基于蒙特卡洛法的關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間分析

王學(xué)影，王 華，陸 藝，郭 斌

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，杭州 310018)

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基于蒙特卡洛法的關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間分析

王學(xué)影，王 華，陸 藝，郭 斌

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，杭州 310018)

傳統(tǒng)的求解關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間的方法需要借助繁瑣的數(shù)學(xué)公式、計(jì)算量大，針對(duì)這一問題選用蒙特卡洛法對(duì)工作空間進(jìn)行分析；首先運(yùn)用D-H方法建立關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的數(shù)學(xué)模型得出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程;然后采用蒙特卡洛法分析該測(cè)量機(jī)的工作空間，得出工作空間點(diǎn)云圖；最后，采用局部象限分布的方法對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間點(diǎn)云圖的邊界點(diǎn)進(jìn)行提取;仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明用蒙特卡洛法對(duì)工作空間分析更簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)，采用基于局部象限分布法提取到的邊界點(diǎn)輪廓也更準(zhǔn)確避免了虛假邊界點(diǎn)的提取。

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)；運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；工作空間；蒙特卡洛法；邊界提取

0 引言

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是一種新型的非笛卡爾式坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)[1]。該系統(tǒng)將一系列桿件通過具有旋轉(zhuǎn)功能的關(guān)節(jié)連接起來(lái)，以角度測(cè)量取代了長(zhǎng)度測(cè)量，具有機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，測(cè)量范圍大，體積小，可便攜等優(yōu)點(diǎn)。因此在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。測(cè)量機(jī)的關(guān)節(jié)數(shù)目、關(guān)節(jié)配置情況和結(jié)構(gòu)尺寸等因素都會(huì)影響測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)范圍[2]。為了使坐標(biāo)測(cè)量機(jī)能滿足人們的需求所以必須對(duì)其工作空間進(jìn)行研究。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間的研究還比較少，基本停留在對(duì)工作空間點(diǎn)云圖的繪制上。對(duì)工作空間點(diǎn)云圖的繪制方法分為定步距打點(diǎn)法和基于蒙特卡洛法的工作空間繪制兩種方法。前一種方法計(jì)算量大，公式復(fù)雜，而蒙特卡洛法很好的彌補(bǔ)了前一種方法的缺點(diǎn)，所以這里采用蒙特卡洛法來(lái)分析工作空間。工業(yè)機(jī)器人在這方向的研究比較深入，繪制出點(diǎn)云圖后還進(jìn)行了邊界點(diǎn)的提取，主要的方法有柵格搜索法、極值搜索法、文本搜索法和逆解搜索法等[3]。柵格法的原理是將工作空間劃分為多個(gè)正方形的網(wǎng)格，按照規(guī)定的判別條件來(lái)確定邊界單元，再用單元內(nèi)點(diǎn)集坐標(biāo)的平均值表示邊界點(diǎn)的坐標(biāo)值[4]。極值法是將工作空間按列劃分，在固定的一段寬度范圍內(nèi)找工作區(qū)域邊界的極大極小值[5]，這兩個(gè)極大極小值點(diǎn)即為工作空間的邊界點(diǎn)。這幾種邊界提取的方法理論知識(shí)較為完整，但提取到的點(diǎn)也只能是近似的邊界點(diǎn)。因此本文先通過對(duì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的分析得出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，再對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的工作空間進(jìn)行分析，最后利用基于局部象限分布的方法對(duì)工作空間邊界點(diǎn)進(jìn)行提取，獲得邊界點(diǎn)的輪廓。

1 關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的構(gòu)建

運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的構(gòu)建是關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間分析的基礎(chǔ)。工作空間需要用數(shù)學(xué)方程來(lái)確定，要得到這個(gè)方程就要在理解關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量原理的基礎(chǔ)上，建立合理的數(shù)學(xué)模型。

1.1 關(guān)節(jié)臂式測(cè)量機(jī)測(cè)量原理

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是根據(jù)仿生學(xué)原理，模擬人的四肢和軀干運(yùn)動(dòng)而構(gòu)成的。它由多個(gè)關(guān)節(jié)構(gòu)成，測(cè)頭端安裝有測(cè)量探頭，可由人牽引在物體表面滑動(dòng)掃描[6]。機(jī)械臂的關(guān)節(jié)上裝有角度傳感器，可以實(shí)時(shí)測(cè)量關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，根據(jù)臂長(zhǎng)和各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度計(jì)算出測(cè)量點(diǎn)的三維坐標(biāo)。

