江蘇省張家港市合興小學(xué)　李春娟

生態(tài)元素：為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)智慧的錦囊

江蘇省張家港市合興小學(xué)李春娟

數(shù)學(xué)是一種文化。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是用“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)造”并舉實(shí)現(xiàn)文化傳承的，具有生態(tài)表現(xiàn)力。切入生態(tài)元素，鏈接起以背景、標(biāo)記、成果、線(xiàn)索、主題、價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)資源庫(kù)，建構(gòu)起以集合、交合、磨合、復(fù)合、融合、契合的學(xué)習(xí)方式能源系，為預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果提供一個(gè)智慧的錦囊，促進(jìn)學(xué)習(xí)過(guò)程中個(gè)性化的數(shù)學(xué)思考和共性化的經(jīng)驗(yàn)在場(chǎng)的和諧，擺脫對(duì)抗、糾結(jié)、消解，走向平和、認(rèn)同、共識(shí)的達(dá)成度。

生態(tài)元素；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；預(yù)期；學(xué)習(xí)結(jié)果；智慧

數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)是預(yù)期的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是用“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)造”并舉實(shí)現(xiàn)文化傳承的，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生態(tài)表現(xiàn)力非常突出。生態(tài)元素，幫助學(xué)生基于一次次預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果形成數(shù)學(xué)思考的立場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)提升智慧的視角。在實(shí)際的研究中，如何切入生態(tài)元素，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，打開(kāi)智慧的錦囊呢？下面我結(jié)合自己的教學(xué)研究實(shí)例，談?wù)勛约旱囊恍┳龇ê退伎肌?/p>

一、選擇背景，前提與結(jié)果集合生態(tài)元素

計(jì)算、證明、推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三大重要能力。推理導(dǎo)向前提與結(jié)果的關(guān)系是學(xué)生思維能力的重要和關(guān)鍵環(huán)節(jié)。一年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)傾向于生活認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)逐步發(fā)展成數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在生活化和數(shù)學(xué)化之間，選擇背景，表達(dá)出前提與結(jié)果，集合生態(tài)元素是主要任務(wù)。例如，認(rèn)識(shí)幾和第幾是一年級(jí)上冊(cè)認(rèn)數(shù)安排的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)于是幾的認(rèn)識(shí)、表示事物的多少、基數(shù)的含義，學(xué)生平時(shí)接觸很多；但是對(duì)于第幾、表示事物的位置、序數(shù)的含義，還是需要建立觀察和判斷的秩序，如從上往下，還是從下往上，還有左右、前后的角度，所以這一部分內(nèi)容是需要學(xué)生自己既可以符合生活習(xí)慣做出一個(gè)判斷，也可以根據(jù)實(shí)際情況自主去選擇順序觀察做出多樣化的結(jié)果。教材上小猴撈月的故事中，如下右圖所示，戴帽子的小猴就是一個(gè)特例，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的背景的陳述意義是很重要的。在課堂上，多數(shù)學(xué)生填寫(xiě)的結(jié)果是第4只，少數(shù)學(xué)生填寫(xiě)的是第2只。為什么結(jié)果不一樣？我把這個(gè)問(wèn)題給學(xué)生了，學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)自己的觀察角度和別人的想法不一樣，體會(huì)到結(jié)果表示的意義不一樣。在這里，我指出了選擇觀察的順序再確定排列的位置需要認(rèn)真想一想，明確順序了才能確定排列的位置。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)意義，定量刻畫(huà)和定性描述的結(jié)合，這里真是很好地體現(xiàn)了。數(shù)學(xué)表達(dá)的根據(jù)，條理性，前提和結(jié)果的關(guān)系，有怎樣的前提，也就是問(wèn)題的背景來(lái)決定著思考的結(jié)果，這里不能矛盾。很好地把數(shù)學(xué)的說(shuō)理、分析、判斷、推理推向一個(gè)深刻的層次。低年級(jí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境具有童話(huà)故事色彩，同時(shí)也具有挑戰(zhàn)性的激勵(lì)。數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)單的，數(shù)學(xué)又是不簡(jiǎn)單的。讓學(xué)生的思維從已有的經(jīng)驗(yàn)中組織起數(shù)學(xué)知識(shí)，可比性，數(shù)學(xué)化，呈現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，也凸顯思維發(fā)展經(jīng)歷的過(guò)程，看數(shù)學(xué)、懂?dāng)?shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、玩數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在課堂上成為一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)者，創(chuàng)造者。

