李志偉，李克昭,2，趙磊杰

(1.河南理工大學(xué) 測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院,河南 焦作 454000；2.北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 鄭州 450052)

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優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型在沉降監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

李志偉1，李克昭1,2，趙磊杰1

(1.河南理工大學(xué) 測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院,河南 焦作 454000；2.北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 鄭州 450052)

初始值的選取和背景值的構(gòu)造是影響灰色非等距GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的兩個(gè)重要因素。通過最小二乘原理選取非等距GM(1,1)模型的最優(yōu)初值，利用指數(shù)函數(shù)法構(gòu)造新的背景值，構(gòu)建了優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。最后，結(jié)合秀山湖二期工程的沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，運(yùn)用新陳代謝的計(jì)算模式進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)的非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較。結(jié)果表明：基于新陳代謝式優(yōu)化的非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度優(yōu)于傳統(tǒng)的非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，新的預(yù)測(cè)模型的適用性更強(qiáng)。

非等距GM(1,1)模型；最小二乘原理；指數(shù)函數(shù)；新陳代謝；沉降監(jiān)測(cè)

變形監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)可用于指導(dǎo)建筑施工、控制施工質(zhì)量和得到建筑物變形的先驗(yàn)信息。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)建筑物的變形進(jìn)行監(jiān)測(cè)分析和預(yù)報(bào)是非常必要的?；疑到y(tǒng)理論是一種研究較少資料、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)貧乏以及不確定性問題的理論。變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)本身具有一定的灰性，應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論建立預(yù)測(cè)模型是合適的。

灰色系統(tǒng)理論的預(yù)測(cè)模型有多種，其中用于變形監(jiān)測(cè)的灰色預(yù)測(cè)模型主要有灰色GM(1,1)[1-2]，優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型[3-7]以及灰色組合模型[8-10]等。但是，這些模型都是基于等時(shí)距序列建立的，而在變形監(jiān)測(cè)的實(shí)際工作中，受到各方面因素的影響，時(shí)間序列往往是非等距的?；诖?，很多學(xué)者針對(duì)非等距時(shí)間序列，構(gòu)建了灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型[11-13]，并應(yīng)用到變形監(jiān)測(cè)工作中，取得了一定的成果。但是，傳統(tǒng)的灰色非等距 GM(1,1)預(yù)測(cè)模型本身固有的系統(tǒng)誤差給預(yù)測(cè)工作造成一定的負(fù)面影響，致使預(yù)測(cè)精度不高。本文通過最小二乘原理選取非等距GM(1,1)模型的最優(yōu)初值，利用等分函數(shù)法構(gòu)造新的背景值，構(gòu)建了優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。

1　優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型

1.1傳統(tǒng)的非等距GM(1,1)模型

傳統(tǒng)的非等距GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的預(yù)測(cè)模型之一，它是以灰色生成函數(shù)為基礎(chǔ)，以微分?jǐn)M合為核心的一種建模方法。非等距GM(1,1)模型的建模過程為：

假設(shè)一組非負(fù)原始數(shù)據(jù)序列，記為X(0)，即

X(0)=[X(0)(t1),X(0)(t2),…,X(0)(tn)]

(1)

式中：tn為觀測(cè)的時(shí)刻；X(0)(tn)為在tn時(shí)刻的觀測(cè)值。

對(duì)原始數(shù)據(jù)X(0)序列進(jìn)行一次累加，生成的累加數(shù)據(jù)序列記為X(1)，即

X(1)=[X(1)(t1)X(1)(t2),…,X(1)(tn)]

(2)

利用最小二乘原理[11-14]計(jì)算可得非等距GM(1,1)的預(yù)測(cè)方程為:

(3)

最后，恢復(fù)時(shí)間序列還原預(yù)測(cè)值

(4)

1.2基于最優(yōu)初值選取優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)模型

從式(3)中可以看出，初始值X(1)(t1)作為初始的計(jì)算值是不合理的。通過最小二乘原理對(duì)初始值進(jìn)行修正[7]，設(shè)初始值的修正形式為X(1)(t1)=X(1)(t1)+S，其中S為初始值的修正項(xiàng)。因此，式(3)的預(yù)測(cè)方程可表示為：

(5)

(6)

將式(6)對(duì)S求導(dǎo)，并令其等于0，則S為

S=a1/b1-[X(0)(t1)-a/b]

(7)

1.3基于指數(shù)函數(shù)法構(gòu)造背景值優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)模型

圖1　背景值Z(1)序列的構(gòu)造示意圖

=di·e-a(ti+1-ti)

(8)

(9)

由X(1)(t1)=X(0)(t1)=D·e-a(t1-t1)+C=D+C可得：

(10)

結(jié)合式(8)～式(10)可以得到：

(11)

由式(11)構(gòu)造新的背景值矩陣B1和向量Y1，得到：

(12)

利用式(12)得出的新背景值和最小二乘原理可求得式(3)的預(yù)測(cè)方程，最后累減還原時(shí)間序列可得到優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值。

