龔圣龍

[摘 要] 追求自然和諧的數(shù)學課堂是每個數(shù)學教師的目標，如何讓教學設(shè)計的每個環(huán)節(jié)的設(shè)置都能自然銜接、絲絲入扣、層層遞進，讓思維的發(fā)生、發(fā)散和輻射都是自然流暢地進行著呢？

[關(guān)鍵詞] 橢圓參數(shù)方程；課堂；設(shè)計；自然

數(shù)學課程標準指出，數(shù)學教學要體現(xiàn)課程改革的基本理念，在教學設(shè)計中充分考慮數(shù)學的學科特點及學生的心理特點，運用多種教學方法和手段，引導學生積極主動地學習，掌握數(shù)學的基礎(chǔ)知識和基本技能以及他們所體現(xiàn)的數(shù)學思想方法，對數(shù)學有較為全面的認識，為未來發(fā)展和進一步學習打好基礎(chǔ).

教材是師生雙方教與學的一個載體，新課標要求教師用教材，而不是教教材.

那么如何重新整合、提煉、建構(gòu)教材，使教材“新鮮出爐”？如何讓教學設(shè)計的每個環(huán)節(jié)的設(shè)置都能自然銜接、絲絲入扣、層層遞進，讓思維的發(fā)生、發(fā)散和輻射都是自然流暢地進行著呢？

筆者有幸上了一堂西南大學趙伶俐教授組織的國家級精品課《橢圓的參數(shù)方程》（北師版），下面筆者將結(jié)合《橢圓參數(shù)方程》這節(jié)課來談?wù)勛约簩滩奶幚淼囊恍└形?

[?] 橢圓的參數(shù)方程該如何建構(gòu)更自然？

幾套教材為代表的幾種常見處理模式：

人教A版：在“橢圓的參數(shù)方程”部分，教科書用類似于“圓的參數(shù)方程”中例4的代數(shù)方法，直接得出橢圓+=1（a>b>0）的一個參數(shù)方程為x=acosφ，

y=bsinφ （φ為參數(shù)），然后引導學生思考：“類比圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義，橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)φ的意義是什么？（教材27頁）

編者的意圖是想先通過純粹的代數(shù)和三角變換得到橢圓的參數(shù)方程，再用幾何的方法（如圖1所示的兩個同心圓）來尋求參數(shù)φ的幾何意義.

幾套教材各有所長、各有側(cè)重（湘教版未介紹幾何意義但對三角代換講述詳細）. 筆者查詢了其他教師的一些設(shè)計，基本也都是這幾個方式，筆者自己也都嘗試過，但總是有不盡如人意的地方. 雖然學生能“聽懂”，但很多都是似懂非懂，總是有幾個困惑：一是學生會想這個圖形（同心圓）是怎么來的；二是有學生說我知道這個是對的，但不知道是怎么想到的；三是圖形復雜，學生對參數(shù)的選擇可能會有困難（怎么就想到將φ作為參數(shù)）；四是這個圖形的講解過程學生的主動探究成分有多少；五是這個求解過程對學生的后續(xù)數(shù)學學習有何指導意義；六是橢圓的參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義和圓參數(shù)方程的幾何意義難道就僅僅是相似或者說易混嗎？

經(jīng)過筆者的思考和實踐，發(fā)現(xiàn)如下設(shè)計處理更為自然.

以問題串的形式引導橢圓參數(shù)方程的建構(gòu)，讓學生在問題串的引導下深入地思考，給學生充分的交流、發(fā)言的機會，體現(xiàn)數(shù)學課堂的思維性及以生為本的理念. 力求課堂內(nèi)容內(nèi)涵豐富，凸顯數(shù)學的本質(zhì).

問題2：圓x2+y2=a2（a>0）的參數(shù)方程是什么？既然圓可以通過上述變換得到橢圓，那你能否利用圓x2+y2=a2（a>0）的參數(shù)方程，并借助上述變換得到橢圓+=1（a>b>0）的參數(shù)方程？

問題3：橢圓參數(shù)方程中的參數(shù)φ的幾何意義是什么？

設(shè)計分析：圓學生很熟悉，由圓壓縮變?yōu)闄E圓也很直觀，這種變換也是學生學習橢圓新課所經(jīng)歷過的內(nèi)容（北師版教材選修2-1的91～93頁專門介紹過均勻壓縮），學生也可以聯(lián)想三角函數(shù)的伸縮變換得出圓上任意一點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋毒妥優(yōu)闄E圓. 代數(shù)表達式就是x′=x，

y′=y，因此問題1學生上手很容易. 圓的參數(shù)方程學生上節(jié)課剛學習，比較熟悉，而在圓上任意取一個點A（acosφ，asinφ），經(jīng)過坐標變換得到M（acosφ，bsinφ），學生不會覺得難，故問題2就顯得水到渠成了.