二、賦予標(biāo)記，形式與內(nèi)容交合生態(tài)元素

數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，它以自己特有的表征、符號(hào)化來(lái)不斷地豐富自己的內(nèi)涵，同時(shí)又在不斷地?cái)U(kuò)大外延。在直觀和抽象之間，賦予標(biāo)記，表達(dá)出形式與內(nèi)容，交合生態(tài)元素是必經(jīng)環(huán)節(jié)。例如，0的認(rèn)識(shí)教學(xué)安排在認(rèn)識(shí)1到5后，教材通過(guò)童話(huà)情境引入0的認(rèn)識(shí)，接著通過(guò)多角度來(lái)認(rèn)識(shí)，0還可以表示起點(diǎn)、表示分界點(diǎn)、表示編碼、表示狀態(tài)。0在生活中豐富的表現(xiàn)性突出了對(duì)于學(xué)生需要組織自己已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。教材呈現(xiàn)的素材并不陌生，學(xué)生都有感性接觸，對(duì)0的認(rèn)識(shí)研究，就是依靠數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)化的建構(gòu)，同時(shí)完成自然數(shù)從無(wú)到有的一個(gè)認(rèn)識(shí)序列的建立。我作了思考和預(yù)設(shè)，對(duì)于0的外形的樣子，學(xué)生在書(shū)寫(xiě)時(shí)感到有困難，這是因?yàn)樗麄兊挠^察空間和把握能力還是需要指導(dǎo)的，因此在書(shū)寫(xiě)時(shí)加強(qiáng)對(duì)比，學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)范例的書(shū)寫(xiě)和自己書(shū)寫(xiě)的不同，修改自己的起筆、運(yùn)筆、收筆的過(guò)程。兒童的注意力、可比性就在于觀察深入，修正自己的觀察角度。為什么用一個(gè)空的符號(hào)表示？我想要是結(jié)合原來(lái)數(shù)的表示，用方框或者空著，后來(lái)人類(lèi)發(fā)現(xiàn)就用圓圈表示，然后完善成現(xiàn)在的書(shū)寫(xiě)樣子。這樣的話(huà)，讓學(xué)生理解起來(lái)，一個(gè)也沒(méi)有可以用0來(lái)表示，再衍生出其他的作用，那么從數(shù)學(xué)知識(shí)的符號(hào)化歷史上滲透數(shù)學(xué)文化教育，也讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)原來(lái)是創(chuàng)造賦予完善變化的過(guò)程。

三、規(guī)范成果，發(fā)展與補(bǔ)充磨合生態(tài)元素

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷地橫向化和縱向化，這就意味著指向知識(shí)的廣度和思維的深度上，過(guò)程與結(jié)果之間，規(guī)范成果，表達(dá)出發(fā)展與補(bǔ)充，磨合生態(tài)元素是指示策略。例如，加法是一年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)于加法運(yùn)算的結(jié)果，是怎樣算的，學(xué)生第一次需要自主去探索和建構(gòu)，在課堂上，學(xué)生出現(xiàn)的狀況是；為什么3+2等于5？有一個(gè)學(xué)生的思考是3往后再數(shù)2個(gè)就得到5了，我肯定了她的想法，同時(shí)讓學(xué)生在圖中觀察，原來(lái)用數(shù)一數(shù)計(jì)數(shù)的方法是可以得到結(jié)果5的，說(shuō)的很好。誰(shuí)還有補(bǔ)充或新的想法？這時(shí)課堂上舉的小手多了，一個(gè)學(xué)生說(shuō)3和2合成5，用分與合的知識(shí)就知道了。我及時(shí)肯定了他的想法，也是多數(shù)小朋友的想法，原來(lái)我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)是有聯(lián)系的，前面分與合的知識(shí)就是幫助我們更好地學(xué)習(xí)加法，計(jì)算結(jié)果的。熟記分與合，就會(huì)使學(xué)習(xí)變得簡(jiǎn)單和容易了。第一個(gè)學(xué)生的發(fā)言的確有道理，進(jìn)入到20以?xún)?nèi)的加法的計(jì)算，湊十法，就是建立在數(shù)的基礎(chǔ)上，方便容易觀察出結(jié)果，所以要湊十，這和數(shù)一數(shù)的計(jì)數(shù)，在原來(lái)的基礎(chǔ)上往后推出幾得到幾，一點(diǎn)也不矛盾，用序數(shù)的意義來(lái)建構(gòu)這種算法也是正確的。用分與合的知識(shí)，利用基數(shù)的含義來(lái)建構(gòu)也是正確的。這里是統(tǒng)一的，也是殊途同歸，第一次算法的多樣化，也讓我看到兒童的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可以直觀數(shù)一數(shù)，推算結(jié)果，推向思維一個(gè)同化動(dòng)態(tài)過(guò)程，可以抽象合一合，解釋結(jié)果，推向思維一個(gè)順應(yīng)平衡的過(guò)程。兩者都是把數(shù)的抽象意義、表示的基數(shù)和序數(shù)的含義充分發(fā)揮出了重要的意義。建構(gòu)意義，思維的生長(zhǎng)，印證一次數(shù)學(xué)思考的發(fā)展與突破提升的創(chuàng)造力。

