(jié)合距離徙動補償校正的成像算法,給出整個算法的計算量分析并與ω-k算法進行比較,證明算法具有低運算量的優(yōu)點。仿真結(jié)果表明本文方法可以實現(xiàn)在寬波束覆蓋情況下高分辨ROSAR成像,相比于傳統(tǒng)方法成像質(zhì)量明顯提高,并且在噪聲環(huán)境下成像仍能保持良好的聚焦效果,整個算法具有較好的穩(wěn)健性。

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High resolution imaging algorithm and performance analysis for ROSAR based on cardano’s formula

ZHANG Jun,LIAO Gui-sheng,XU Jing-wei,ZHU Sheng-qi

(National Lab of Radar Signal Processing,Xidian University,Xi’an 710071,China)

Rotor synthetic aperture radar (ROSAR)is a new kind of imaging mode,due to the complex expression of target’s range derived by its circular trajectory of motion,expanding target’s range to the second order brings severe defocussing in azimuth under the condition of wide-beam.To deal with this problem,a new imaging algorithm of ROSAR based on Cardano’s formula is proposed.Considering expanding the expression of target’s range to a fourth order polynomial and deriving the two-dimensional spectrum of echo,an effect of range cell migration (RCM)on image is made.The image is obtained by compensating RCM based on Cardano’s formula and the calculated amount of method is showed.Simulation results validate the feasibility and the robust in noisy environment of the proposed algorithm.

rotor synthetic aperture radar (ROSAR); two-dimensional spectrum; Cardano’s formula; range cell migration (RCM); fourth order polynomial

2015-12-24；

2016-04-17；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-07-14。

國家自然科學(xué)基金(61231017,91438106)資助課題

TN 957.52

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.11.10

張俊(1991-),男,博士研究生,主要研究方向為雷達成像與動目標(biāo)檢測。

E-mail:z395580835@163.com

廖桂生(1963-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,博士,主要研究方向為空時自適應(yīng)信號處理、動目標(biāo)檢測、雷達成像與參數(shù)估計。

E-mail:gsliao@xidian.edu.cn

許京偉(1987-),男,博士后研究生,博士,主要研究方向為動目標(biāo)檢測、空時自適應(yīng)信號處理。

E-mail:xujingwei1987@163.com

朱圣棋(1984-),男,副教授,博士研究生導(dǎo)師,博士,主要研究方向為空天平臺目標(biāo)檢測與識別、雷達成像與動目標(biāo)檢測。

E-mail:zhushengqi8@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160714.1434.010.html