本設(shè)計的優(yōu)勢是既保留了教材編者的設(shè)計意圖，又不至于直接拿出兩個圓，顯得突兀并且復雜，而是通過幾何畫板的動畫形式讓教材上的兩個同心圓一個一個地出來，遵循從簡單到難的策略一步一步展示出來. 如圖3：

本設(shè)計結(jié)合動畫展示出來后，教材立馬從“冷冰冰的面孔”變得鮮活多姿，學生不僅從代數(shù)上和直觀上確認參數(shù)φ的幾何意義就是橢圓所對應的大圓上一點和橢圓中心連線與x軸正半軸的夾角，而不是OM的旋轉(zhuǎn)角∠xOM，有效地突破了本節(jié)課的難點，而且也呼應了教材上的兩個同心圓問題. 通過筆者的上課實踐比較，本設(shè)計對學生來說更加自然，也更加有效.

[?] 橢圓規(guī)的構(gòu)造原理該怎樣理解？

人教A版、北師版、湘教版三套教材中都有橢圓規(guī)的構(gòu)造原理的探究，編者提示學生求軌跡的參數(shù)方程. 筆者以為編者的提示是合理的，但是利用參數(shù)方程只是檢驗了該工具確實能畫出橢圓，據(jù)此認定它是橢圓規(guī)的構(gòu)造原理似乎有點兒不甚合理. 還有之前筆者就有疑問：教材中的同心圓的求解過程對學生后續(xù)數(shù)學學習有無指導意義？如果同心圓的構(gòu)造只是為了引出橢圓的參數(shù)方程，知道了參數(shù)φ的幾何意義就束之高閣未免過于可惜.

通過前面的學習已經(jīng)知道橢圓可以由兩個同心圓經(jīng)過伸縮變換而得到，而橢圓規(guī)也確實是畫出了橢圓，那么這兩者之間有什么聯(lián)系呢？

如圖4，過點O作OA平行于MN，且OA=MN. 在OA上取點B，使得OB=MP. 讓P，N兩點分別在x，y軸上運動，就相當于A或者B點繞原點轉(zhuǎn)動，則點M的軌跡就是一個橢圓. 于是，橢圓規(guī)的構(gòu)造原理已躍然紙上（這可能也是編者用兩個同心圓來建構(gòu)橢圓的參數(shù)方程的原因之一吧，如果教師在上課的過程中忽略了這一點聯(lián)系，那不僅是枉費了編者的一番苦心，也使得學生對橢圓規(guī)的原理的理解一知半解，只知道能畫出來，不知道為什么能畫出來）. 實際上圖4中反映出來的，既有圓與橢圓之間的相互伸縮變換關(guān)系，也有橢圓的普通方程與參數(shù)方程之間的相互轉(zhuǎn)換，還有利用兩個同心圓進行橢圓規(guī)的構(gòu)造，這一切不正體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美與簡潔美嗎？

設(shè)計分析：筆者覺得教材這個思考固定了學生的思維，學生的思維被引到了參照教材33頁的圓的參數(shù)方程的求法去計算. 而筆者對本問題的設(shè)計，先給出圓的兩種參數(shù)方程作為例子（實際有很多種），讓學生自由寫出橢圓的另一種形式. 不局限于一定要是這兩種形式，還可以是其他的，這樣學生的思維就被打開了. 就算是想到和上面的圓的第二種相似的方程，也可以是兩種思維：一是直接從形式上類比，作一個合情推理，再來驗證是否正確；二是參照北師版教材上的圓的第二種參數(shù)方程的計算過程，來算出橢圓的參數(shù)方程x=