四、切換線(xiàn)索，順應(yīng)與推進(jìn)復(fù)合生態(tài)元素

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)邏輯意義—潛在意義—心理意義的過(guò)程。潛在意義更多的是讓知識(shí)的交接點(diǎn)能夠在邏輯性聯(lián)動(dòng)和可能性發(fā)展之間，切換線(xiàn)索，表達(dá)出順應(yīng)與推進(jìn)，復(fù)合生態(tài)元素是核心動(dòng)力。例如，20以?xún)?nèi)的進(jìn)位加法9加幾是第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，作為計(jì)算教學(xué)，算法的探索應(yīng)該是學(xué)生必須經(jīng)歷的過(guò)程，在出示問(wèn)題后，組織學(xué)生展開(kāi)討論交流是怎樣算出一共有13個(gè)。課堂上的意見(jiàn)有看著圖數(shù)過(guò)去，9到10，就是11、12、13，用數(shù)一數(shù)，序數(shù)表示的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)基數(shù)個(gè)數(shù)，就得到13了；還有的就把其中的1個(gè)青蘋(píng)果搬到盒子里，變成了一盒，是10個(gè)，外面是3個(gè)了，就得到13個(gè)了。學(xué)生基于自己的理解，都在變魔術(shù)。哦，都在變魔術(shù)，都先變到了幾10。就變到13了。很了不起的勁兒，還能想個(gè)好辦法變魔術(shù)呢！只要拿出1個(gè)青蘋(píng)果到盒子里，就變成10，就得到是十幾了。你會(huì)變一變嗎？試一試。學(xué)生都能按照要求變出10，得到是十幾了。挑戰(zhàn)成功。那為什么一定要先變出10呢？因?yàn)槭?加4，9加7，先找到10，就容易得到十幾了。把這樣創(chuàng)造的方法叫作湊十法。湊十是個(gè)好辦法，一眼就能得到十幾？簡(jiǎn)單方便準(zhǔn)確。那你是怎么湊十的呢？要先把9加的數(shù)，分出1和幾。為什么要先分出1呢？因?yàn)?和1合成10?？磥?lái)9加幾，只要先把幾分一分，分成1和幾。先和9湊成十，十和分出的幾合成十幾就行了。要變出一個(gè)10，怎么變的？從算理到方法，建構(gòu)過(guò)程中選擇、判斷、分析、綜合處理。涉及分與合的知識(shí)，數(shù)的組成意義知識(shí)的提取，思維敞亮在課堂里，魔術(shù)的神奇的力量，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造力量。

五、跟進(jìn)主題，平衡與調(diào)整融合生態(tài)元素

數(shù)學(xué)思維最基本的兩大方面是精確的定量化方法和嚴(yán)密的邏輯推理。數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，可見(jiàn)直覺(jué)洞察和驗(yàn)證把握之間，跟進(jìn)主題，表達(dá)出平衡與調(diào)整，融合生態(tài)元素是行動(dòng)措施。例如，認(rèn)識(shí)100以?xún)?nèi)的數(shù)時(shí)安排的思考題，課堂上通過(guò)多媒體演示，兩個(gè)筆筒里16支的筆，分成8支和8支，就同樣多了，而27支演示到最后還沒(méi)結(jié)束，學(xué)生就大聲說(shuō)，多1支，把最后的1支放在一個(gè)筆筒后，另一個(gè)筆筒就少，馬上說(shuō)27是單數(shù)，不能使分得同樣多。還有一個(gè)小朋友說(shuō)要是3個(gè)筆筒，每個(gè)筆筒里就9支，就能同樣多了。不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維狀態(tài)發(fā)展到的程度，光是發(fā)現(xiàn)單數(shù)不能分成同樣多的兩份還不夠，還發(fā)現(xiàn)可以再調(diào)整，可以分成3份，每份同樣多，要使分得的同樣多改變分的份數(shù)，可見(jiàn)思維又處于另一個(gè)狀態(tài)的連接，可行的辦法讓學(xué)生從小就有一個(gè)思考問(wèn)題的多面處理手段的發(fā)現(xiàn)。在這里，我想表達(dá)兒童學(xué)習(xí)的思維經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)他們用于一個(gè)問(wèn)題的解決時(shí)，是會(huì)自己調(diào)整，他們的想法是豐富的，只是那些豐富在現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)之間需要嫁接起一種認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)包括觀察、體驗(yàn)、活動(dòng)、聯(lián)想、打破、立新。就上面的單數(shù)不能等分成兩份，雙數(shù)能等分兩份，后來(lái)我又帶學(xué)生驗(yàn)證去觀察體驗(yàn)一下。找一找身邊的數(shù)，伸出小手，打開(kāi)手臂，一共有幾根手指？10根，每只手是5根，10是雙數(shù)，分成2份，它能分成同樣多，看來(lái)能說(shuō)明雙數(shù)能分成同樣多的兩份。耳朵、眼睛呢？也能，學(xué)生點(diǎn)頭，這樣還保證我們對(duì)稱(chēng)漂亮，我補(bǔ)充提示，那嘴呢，鼻子呢？大家都笑了，不能。我們是在自己身上就能找數(shù)學(xué)知識(shí)，帶著愉快和輕松，下課了，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)真不失為審美的創(chuàng)造！

