黃靜， 劉剛， 劉付成， 李傳江

1.上海航天控制技術(shù)研究所， 上海 201109 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室， 上海 201109 3.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院， 哈爾濱 150001

應用旋轉(zhuǎn)矩陣的衛(wèi)星姿態(tài)輸出反饋機動控制

黃靜1,2,*， 劉剛1,2， 劉付成1,2， 李傳江3

1.上海航天控制技術(shù)研究所， 上海 201109 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室， 上海 201109 3.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院， 哈爾濱 150001

針對衛(wèi)星姿態(tài)機動控制問題，提出一種只利用向量測量信息的無角速度反饋的輸出反饋控制方法。衛(wèi)星姿態(tài)的指向直接通過旋轉(zhuǎn)矩陣進行描述，而不是先進行參數(shù)化過程，避免了由歐拉角、修正的羅德里格參數(shù)(MRPs)與四元數(shù)等姿態(tài)描述方式產(chǎn)生的奇異問題與退繞問題。首先，通過向量測量信息與一組期望姿態(tài)向量，引入一個新的姿態(tài)指向誤差向量，并對其性質(zhì)進行分析。其次，進一步結(jié)合主導濾波器的思想，設計了無需角速度信息的衛(wèi)星姿態(tài)機動控制器，并應用Lyapunov理論，對閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性進行了嚴格的證明。最后，對所提出的控制算法進行了數(shù)值仿真，其結(jié)果驗證了所設計的輸出反饋控制算法的可行性和有效性。

剛體衛(wèi)星； 姿態(tài)機動； 旋轉(zhuǎn)矩陣； 輸出反饋； 向量測量

從20世紀末到現(xiàn)在，國內(nèi)外的研究學者對剛體衛(wèi)星姿態(tài)控制已經(jīng)開展了廣泛的研究，從任務需求出發(fā)，研究衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定、機動與跟蹤這3類控制問題，采用線性、非線性、自適應和魯棒控制等控制方法完成高精度的指向控制及跟蹤時變軌跡的姿態(tài)跟蹤控制[1-6]。

在早期的研究中，由于考慮的是衛(wèi)星姿態(tài)的穩(wěn)定控制問題，姿態(tài)角度變化較小不會出現(xiàn)奇異問題，因此大部分都是基于直觀的歐拉角的衛(wèi)星姿態(tài)描述方式進行運動學建模和控制器的設計。接下來，人們開始研究衛(wèi)星的大角度機動問題，為了解決姿態(tài)角度變化大可能出現(xiàn)的奇異問題，采用基于四元數(shù)或修正的羅德里格參數(shù)(MRPs)描述進行姿態(tài)控制器的設計[1-5]。但是，基于四元數(shù)或MRPs描述進行姿態(tài)控制時，在運動過程中會不可避免地出現(xiàn)退繞問題[6]，即初始姿態(tài)與期望姿態(tài)距離很近，但卻沿著另一條不必要的路徑大角度運動到期望姿態(tài)。

為了解決這個問題，近些年來，有些研究學者通過設計四元數(shù)偏差函數(shù)使得控制器具有抗退繞的能力[7]。進一步，為了簡化控制器的設計，研究人員[8-11]開始研究直接使用星敏感器、太陽敏感器或磁強計等慣性測量元件得到的向量信息和陀螺儀等慣性器件得到的角速度信息，來直接進行反饋以對控制器進行設計，從而無需先根據(jù)測量信息進行四元數(shù)或MRPs參數(shù)化，再進行控制器的設計。通過向量信息直接得到剛體衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)矩陣，即秩為1的方向余弦矩陣，可以形成一個特殊的3×3的正交空間，記為SO(3)。文獻[8]針對多輸入拉格朗日系統(tǒng)的跟蹤控制問題，應用幾何流形理論，將系統(tǒng)誤差映射到空間SO(3)，設計了PD形式的反饋與前饋控制器。Chaturvedi等[9]針對剛體的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題，應用旋轉(zhuǎn)矩陣設計了連續(xù)時不變控制律，防止了其他姿態(tài)描述形式產(chǎn)生的復雜性與奇異性問題。文獻[10]利用旋轉(zhuǎn)矩陣設計了無需慣量信息的航天器姿態(tài)跟蹤控制律，并證明了閉環(huán)系統(tǒng)是幾乎全局穩(wěn)定的。文獻[11]應用特殊正交矩陣研究了剛體衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定與跟蹤控制問題，并基于無源理論證明了所設計控制器的穩(wěn)定性。Zheng和Song[12]研究了利用向量測量信息的多航天器姿態(tài)跟蹤控制問題。

