計算機(jī)模擬在概率論課程教學(xué)中的應(yīng)用

謝曉振+胡小寧

摘要：在理解頻率的穩(wěn)定性、大數(shù)定律以及中心極限定理方面上，計算機(jī)模擬概率論隨機(jī)試驗有著非常顯著的教學(xué)效果。本文通過簡要分析余數(shù)法、混同余法所形成的均勻隨機(jī)數(shù)方法、運(yùn)用Mathematica軟件所形成的一系列分布隨機(jī)數(shù)方法，并借助于計算機(jī)技術(shù)的假設(shè)檢驗方法對所獲取的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗，然后通過蒲豐的投針實驗為依據(jù)，對數(shù)值計算上運(yùn)用概率思想的蒙特卡洛方法進(jìn)行簡要探討，希望能夠為我國概率論課程教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量的提升帶來一定幫助。

關(guān)鍵詞：計算機(jī)模擬；概率論課程教學(xué)；蒙特卡洛方法

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）25-0163-02

在概率論的發(fā)展歷史中可以看出，為了進(jìn)一步分析和研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，一些老一輩的數(shù)學(xué)家制定了諸多隨機(jī)試驗，其中最為典型的有蒲豐的投針實驗、葛爾頓釘板試驗等。這些試驗在一定程度上凸顯出來老一輩數(shù)學(xué)家的智慧。因此在現(xiàn)代的概率論課程教學(xué)過程中擁有著非常重要的意義。而隨著現(xiàn)代科技的不斷進(jìn)步和發(fā)展，計算機(jī)技術(shù)逐漸得到普及，而運(yùn)用計算機(jī)來對早期數(shù)學(xué)家所設(shè)計的隨機(jī)試驗進(jìn)行實施，能夠讓概率論教學(xué)效果得到有效提升。

1 計算機(jī)模擬隨機(jī)試驗中的問題探討

在很早之前，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家想要實驗都是依靠純手工的方式，如擲硬幣實驗就是靠早期數(shù)學(xué)家一次次拋擲的方法，來嚴(yán)重硬幣的正反面出現(xiàn)概率，如表1。

此外還有一個較為經(jīng)典的葛爾頓釘板試驗，其目的是為了驗證頻率的穩(wěn)定性，其是在一塊斜立木板上，依次釘上釘子，每一個白點(diǎn)代表一個釘子，且釘子之間的距離均都相同，上面釘子剛好處于下面兩顆釘子的中心位置，從入口處將一個半徑小于釘子間距的小球放入其中，當(dāng)小球碰撞到第一排釘子后，會以百分之五十的概率滾向左/右下，然后觸碰到第二排釘子，以此循環(huán)直至小球從某一個格子內(nèi)滾出為止。當(dāng)放入小球數(shù)量為1時，則事先難以準(zhǔn)確地判斷出小球會想那個方向的格子滾去，但如果小球數(shù)量增多并達(dá)到一定數(shù)量時，則其底部所呈現(xiàn)的曲線則基本上一致，均呈現(xiàn)一種橄欖球狀[1]。由此可得出，小球落入到每個格子的頻率均都穩(wěn)定，而實驗中小球構(gòu)成的曲線則稱之為正態(tài)分布，見圖1。

此外，如果多次測量一個物體的長度，其平均值會是在處于某個固定值左右。而在目標(biāo)均勻性實驗及燈泡壽命試驗等一系列重復(fù)性實驗也均都是浮動在某固定值上。在設(shè)計這些試驗不僅較為枯燥，而且還消耗較長的時間，尤其是在進(jìn)行破壞性實驗時，例如壽命試驗等，則就需要消耗過高的成本，而若將這些試驗運(yùn)用計算機(jī)進(jìn)行模擬試驗，則就能讓一系列問題得到有效解決，具有非常顯著的教學(xué)作用。不過從真實試驗向計算機(jī)模擬試驗轉(zhuǎn)變，首先要做的就是有效解決隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生、假設(shè)檢驗記憶蒙特卡洛方法等問題。

2 計算機(jī)上隨機(jī)數(shù)的形成方法

2.1 均勻隨機(jī)數(shù)的形成

計算機(jī)上隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法中最為常見的有余數(shù)法：

令：yn+ 1=λyn（modM），y0=a

再令 xn=yn/M

其中λ，M為任意正數(shù)，a為正奇數(shù)。先給定y0=a，用M除以λyn所得的余數(shù)記為yn+ 1，用yn+ 1/M得到xn.關(guān)于參數(shù)的選擇，從公開報道得知較適用的有：a=1，λ= 517，M= 242。

此外，還有一種較為常用的方法，即混同余法：

令 yn+ 1=λyn+b（modM），y0=a

再令 xn=yn/M

用混同余法得到（0， 1）區(qū)間上均勻分布的50個隨機(jī)數(shù)的程序為：m= 2～16； b= 27421；x0= 2；

LinearCong[x_]：=Mod[bx+ 7，m ]；data= Table [LinearCong [x ]/m /N，{x， x0， 49+x0}]；h=Length[data]

2.2 利用[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)和反函數(shù)定量得出分布的隨機(jī)數(shù)

將單調(diào)上升的連續(xù)分布函數(shù)或已給分布密度設(shè)為F（x），結(jié)合（0，1）中均勻分布隨機(jī)變數(shù)，得出方程為F（y）=Y，解出的結(jié)果為y=F-1（Y）是以F（x）為分布函數(shù)的隨機(jī)變數(shù)。

