伊厚會(huì)，姚延立

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從陀螺儀進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)分析討論看大學(xué)物理剛體教學(xué)

伊厚會(huì)，姚延立

（濱州學(xué)院 航空工程學(xué)院 應(yīng)用物理研究中心，山東 濱州 256603）

從剛體轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)知識(shí)出發(fā)，以陀螺儀為例研究了剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．利用角動(dòng)量定理和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的處理方法，通過研究向心力、自轉(zhuǎn)角速度、進(jìn)動(dòng)角速度和章動(dòng)角速度等，分析了陀螺儀的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)現(xiàn)象，并討論了影響其進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)的因素．總結(jié)了定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的區(qū)別和聯(lián)系，對(duì)大學(xué)物理剛體部分教學(xué)以及對(duì)理解和應(yīng)用陀螺儀的性能提供一定的參考．

陀螺儀；進(jìn)動(dòng)；章動(dòng)；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是指在轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體的轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是分析剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)，是大學(xué)物理教學(xué)的重要內(nèi)容．通過剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的教學(xué)，學(xué)生可以解決飛輪、圓盤和桿等定軸旋轉(zhuǎn)問題．除定軸轉(zhuǎn)動(dòng)外，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（即剛體繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）也是現(xiàn)實(shí)生活中常見的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象．陀螺儀、回轉(zhuǎn)羅盤和航行器等都可看作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)例．定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中的進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)是工程技術(shù)和天文學(xué)中常見的現(xiàn)象，進(jìn)動(dòng)（亦稱旋進(jìn)）是指一個(gè)自轉(zhuǎn)物體的自轉(zhuǎn)軸繞另一軸旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象；章動(dòng)是指在進(jìn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，自轉(zhuǎn)軸伴有上、下周期性運(yùn)動(dòng)．

陀螺儀在科學(xué)、技術(shù)和軍事等各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]．陀螺儀既能繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)，又能繞其它軸旋轉(zhuǎn)，其進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析是各類陀螺儀表設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)．由于對(duì)陀螺儀的動(dòng)力學(xué)分析是一種較為高深的問題，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)處理相當(dāng)復(fù)雜，多數(shù)研究均從簡(jiǎn)化陀螺儀動(dòng)力學(xué)模型出發(fā)[3-8]．

本文從剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)模型出發(fā)，利用角動(dòng)量定理和簡(jiǎn)諧振動(dòng)處理方法，通過研究向心力、自轉(zhuǎn)角速度、進(jìn)動(dòng)角速度和章動(dòng)角速度等，分析了陀螺儀的旋轉(zhuǎn)問題，討論了影響陀螺儀進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)的因素．在大學(xué)物理教學(xué)中，針對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)制造等專業(yè)的學(xué)生結(jié)合陀螺儀實(shí)例拓展了該部分教學(xué)內(nèi)容，并對(duì)感興趣的學(xué)生進(jìn)行了理論分析和實(shí)際應(yīng)用指導(dǎo)，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和分析解決問題的能力．

1 陀螺的進(jìn)動(dòng)分析

圖1 陀螺旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)示意圖

圖2 陀螺自轉(zhuǎn)軸垂直軸時(shí)，陀螺角動(dòng)量增量和重力矩沖量關(guān)系示意圖

陀螺進(jìn)動(dòng)時(shí)質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)，需要外界提供向心力，分析各參數(shù)對(duì)向心力和陀螺運(yùn)動(dòng)的影響：（1）陀螺進(jìn)動(dòng)向心力與成正比，陀螺的質(zhì)心到轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)的距離越小，陀螺越容易平穩(wěn)旋轉(zhuǎn)，即陀螺的重心越低越容易旋轉(zhuǎn)；（2）陀螺進(jìn)動(dòng)向心力與成正比，陀螺的進(jìn)動(dòng)與其質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均有關(guān)，越小，陀螺越容易平穩(wěn)旋轉(zhuǎn)；（3）陀螺進(jìn)動(dòng)向心力與成反比，陀螺自轉(zhuǎn)角速度越大，進(jìn)動(dòng)時(shí)需要的向心力越小，陀螺旋轉(zhuǎn)越平穩(wěn)；（4）陀螺進(jìn)動(dòng)向心力與成正比．陀螺自轉(zhuǎn)軸與軸夾角越小，陀螺旋轉(zhuǎn)越平穩(wěn)，但陀螺自轉(zhuǎn)軸與軸夾角對(duì)陀螺進(jìn)動(dòng)的角速度沒有影響．

