微積分在高中數(shù)學中的應用研究

貴州工程應用技術(shù)學院 曹發(fā)勇

微積分在高中數(shù)學中的應用研究

貴州工程應用技術(shù)學院 曹發(fā)勇

微積分在高中數(shù)學中占據(jù)著非常重要的作用，對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、想象能力和創(chuàng)新能力能夠發(fā)揮重要的作用。本文針對高中數(shù)學中的關于極限、導數(shù)等難點，探討微積分在解決這些難點中的應用方法，對微積分在高中數(shù)學的應用做出有益的思考。

微積分；高中數(shù)學；應用

微積分是數(shù)學科學的重要組成部分，由17世紀牛頓和萊布尼茨分別創(chuàng)立。微積分在描述變量和函數(shù)中起到了非常重要的作用。新《普通高中數(shù)學課程標準》中對微積分的教學內(nèi)容進行了改革，通過在高中階段使學生初步了解微積分的思想，為學生進入大學階段學習高等數(shù)學打下良好的基礎。本文通過例子，說明微積分在求解極值、函數(shù)單調(diào)性、方程求解等方面的應用。

一、利用微積分求解函數(shù)極值

微積分在求解函數(shù)極值中有著非常巧妙的應用。求解步驟為：（1）首先對函數(shù)f（x）求導f'（x）；（2）求解方程f'（x）=0的根；（3）判斷f'（x）在f'（x）=0根的兩邊的符號，確定極值的類型。

解：f'（x）=lnx+1=0，可得x=1/e，而當x位于（0，1/e）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當x位于（1/e，e］時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)。

可知：x=1/e，f（x）取極小值，f（x）取值為-1/e；當x=e時，取極大值，f（x）取值為e。

利用函數(shù)求導可以迅速判斷出函數(shù)的極值。

二、利用微積分判斷函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判斷是高中數(shù)學中一個非常重要的內(nèi)容，也是歷年高考重要的考點。利用函數(shù)求導后的正負，很容易判斷出函數(shù)的單調(diào)性。

例2：（2009年廣東卷文）函數(shù)f（x）=（x-3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）。

A.（-∞，2） B.（0，3） C.（1，4） D.（2，+∞）

分析：對函數(shù)f（x）求導，f'（x）＞0的解即為單調(diào)遞增區(qū)間。

f'（x）=ex+（x-3）ex=（x-2）ex＞0，可得x＞2。因此，本題選D。

三、利用微積分求證不等式

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式。

例3：當x位于（0，π）時，證明不等式sinx＜x成立。

分析：構(gòu)建函數(shù)f（x）=sinx-x，對其求導，并判斷導數(shù)的正負即可。

構(gòu)建函數(shù)f（x）=sinx-x，求導可得f'（x）=cosx-1

由于x位于（0，π），因此f'（x）＜0。

因此f（x）=sinx-x在區(qū)間（0，π）上為單調(diào)減函數(shù)，而f（x）=0，

因此在x位于（0，π）時，f（x）＜0，

即sinx＜x成立。

四、利用微積分求解曲面面積

定積分是新課標中新加的內(nèi)容，新《課標》對定積分的定位如下：（1）通過求曲邊梯形的面積、變力做功等實例，從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念，為以后進一步學習微積分打下基礎；（2）通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價值?？梢姡咧姓n程學習積分與定積分，重在粗淺地領略其主要思想和基本方法，從一些實例中初步認識定積分的工具作用。近年來，部分地區(qū)高考主要在定積分的求法、定積分的簡單應用尤其是利用定積分求面積上做文章。

例4：（2008海南、寧夏卷理）由直線x=0.5，x=2，曲線y=1/x及x軸所圍圖形的面積是（ ）。

A.15/4 B.17/4

C.0.5ln2 D.2ln2

分析：此題是求連續(xù)曲線y=1/x，x軸二直線x=0.5，x=2，所圍成的曲邊梯形的面積。

五、利用微積分在數(shù)列問題中的應用

例5：求數(shù)列1，2x，3x2，…，nxn-1的和（其中x≠0，x≠1）。

分析：這道題可以用錯位相減法求和，但若用導數(shù)方法運算會使問題更加簡明。

六、小結(jié)

微積分能夠高速有效地解決很多數(shù)學問題，在高中數(shù)學中也有著廣泛的應用。微積分自進入高中數(shù)學以來，對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維方式提供了新的途徑，也為幫助學生在進入大學后更好地學習微積分打下良好的基礎。微積分在高中數(shù)學中有著廣泛的應用，除了本文上述的領域之外，在方程求根、函數(shù)圖像、切線方程和面積求解等領域也有著廣泛的應用，值得進一步去探討研究。

［1］許榮良.高中數(shù)學解題中微積分的應用［J］.數(shù)理化學習（高中版），2014（11）.

［2］張海燕.微積分在高中數(shù)學解題中的應用［J］.中學生數(shù)理化（學研版），2015（8）.

［3］王湘平.微積分在高中數(shù)學解題中的應用［J］.才智，2013（5）.

曹發(fā)勇（1991- ），男，貴州赫章人，漢族，本科學歷，學士學位，數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)。）