[?] 引導學生多維度認識橢圓的生成方式

教師在教學過程中要“瞻前顧后”，更大程度上把知識的教學伴隨在培養(yǎng)態(tài)度、能力的過程之中. 本節(jié)課橢圓的參數(shù)方程是圓錐曲線的參數(shù)方程的第一課時，學生通過對定義、方程以及與其他圓錐曲線和直線關(guān)系的認識，經(jīng)歷了多次從感性認識到理性認識的過程. 但是從參數(shù)的角度認識橢圓還是第一次，尤其是得到橢圓圖形的過程：①平面截圓錐，當角度合適時，截口曲線是一個橢圓；②兩個定義（以兩個定點、一個定點加一條定直線得到橢圓）；③本節(jié)課教材從兩個圓中演變出橢圓的參數(shù)方程；④本設(shè)計從一個圓通過伸縮變換（均勻壓縮）得到橢圓. 還有其他生成橢圓的方式可以讓學生了解，因此本節(jié)課是學生從多角度、多層次認識橢圓的上升過程. 另外，從教材的編排來看，橢圓的參數(shù)方程被安排在圓的參數(shù)方程與雙曲線的參數(shù)方程之間，起著銜接、過渡、承前啟后的作用. 作為圓錐曲線的核心內(nèi)容，橢圓的參數(shù)方程學習是圓的參數(shù)方程的演化，也是類比學習后面雙曲線、拋物線參數(shù)方程的基礎(chǔ). 教師在教學中要適當?shù)匾龑а由欤苊庠斐蓪W生只是孤立地學習本節(jié)課的知識.

[?] 教學反思

本設(shè)計著力從以下幾個方面來做出一些創(chuàng)新：

（1）利用運動變換的思想從學生熟悉的圓的參數(shù)方程得到橢圓的參數(shù)方程并明確參數(shù)的幾何意義. 學生在學橢圓新課時教材專門介紹過從圓壓縮為橢圓的均勻壓縮，這樣學生在得到橢圓參數(shù)方程時就不存在參數(shù)選擇的困難，從而順利得出橢圓的參數(shù)方程，并且從代數(shù)上和直觀上確認參數(shù)的幾何意義就是橢圓所對應的大圓上一點和橢圓中心連線與x軸正半軸的夾角，從而使難點得到有效突破. 關(guān)于人教A版教師用書：“仔細研究上述變換過程，也可從中得出參數(shù)的幾何意義，上述過程不要求學生了解.” （教師用書24頁）筆者認為，編者的意思是教師對伸縮變換不作擴展，不作一般意義上的推廣，以免加重學生的負擔. 筆者通過本節(jié)課實踐發(fā)現(xiàn)先從圖像動畫入手，讓學生觀察圓是怎么變成橢圓的，再讓學生說出圓上每一點的坐標是怎么變化的，學生就覺得很直觀，很容易接受. 避免了教師冷冰冰的介紹什么是伸縮變換，變換中原坐標和新坐標有什么對應關(guān)系，再學習從圓能到橢圓的過程，就不會加重學生的負擔.

（2）幾何畫板的動畫演示加深了學生對橢圓軌跡的形成及參數(shù)的幾何意義的理解. 設(shè)計中用幾何畫板的動畫演示圓變成橢圓的形成過程，在這種運動變換的思想指導下學生能很好地理解參數(shù)方程及參數(shù)的意義，有效地突破難點，同時也激發(fā)了學生學習橢圓參數(shù)方程的興趣. 通過讓學生在圖形中找出線段b也呼應了教材上的兩個同心圓問題.

（3）將對橢圓規(guī)的原理的探究與構(gòu)建橢圓的參數(shù)方程時的同心圓聯(lián)系起來，既讓學生對原理更加清晰，也豐富了教材同心圓的應用.

（4）引導學生多維度認識橢圓的生成方式.

教學過程本應是師生自然發(fā)展、自然完善的過程，追求自然和諧的數(shù)學課堂也是每個數(shù)學教師的目標，但若教學設(shè)計不關(guān)注學生的認知狀態(tài)和規(guī)律，就會使教學過程生硬、被動，目標達成不自然. 教師深入研究教材、體會編者意圖、優(yōu)化教學設(shè)計，不斷暴露學生對問題解決的思維過程，讓學生能充分體驗數(shù)學的“再發(fā)現(xiàn)”，從而體會其中蘊涵的數(shù)學思想方法，這樣我們的數(shù)學課堂才會更加自然！