2.3 通過mathematics軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)

在外掛軟件包mathematics中有一個統(tǒng)計軟件包，其中Drscre Distribution能夠產(chǎn)生各種分布的隨機(jī)數(shù)。

3 隨機(jī)數(shù)的分布擬合

借助于上述的幾種方法所獲取的數(shù)屬于一種偽隨機(jī)數(shù)，這種通過一定計算方法所獲取到了數(shù)，從本質(zhì)上講并不能夠稱之為隨機(jī)數(shù)，不過能夠通過數(shù)據(jù)整理統(tǒng)計的獨(dú)立性檢驗及分布檢驗方法，讓讓其得到實踐應(yīng)用。通常分布擬合的步驟流程主要分為三個，首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，通過對其頻數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，將條形圖畫出，然后既能夠大概的獲得隨機(jī)變量所形成的概率密度圖，然后在以區(qū)間估計均值和方差為基礎(chǔ)，實施分布的假設(shè)檢驗[2]。例如：使用一臺自動包裝機(jī)，其打包重量均為100kg，然后從某天生產(chǎn)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取130包進(jìn)行重量測量。將區(qū)間劃分成十六個相同區(qū)間，均為0.5kg，然后對130個數(shù)據(jù)在各個子區(qū)間中的落下頻數(shù)和頻率進(jìn)行計算。通過計算機(jī)的分組統(tǒng)計命令獲取到落在各個小區(qū)間的頻率，讓狗將頻數(shù)圖畫出，由圖可得出其隨機(jī)變量為近似服從正態(tài)分布。然后將樣本的期望和方差計算出來。

4 蒙特卡洛方法

通過蒲豐的投針試驗來闡述蒙特卡洛方法，讓其教學(xué)應(yīng)用展現(xiàn)出來。在平面上將一個相等距離a的平行線畫出來，然后將任意長度l（l

假設(shè)針的投擲中心為M，其中心電距離最近一條平行線的距離為x，與平行線之間的構(gòu)成的夾角以T 表示。由此可得出：0

按照針與一條平行線相交的充分必要條件為x<2/l，則就代表在（a，x）平面上存在一個子集合：G= {（T，x）|x<2/lsinT}，見圖3中紅線以內(nèi)的區(qū)域。由該問題的轉(zhuǎn)變逐步成為R中所分別的均勻投擲點(diǎn)，求G中點(diǎn)的落下概率。結(jié)合破努力大數(shù)定律為基礎(chǔ)可以獲得：頻率通過l得出相關(guān)的概率，然后依據(jù)微積分知識得出，G的面積為：SG=∫π0l/2sinTdT=l/2（-cosT）|π0=l。然后從均勻分布定義得出，G中隨機(jī)點(diǎn)的落下概率為：P=SG/SR=2l/πa，換位思考則得出π=2l/πa，然后在計算機(jī)上通過模擬試驗將概率P求出，則就能夠通過P=SG/SR=2l/πa公式來將π的近似值計算出來[3]。通過對程序的分組統(tǒng)計命令進(jìn)行運(yùn)用，這就能夠看到投擲針的實際情況，見圖4所示。當(dāng)n所取值不同時，則能夠得出π的各個近似值，例如：當(dāng)n為100000時，則π約為3.13960，不過在第二次進(jìn)行實驗時，就算次數(shù)依舊還是選擇本次實驗一樣的10000次，則所得出的結(jié)果可能會出現(xiàn)變化。

5 隨機(jī)模擬在教學(xué)上的應(yīng)用分析

近幾年來，在現(xiàn)代概率論課程教學(xué)過程中，通過計算機(jī)模擬應(yīng)用能夠制定出多個教學(xué)動畫，其中較為典型的有高爾頓釘板試驗、捕魚問題以及貝努力大數(shù)定律等[4]。通過概率論試驗可以使傳統(tǒng)難以理解的概念逐漸變得既生動又具有抽象性的理論，實現(xiàn)概率論的情緒性和直觀性，從而讓學(xué)生學(xué)習(xí)概率論的興趣得到進(jìn)一步提升。而通過計算機(jī)模擬開發(fā)的實驗及動畫，則能夠讓教師對信息技術(shù)的使用能力得到提高，讓課程教學(xué)效果得到進(jìn)一步改善[5]。而且，在實驗過程中，運(yùn)用一系列的計算機(jī)數(shù)學(xué)軟件，也能夠讓學(xué)生科學(xué)計算的能力得到有效培養(yǎng)，對學(xué)生的日后發(fā)展和學(xué)習(xí)有著非常關(guān)鍵的作用。

6 總結(jié)

總而言之，從應(yīng)用計算機(jī)模型對數(shù)學(xué)概率論中的典型問題和實驗可以得出，計算機(jī)模型能夠讓概率計算和數(shù)據(jù)處理變得更加簡單、便捷，能夠讓概念的難以理解現(xiàn)象逐漸轉(zhuǎn)化成既生動又具有抽象性的理論，促使其知識越發(fā)直觀、清晰，從而全面激發(fā)學(xué)生對概率論的學(xué)習(xí)興趣因此，計算機(jī)模擬應(yīng)用于概率論課程教學(xué)中，不但能夠讓教學(xué)效率得到提升，而且對教學(xué)質(zhì)量的提高也有著一定的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)：

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