2　優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型實(shí)例計(jì)算與結(jié)果分析

對(duì)秀山湖二期工程中的7幢樓進(jìn)行沉降觀測(cè)(12#、13#、15#、18#、19#、20#、21#)。本文以12#樓為例，由工作基點(diǎn)G3開始對(duì)12#樓的沉降點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，按樓層數(shù)進(jìn)行觀測(cè)，每加蓋2層觀測(cè)1次，前后共觀測(cè)20次。選取12-2點(diǎn)、12-4點(diǎn)和12-6點(diǎn)中的11期累計(jì)沉降數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1　實(shí)測(cè)沉降累計(jì)數(shù)據(jù)

2.1兩種預(yù)測(cè)模型的擬合結(jié)果與分析

利用Matlab 7.0軟件為平臺(tái)，采用新陳代謝的計(jì)算方式編寫程序，通過表1中前7期沉降累計(jì)量數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)第8～11期沉降累計(jì)量，即：首先利用前7期觀測(cè)數(shù)據(jù)建立優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，計(jì)算得到第8期累計(jì)沉降量的預(yù)測(cè)值；然后去掉建模數(shù)據(jù)中的第1期數(shù)據(jù)，加入第8期的預(yù)測(cè)值重新建模，再計(jì)算第9期累計(jì)沉降量的預(yù)測(cè)值；依次類推，分別計(jì)算出第8～11期累計(jì)沉降量的預(yù)測(cè)值；最后，求取新陳代謝過程中產(chǎn)生的擬合值和預(yù)測(cè)值的平均值，將其作為最終優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的擬合值和預(yù)測(cè)值。2種預(yù)測(cè)模型的擬合結(jié)果分別如表2、表3所示。

表2　傳統(tǒng)的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的擬合值 　mm

表3　優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的擬合值　mm

從表2和表3中的擬合結(jié)果可以看出：12-2點(diǎn)的傳統(tǒng)灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.287 9 mm大于優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.171 9 mm；12-4點(diǎn)的傳統(tǒng)灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.290 5 mm大于優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.198 3 mm；12-6點(diǎn)的傳統(tǒng)灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.222 5 mm大于優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.147 0 mm。基于此，利用3種不同的建模數(shù)據(jù)驗(yàn)證了優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的擬合精度優(yōu)于傳統(tǒng)的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。

2.2兩種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與分析

兩種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如表4所示。

表4　兩種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果　　　　　mm

從表4中的模型預(yù)測(cè)結(jié)果得出：12-2點(diǎn)的傳統(tǒng)灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.990 3 mm大于優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.724 3 mm；12-4點(diǎn)的傳統(tǒng)灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.939 6 mm大于優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.578 4 mm；12-6的傳統(tǒng)灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.699 8 mm大于優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的中誤差0.439 3 mm。從計(jì)算的結(jié)果可以看出：3種不同的建模數(shù)據(jù)驗(yàn)證了優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型比傳統(tǒng)的灰色非等距GM(1,1)原模型預(yù)測(cè)精度更高、實(shí)用性更強(qiáng)。

3　結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的固有系統(tǒng)誤差，本文通過最小二乘原理選取非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的最優(yōu)初值，利用等分函數(shù)法構(gòu)造新的背景值，構(gòu)建了優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。最后，結(jié)合秀山湖二期工程的變形實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，運(yùn)用新陳代謝的計(jì)算模式進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)的二色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較。結(jié)果表明：基于新陳代謝式優(yōu)化的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度優(yōu)于傳統(tǒng)的灰色非等距GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，新的預(yù)測(cè)模型的適用性更強(qiáng)，具有一定的參考價(jià)值。在建模過程中，要充分考慮建模數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，建議建模數(shù)據(jù)不要低于6期為宜，外推的預(yù)測(cè)值不要超過4期為宜，同時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，及時(shí)地更新建模數(shù)據(jù)，用最新的、更可靠的數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型。

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Application of optimized non-equidistance GM(1,1) prediction model in subsidence monitoring

LI Zhi-wei1,LI Ke-zhao1,2,ZHAO Lei-jie1

(1.SchoolofSurveyingandLandingInformationEngineering,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454000,China;2.CollaborativeInnovationCenterofBDSResearchApplication,Zhengzhou450052,China)

The original values,conformation of background values perform important double factors to the precision of the gray Non-equidistance GM (1,1) model.In this paper,we selected the optimal initial values of the Non-equidistance GM(1,1) model by the least square principle,created new background values by exponential function method,producing the optimized gray Non-equidistance GM(1,1) prediction model.Combined with data of the subsidence monitoring of the second phase of Xiu Shan Lake project,the metabolism computing model is used to prediction and we effectively compared the traditional Non-equidistance GM(1,1) model and the optimized Non-equidistance GM(1,1) model.The results show that the optimized Non-equidistance GM (1,1) prediction model based on the Metabolism prediction model of the accuracy is better than the traditional Non-equidistance GM(1.1) prediction model,new prediction model performed better applicability,which has practical reference value.

non-equidistance GM (1,1);the least square principle;exponential function;metabolism;subsidence monitoring

2015-12-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41202245；41272373)

李志偉(1991—)，男，河南衛(wèi)輝人，碩士研究生。

1674-7046(2016)02-0068-06

10.14140/j.cnki.hncjxb.2016.02.013

TU196+.1

A