三角函數(shù)最值問題

石井臣

摘 要： 三角函數(shù)一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，它的最值問題在考試中屢見不鮮，在幾年來的單招考試中經(jīng)常出現(xiàn).其出現(xiàn)形式多種多樣，有較強(qiáng)的變化性，或者在小題中單純考察三角函數(shù)的值域問題；或者隱含在解答題中，作為解決解答題所用的知識(shí)點(diǎn)之一；或者解決某一問題時(shí)，應(yīng)用三角函數(shù)有界性會(huì)使問題更易于解決.

關(guān)鍵詞： 三角函數(shù) 最值問題 例題分析

三角函數(shù)一直是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，它的最值問題在考試中屢見不鮮，幾年來的單招考試經(jīng)常出現(xiàn).出現(xiàn)形式多種多樣，有較強(qiáng)的變化性，或者在小題中單純考察三角函數(shù)的值域問題；或者隱含在解答題中，作為解決解答題所用的知識(shí)點(diǎn)之一；或者解決某一問題時(shí)，應(yīng)用三角函數(shù)有界性會(huì)使問題更易于解決.主要有以下幾種類型：

1.形如y=msinx+ncosx型的函數(shù)

該表達(dá)式是含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的函數(shù)，并且都是一次的.解決此類問題的指導(dǎo)思想是利用兩角和的三角函數(shù)公式把該式化成一個(gè)角的三角函數(shù)后再求最值.

化函數(shù)形式為y=sin（x+φ），其中tanφ=（m≠0）.

例1.函數(shù)y=4sinx+3cosx的最值是（D）

A.最大值是7，最小值是-7 B.最大值是4，最小值是-4

C.最大值是3，最小值是-3 D.最大值是5，最小值是-5

分析：化函數(shù)為y=sin（x+φ），即y=5sin（x+φ），其中tanφ=，再根據(jù)正弦函數(shù)值域求出次函數(shù)最大值和最小值.

2.與二次函數(shù)相類似函數(shù)y=asinx+bsinx+c的最值

特點(diǎn)是含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)且形如二次函數(shù).

此種類型函數(shù)最值解法：①根據(jù)同角平方關(guān)系式首先統(tǒng)一函數(shù)名稱；②利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；③根據(jù)換元后的變量的取值范圍確定此函數(shù)的最值.

例2.求函數(shù)y=cosx+cosx的最值.

解：令cosx=m，則函數(shù)可化成y=m+m，

又因?yàn)?1≤cosx≤1，所以-1≤m≤1。至此把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為有條件的二次函數(shù)最值問題。

y=m+m的對(duì)稱軸為m=-，可得：

當(dāng)m=-時(shí)，函數(shù)取得最小值y=（-）+（-）=-；

當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)取得最大y=1+1=2.

3.含有sinx、cosx的二次齊式函數(shù)最值問題

例3.求y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值.

解：y=sinx+2sinxcosx+3cosx

=（sinx+cosx）+2sinxcosx+2cosx

=1+sin2x+1+cos2x=2+sin（2x+）

當(dāng)sin（2x+）=-1時(shí)，y取最小值2-.

4.形如y=的函數(shù)最值問題

例4.求函數(shù)y=的最大值和最小值.

分析：代數(shù)式表示的是過點(diǎn)（2，2）與點(diǎn)（cosx，sinx）的直線的斜率，而點(diǎn)（cosx，sinx）是單位圓上的點(diǎn)，觀察圖形可以得出最值的求法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的一種解題方法.

解：?jiǎn)挝粓A的方程x+y=1，設(shè)過點(diǎn)（2，2）的直線斜率為k，則直線方程為y=k（x-2）+2，看圖知當(dāng)直線與圓相切時(shí)斜率分別取得最大和最小值.聯(lián)立兩方程消變量y得：

（1+k）x+（4k-4k）x+4k-8k+3=0.

令判別式△=-4（3k-8k+3）=0，得k==，

最大值為，最小值為.

例5.求y=cosx+sinx+2sinxcosx的最大值.

解：運(yùn)用奇妙的換元，令sinx+cosx=t，-≤t≤，平方整理可得sinxcosx=，原式化為y=t+t-1，化為二次函數(shù)的條件最值問題.對(duì)稱軸方程：t=-，所以，當(dāng)t=時(shí)，函數(shù)取得最大值y=2+-1=+1.

通過歸納整理，大家對(duì)三角函數(shù)的最值問題不會(huì)非常陌生了，當(dāng)然有關(guān)三角函數(shù)的問題很廣，類型繁多，以上幾種類型是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的情形，遇到陌生題目類型，應(yīng)該堅(jiān)持化未知變已知，通過換元或者數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)方法解決問題.