以上基于旋轉(zhuǎn)矩陣進行衛(wèi)星姿態(tài)的控制算法的研究都是需要衛(wèi)星姿態(tài)角速度信息的，而在實際運行過程中，不可避免地會出現(xiàn)陀螺等慣性器件故障或測量信息不可知的情況。在過去的研究中，也有一些學者對無角速度測量信息的姿態(tài)控制進行過研究[13-15]。Lizarralde和Wen[13]應用四元數(shù)非線性濾波器代替角速度反饋信息的方法，針對機器人姿態(tài)控制問題設計了無需角速度信息的輸出反饋控制器，并證明了系統(tǒng)的固有無源性。高岱等[14]研究了角速度不可測量時航天器的有限時間姿態(tài)控制問題，基于有限時間控制技術(shù)，分別針對單星系統(tǒng)與多星系統(tǒng)提出了由MRPs進行姿態(tài)描述的航天器輸出反饋姿態(tài)控制算法。Zou等[15]針對含不確定性的航天器姿態(tài)系統(tǒng)，基于改進的Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡理論設計了兩種魯棒自適應輸出反饋控制器，采用非線性降階觀測器估計姿態(tài)四元數(shù)的導數(shù)，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的一致有界穩(wěn)定性。Benziane[16]基于融合慣性向量測量值，采用線性互補濾波器理論設計了姿態(tài)估計器，并將其應用于四旋翼飛行器的跟蹤控制中。

但是對于直接采用向量測量信息而不經(jīng)過姿態(tài)參數(shù)化的輸出反饋控制的研究很少。而這類研究對于簡化控制器設計、減少參數(shù)化過程可能出現(xiàn)的問題以及解決奇異與退繞現(xiàn)象是非常有益的。同時，無需角速度信息又在很大程度上增加了控制律的容錯性與使用范圍。因此，本文主要考慮只有向量測量信息的無角速度反饋的衛(wèi)星姿態(tài)輸出反饋機動控制問題。首先，應用一個特殊的向量代表姿態(tài)誤差，并對其性質(zhì)進行分析。進一步利用主導濾波器估計姿態(tài)角速度信息，將其引入到輸出反饋控制器的設計中，最后通過穩(wěn)定性證明和仿真結(jié)果可以看出此方法保證了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，可以推廣至其他姿態(tài)系統(tǒng)的控制器設計中，具有潛在的應用前景。

1 系統(tǒng)數(shù)學模型

1.1 剛體衛(wèi)星動力學模型

考慮剛體衛(wèi)星，衛(wèi)星姿態(tài)動力學方程為[17]

(1)

(2)

在本文中，衛(wèi)星姿態(tài)是利用特殊正交群SO(3)中的旋轉(zhuǎn)矩陣進行描述的，即

(3)

式中：Cbi∈SO(3)為本體坐標系相對于慣性坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣，與軸/角參數(shù){(a,φ)∈R3×R|aTa=1}的關系為

Cbi=Icosφ+(1-cosφ)aaT-a×sinφ

(4)

這樣，利用Cbi，剛體衛(wèi)星的姿態(tài)可以表示為

(5)

此方程也被稱為泊松方程 (Poission’s equation)。

1.2 測量模型與姿態(tài)誤差

在本文中，衛(wèi)星上安裝的姿態(tài)敏感器為星敏感器、磁強計或太陽敏感器等慣性敏感器的組合，能提供本體坐標系中至少兩個非共線的姿態(tài)向量測量值。假設通過慣性敏感器得到的測量值是精確的且沒有噪聲的干擾。同時假設星上沒有安裝陀螺等角速度測量元件或角速度敏感器失效，即無法得到角速度信息。衛(wèi)星在本體系中的姿態(tài)信息可以通過N個姿態(tài)測量向量計算得到