1.2 關(guān)節(jié)臂式測(cè)量機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型采用的建模方法是基于準(zhǔn)球坐標(biāo)系改進(jìn)以后的D-H建模方法[7]。這種建模方法可以簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)模型中包含的參數(shù)，其坐標(biāo)示意圖如圖1。

圖1 測(cè)量機(jī)坐標(biāo)系示意圖

圖1中的參數(shù)分別是關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1～θ6，測(cè)頭端中心點(diǎn)在XYZ軸上的偏置分別為a1～a7、b1～b7、d1～d7以及每個(gè)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)中心O1～O6。

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是一種類似于工業(yè)機(jī)器人的多關(guān)節(jié)串聯(lián)的開式運(yùn)動(dòng)鏈。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析主要是研究柔性關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)各關(guān)節(jié)變量與其末端測(cè)頭端的位置坐標(biāo)之間的關(guān)系，是研究工作空間的基礎(chǔ)。它們之間的關(guān)系可以由一個(gè)坐標(biāo)變換矩陣表示[8]，坐標(biāo)系{i}到坐標(biāo)系{i+1}的變換關(guān)系如式(1)：

Ai,i+1=Rot(Zi,θi)Trans(Zi,di+1)Trans(Yi,bi+1)

(1)

由坐標(biāo)變換矩陣可以得出關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)理想運(yùn)動(dòng)學(xué)方程模型如式(2)。

(2)

其中:(x67,y67,z67)是側(cè)頭點(diǎn)P在{O6X6Y6Z6}坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值表達(dá)式，該表達(dá)式如下式(3)。

(3)

將公式(1)和(3)代入公式(2)得到最終測(cè)頭點(diǎn)的位置坐標(biāo)與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間關(guān)系的表達(dá)式如下式(4)。

(4)

式中，l1～l6中l(wèi)=(lx，ly，lz)T表示第i個(gè)坐標(biāo)系的X軸的方向相對(duì)于第i-1個(gè)坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦。

2 測(cè)量空間分析

通過上面的分析，建立了合理的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型得出了運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，具備了進(jìn)行測(cè)量空間分析的基本條件。但是由于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角在某個(gè)范圍內(nèi)是連續(xù)變化的，而運(yùn)用蒙特卡洛法分析工作空間則是一種數(shù)字分析方法。我們需要定義工作空間的描述方法，將關(guān)節(jié)角度變量的取值與工作空間建立一種映射關(guān)系。然后再結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)方程完成對(duì)工作空間的分析。本文以?？怂箍倒旧a(chǎn)的Infinite2.0的測(cè)量機(jī)作為實(shí)驗(yàn)分析的對(duì)象。

2.1 工作空間描述

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量空間可定義為：測(cè)量機(jī)在正常工作時(shí)，測(cè)頭端的中心點(diǎn)在整個(gè)空間所能測(cè)量的最大范圍。在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，測(cè)量空間可以用測(cè)頭中心點(diǎn)在不同關(guān)節(jié)相互組合運(yùn)動(dòng)的作用下所能達(dá)到的位置點(diǎn)的集合來(lái)表示[9]，即在三維空間R3中，該集合可視為關(guān)節(jié)變量與測(cè)量空間WF位置的映射，表示為下式(5)：

(5)

其中:θi為關(guān)節(jié)變量，i為關(guān)節(jié)數(shù)量；Ω為關(guān)節(jié)變量空間；T為關(guān)節(jié)變量與測(cè)量空間位置的映射關(guān)系。

2.2 工作空間分析

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間的形狀比較抽象無(wú)法直觀想象，因此需要借助于數(shù)學(xué)工具來(lái)對(duì)它進(jìn)行描述和分析。

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的各關(guān)節(jié)角度變量取值如表1所示。其中臂長(zhǎng)的名義值分別為b3=285mm，b5=285mm，b7=220mm。