六、回歸價(jià)值，實(shí)踐與應(yīng)用契合生態(tài)元素

數(shù)學(xué)教育始終堅(jiān)持生活之眼、生長(zhǎng)之理、生命之氣，讓學(xué)生親歷感受、涵泳體悟，窺見(jiàn)本真情趣、理性崇高壯美。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，只要兒童沒(méi)對(duì)自己的活動(dòng)進(jìn)行反思，他就達(dá)不到高一級(jí)的層次。讓數(shù)學(xué)回歸生活吧！課內(nèi)和課外之間，回歸價(jià)值，表達(dá)出實(shí)踐與應(yīng)用，契合生態(tài)元素是智慧訴求。如：我們認(rèn)識(shí)的數(shù)是教材安排綜合與實(shí)踐活動(dòng)，課堂內(nèi)，抓一把豆子數(shù)一數(shù)，估一估，數(shù)一數(shù)時(shí)，我主要提出了發(fā)現(xiàn)什么，學(xué)生知道抓一把，物體的個(gè)兒有大小，所以個(gè)兒大的數(shù)量少，個(gè)兒小的數(shù)量多，特別是數(shù)綠豆的孩子，一把綠豆很多，數(shù)也來(lái)不及數(shù)，數(shù)的時(shí)候也要小心，要不要數(shù)錯(cuò)的。正是通過(guò)辨析個(gè)兒的大小，就可以推想數(shù)量的多少。這里的數(shù)學(xué)可以表達(dá)為對(duì)一種常識(shí)的梳理，也是把觀察和認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)用數(shù)學(xué)的形式化來(lái)表達(dá)，看成一個(gè)關(guān)系的建立，即同樣抓一把，物體的形狀的大小決定它的多少，也是數(shù)和形的關(guān)系，是制約關(guān)系。課堂外，教材提出最后“你還能數(shù)出校園里哪些物體的個(gè)數(shù)？”如下圖所示，適合學(xué)生的實(shí)踐能力的培育，在課堂上我?guī)W(xué)生出去了，并提出了要求，完成的任務(wù)，是需要自己記下五種物體的名稱(chēng)，不會(huì)寫(xiě)的字用拼音代替，然后記下數(shù)出的個(gè)數(shù)。排著長(zhǎng)長(zhǎng)的隊(duì)伍，出發(fā)經(jīng)過(guò)圖書(shū)館大樓、教學(xué)樓、辦公樓、回到乒乓臺(tái)前，一路數(shù)，有花壇、燈籠、樹(shù)、亭子、乒乓桌、燈桿，就是小黃楊數(shù)不清，桂花樹(shù)還可以數(shù)清，一路上看、數(shù)、記，走走停停，回到教室里后，開(kāi)心交流，有的是一樣，有的不一樣。經(jīng)過(guò)這樣的發(fā)現(xiàn)，寫(xiě)生，自己去經(jīng)歷了活動(dòng)，開(kāi)放的數(shù)學(xué)，去生活看一看，走一走。在實(shí)踐的過(guò)程中，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)研究的是存在與對(duì)應(yīng)，聯(lián)系與區(qū)別，整體與部分，對(duì)立與轉(zhuǎn)化，事理與數(shù)理，會(huì)想與會(huì)用，寫(xiě)照靈動(dòng)和清遠(yuǎn)的智慧。

綜上所述，生態(tài)元素主要關(guān)注預(yù)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果基于數(shù)學(xué)思考的立場(chǎng)上進(jìn)而提升智慧的視角。鏈接起以背景、標(biāo)記、成果、線(xiàn)索、主題、價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)資源庫(kù)，建構(gòu)起以集合、交合、磨合、復(fù)合、融合、契合的學(xué)習(xí)方式能源系，為預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果提供一個(gè)智慧的錦囊，促進(jìn)學(xué)習(xí)過(guò)程中個(gè)性化的數(shù)學(xué)思考和共性化的經(jīng)驗(yàn)在場(chǎng)的和諧，擺脫對(duì)抗、糾結(jié)、消解走向平和、認(rèn)同、共識(shí)的達(dá)成度。

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