2 陀螺的章動(dòng)分析

公式（3）為考慮章動(dòng)時(shí)，陀螺的動(dòng)力學(xué)方程表達(dá)形式．公式（3）中的第1項(xiàng)為重力矩，其主要作用是引起陀螺的進(jìn)動(dòng)．陀螺章動(dòng)分析時(shí)，可以把公式（3）中的第1項(xiàng)舍去，得

通過分析，根據(jù)大學(xué)物理課程中剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的知識(shí)，剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的區(qū)別和聯(lián)系主要有：（1）無論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)還是定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量總是沿自轉(zhuǎn)軸方向，剛體的自轉(zhuǎn)角速度的變化由平行于自轉(zhuǎn)軸的合外力矩引起．（2）對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，垂直于自轉(zhuǎn)軸的合外力矩始終為零，剛體的自轉(zhuǎn)軸始終固定；對(duì)于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的進(jìn)動(dòng)和垂直于自轉(zhuǎn)軸的合外力矩有關(guān)．當(dāng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體在垂直于進(jìn)動(dòng)方向有微小偏離時(shí)，剛體在進(jìn)動(dòng)的同時(shí)會(huì)伴有類似簡(jiǎn)諧振動(dòng)的章動(dòng)．

3 結(jié)語

本文從剛體力學(xué)知識(shí)出發(fā)，以陀螺儀為例分析了剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．研究了陀螺儀的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)現(xiàn)象，并討論了影響其進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)的力學(xué)因素．在此基礎(chǔ)上，分析總結(jié)了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的區(qū)別和聯(lián)系．在大學(xué)物理課程教學(xué)中，對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)制造等專業(yè)的學(xué)生拓展了該內(nèi)容，并對(duì)部分感興趣的學(xué)生進(jìn)行了理論分析指導(dǎo)和實(shí)際應(yīng)用．結(jié)合陀螺儀實(shí)例講授剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，不僅有助于學(xué)生對(duì)大學(xué)物理剛體部分的理解，還有助于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和分析解決問題的能力，并能為應(yīng)用陀螺儀的性能提供一定的參考．

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College physics teaching of the rigid body via the analysis and discussion of gyrostat precession and nutation

YI Hou-hui，YAO Yan-li

（Research Center of Applied Physics，School of Aeronautical Engineering，Binzhou University，Binzhou 256603，China）

Studies the rotation around a fixed point based on the knowledge of dynamics of rigid body by taking gyrostat as an example．Using the theorem of angular momentum and the method on processing simple harmonic vibration，the phenomenon of gyrostat precession and nutation and the affecting factors are analyzed and discussed by studying of the centripetal force，self-rotation angular velocity，procession angular velocity and nutation angular velocity．The relations and differences between the rotation around a fixed-axis and the rotation around a fixed point are summarized，which provide some references in teaching the rigid body part in college physics and in understanding the gyrostat property when using it．

gyrostat；precession；nutation；fixed-axis rotation；rotation around a fixed point

1007-9831（2016）10-0043-04

O313

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.012

2016-07-20

濱州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目（BYJYZD201306）

伊厚會(huì)（1976-），男，山東費(fèi)縣人，副教授，博士，從事量子力學(xué)和計(jì)算物理學(xué)等方面的研究．E-mail: houhuily@163.com