表1 關(guān)節(jié)角度變量的取值

用蒙特卡洛方法模擬關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的工作空間，主要是利用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[10]。實(shí)質(zhì)是利用蒙特卡洛技術(shù)對(duì)關(guān)節(jié)變量進(jìn)行符合均勻分布的隨機(jī)抽樣，并將各關(guān)節(jié)變量的隨機(jī)抽取的值代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(2)計(jì)算出關(guān)節(jié)臂測(cè)頭中心點(diǎn)的坐標(biāo)值，這些坐標(biāo)值構(gòu)成的集合即為關(guān)節(jié)臂的工作空間。

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的工作空間本來(lái)是一個(gè)連續(xù)分布的空間，而蒙特卡羅法是需要處理離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，前面我們已經(jīng)完成了符合這一算法的概率模型的構(gòu)建[11]。然后要在各關(guān)節(jié)角度變化范圍內(nèi)利用均勻偽隨機(jī)數(shù)RAND，逐個(gè)產(chǎn)生各關(guān)節(jié)變量，即：

式中，θi為第i個(gè)關(guān)節(jié)變量的隨機(jī)值，θimin為第i個(gè)關(guān)節(jié)變量取值下限，θimax為第i個(gè)關(guān)節(jié)變量取值上限，各關(guān)節(jié)上下限的取值見表1。將上述過程產(chǎn)生的隨機(jī)變量值帶入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出測(cè)頭端中心點(diǎn)在基坐標(biāo)系中各相應(yīng)位置的坐標(biāo)值，然后在軟件中得出節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間點(diǎn)云圖如圖2。

圖2 工作空間點(diǎn)云圖

從圖2中的(a)圖所示的測(cè)量機(jī)工作空間的三維圖形可以看出，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的理想工作空間是一個(gè)完整的球體，可以測(cè)量自身參數(shù)允許范圍內(nèi)所有區(qū)域。圖2中的(b)和(c)分別是圖(a)在xoy和xoz平面上的投影圖，從中可以看出在靠近坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的底座部分存在著測(cè)量機(jī)的不可觸區(qū)域。最外層部位由于測(cè)量機(jī)的臂長(zhǎng)和轉(zhuǎn)角的約束，點(diǎn)分布相對(duì)稀疏，其它位置的點(diǎn)分布均勻，變化平緩，沒有空心出現(xiàn)，這可以表明關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)的合理性。但是利用蒙特卡洛方法模擬獲得的是測(cè)量機(jī)工作空間中一系列隨機(jī)點(diǎn)的云圖，為了更準(zhǔn)確地分析工作空間的特性得到準(zhǔn)確 的邊界點(diǎn)坐標(biāo)信息，我們還需要對(duì)點(diǎn)云圖的邊界點(diǎn)做進(jìn)一步的分析[12]。

3 邊界點(diǎn)提取方法

由于工作空間的點(diǎn)云圖無(wú)法準(zhǔn)確地表達(dá)出邊界點(diǎn)的信息，因此對(duì)點(diǎn)云圖邊界提取的研究工作也很重要。本文采用的基于局部點(diǎn)象限分布的邊界點(diǎn)提取方法的具體實(shí)現(xiàn)過程如下[13]。

該方法是以要判斷點(diǎn)為原點(diǎn)，建立局部坐標(biāo)系，通過分析邊界點(diǎn)、內(nèi)部點(diǎn)和鄰域點(diǎn)的分布特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)如果該點(diǎn)為邊界點(diǎn),則4個(gè)象限至少有1個(gè)象限的點(diǎn)分布為空集。具體判別步驟如下:

1)搜索目標(biāo)點(diǎn)i(xi,yi)的鄰域點(diǎn)集合如式(6)：

(6)

其中:r為搜索半徑；

按照上述步驟逐點(diǎn)判斷,即可找出所有的邊界點(diǎn)。但是該方法需要搜索整個(gè)工作空間，計(jì)算量非常大，需要的時(shí)間較長(zhǎng)。結(jié)合以往機(jī)器人工作空間分析中采用的按列劃分的方法，將前面第一步中需要搜索的目標(biāo)點(diǎn)的范圍進(jìn)行進(jìn)一步的限定，具體做法流程圖如圖3。

圖3 邊界點(diǎn)搜索流程圖

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

采用本文的基于局部點(diǎn)象限分布法提取邊界點(diǎn)的方法對(duì)實(shí)驗(yàn)室的?？怂箍倒旧a(chǎn)的Infinite2.0的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間進(jìn)行仿真試驗(yàn)。按照這種方法提取到的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間邊界點(diǎn)輪廓如圖4。其中圖4中的(a)是關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在xoy平面內(nèi)工作空間邊界點(diǎn)的輪廓圖，圖(b)是關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在xoz平面內(nèi)工作空間邊界點(diǎn)輪廓。用這種方法進(jìn)行邊界點(diǎn)提取時(shí)就不需要每次都對(duì)整個(gè)空間的工作點(diǎn)進(jìn)行分析了，只需對(duì)不同的3個(gè)或者兩個(gè)子區(qū)間的點(diǎn)進(jìn)行分析即可得到較準(zhǔn)確地邊界點(diǎn)。從圖中可以看到提取的邊界點(diǎn)輪廓無(wú)虛假邊界點(diǎn)，準(zhǔn)確反映了工作空間邊界信息。

圖4 關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間邊界輪廓

將圖2工作空間點(diǎn)云圖中(b)圖測(cè)量空間在XOY平面上的截面圖的局部進(jìn)行放大分析得到如圖5所示的結(jié)果。其中a、c和e三點(diǎn)為邊界點(diǎn)，f、b、d和g是偽邊界點(diǎn)。在該圖中利用基于局部象限點(diǎn)分布法提取到的邊界點(diǎn)是以圖5中的a、c和e三點(diǎn)為代表的處于最外層的三點(diǎn)連線上的這一系列點(diǎn)，在包絡(luò)線外沒有漏掉的邊界點(diǎn)，也沒有提取到處于內(nèi)部的偽邊界點(diǎn)。

圖5 測(cè)量空間XOY面上的局部放大圖

相對(duì)于用極值法和柵格法提取邊界點(diǎn)，本文的基于局部點(diǎn)象限分布法的提取精度更高，并且提取到的邊界點(diǎn)更貼合與工作空間的實(shí)際邊界，這種方法可以很好的避免虛假邊界點(diǎn)的出現(xiàn)。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過建立關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)而推導(dǎo)出了運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，在此基礎(chǔ)上用本文提到的方法對(duì)海克斯康公司生產(chǎn)的Infinite2.0關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)工作空間做了仿真分析繪制出了工作空間點(diǎn)云圖并對(duì)其工作空間點(diǎn)云圖進(jìn)行邊界點(diǎn)的提取。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：用蒙特卡洛法分析繪制測(cè)量機(jī)的工作空間更簡(jiǎn)單，生成的工作空間點(diǎn)云圖各點(diǎn)更貼近實(shí)際，可以由點(diǎn)云圖中直觀的看到關(guān)節(jié)臂的實(shí)際工作范圍，便于人們合理的擺放測(cè)量機(jī)的位置。用基于局部點(diǎn)象限分布法能提取到測(cè)量機(jī)工作空間精確的邊界點(diǎn)，對(duì)后續(xù)人們研究坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的最佳測(cè)量空間具有重要的意義。

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Workspace Analysis of Articulated Arm Coordinate Measuring Machine Based on Monte Carlo Method

Wang Xueying，Wang Hua，Lu Yi，Guo Bin

(Institute of Precision Measurement and Control, China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)

The traditional method to solve the problem of working space of articulated arm coordinate measuring machine needs applying complex mathematical formulas with large calculating quantities. To solve this problem, the Monte Carlo method was used to analyze the working space.Firstly, the D-H method was used to establish the mathematical model of coordinate measuring in order to obtain the Kinematics equations.Then, the Monte Carlo method was used to analyze the working space of the measuring machine in order to draw the cloud picture of the work space.Finally,we could extract the boundary points of the workingspace of the articulated arm coordinate measuring machine by using the method of the local quadrant distribution. The results of simulating experiments show that the Monte Carlo method is more simple and easier to operate on the analysis of space. The boundary points extracted by using the method of local quadrant distribution are more accurate avoiding the extraction of the false boundary points at the same time.

articulated arm coordinate measuring machine;kinematic model;workspace; Monte Carlo method;boundary extraction

2015-11-17；

2015-12-18。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51405463)。

王學(xué)影(1979-)，女，黑龍江大慶人，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要從事光電檢測(cè)技術(shù)、三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)技術(shù)方向的研究。

1671-4598(2016)06-0030-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.06.009

TH721

A