(6)

(7)

記第j個期望姿態(tài)信息與真實姿態(tài)信息的誤差向量為

(8)

(9)

于是有

(10)

所有姿態(tài)誤差的總和表示為

(11)

(12)

在2.3節(jié)的穩(wěn)定性證明中將會用到這個性質(zhì)。

1.3 研究目標

2 輸出反饋控制器設計

2.1 指向誤差及其性質(zhì)

為了方便控制器的設計，首先引入一個新的狀態(tài)誤差r∈R3，定義為

(13)

性質(zhì)1在敏感器能提供本體坐標系中至少兩個非共線的姿態(tài)向量測量值，即N≥2的條件下，當r=0時，可以推得E=I或tr(E)=-1。

證明：首先，通過(v×w)×=-vwT+wvT，化簡r×可以得到

(14)

通過推導可以看出，當r=0時，r×=0，即ME=ETMT。由E的定義可知，E為一個實矩陣，那么它的特征值λk和特征向量ek滿足：

(15)

(16)

eig(E)=(1,cosθ+isinθ,cosθ-isinθ)

(17)

式中：θ為用軸/角參數(shù)表示的旋轉(zhuǎn)角。由于E的所有特征值都為實數(shù)，那么θ=0°,±180°。此時E=I或tr(E)=-1，于是得到結(jié)論：當r=0時，可以推得E=I或tr(E)=-1。

(18)

那么，

MEω=tr(ME)ω

(19)

在式(19)的兩端均左乘ωTET，由于M=MT， 經(jīng)過計算得到

tr(ME)ωTEω=tr(ME)ωTETω

(20)

此時，滿足式(20)的有以下3種情況：①E=ET；② tr(ME)=0；③ω=0。首先分析第1種情況，當E=ET時，由性質(zhì)1可知有E=I或tr(E)=-1。進一步分析當E=I時，有

(M-tr(M)I)ω=0

(21)

假設ω≠0，那么M=tr(M)I，由于tr(M)=λM1+λM2+λM3，λMi(i=1,2,3)為M的3個特征值，由M定義可知，當N≥3時，M的3個特征值均為正；當N=2時，M的特征值有一個為零，其他兩個均為正值。此時M=tr(M)I是不成立的，因此第1種情況只能得到ω=0或tr(E)=-1的結(jié)論。

考慮第2種情況，當tr(ME)=0時，由式(19)可得

MEω=0

(22)

當N≥3時，M為正定的，那么此時可推得ω=0；當N=2時，由M和E的定義可將式(22)變化為

(23)

(24)

(25)

那么此時有

(26)

于是得到

(27)

應用等式

(28)

E=Icosθ+(1-cosθ)bbT-b×sinθ

(29)

(30)

將式(30)代入式(27)并化簡可以得到

(31)

進一步由式(10)可得

(32)

則將式(28)～式(30)代入式(32)并化簡可以得到

(k1+k2)cosθ=0

(33)

由于k1+k2>0，那么cosθ=0，將其代入式(31)可得

(34)

2.2 控制律設計

在全狀態(tài)反饋控制器中，衛(wèi)星的姿態(tài)和角速度信息全部都會被用到，而在輸出反饋控制中，僅有姿態(tài)信息的反饋?？刂破髦兴璧慕撬俣刃畔⑿枰ㄟ^其他途徑進行模擬，主導濾波器便常用于對輸入信號的微分進行估計。

首先，本文給出主導濾波器(LF)[19]的概念。主導濾波器本質(zhì)上是一種非線性濾波器，如圖1所示，對于任意狀態(tài)量x∈R，其濾波方程為

(35)

由濾波方程式(35)可進一步得到主導濾波器的傳遞函數(shù)為

(36)

圖1 主導濾波器示意圖Fig.1 Sketch diagram of lead filter

本文以其旋轉(zhuǎn)誤差向量作為唯一反饋信息，并將其作為主導濾波器的輸入，則相應的濾波方程為

(37)

(38)

由式(18)可知

(39)

在以上準備工作的基礎上，本文給出了一個不需要角速度反饋的輸出反饋衛(wèi)星姿態(tài)控制器：

(40)

(41)

式中：kr為待設計的正常數(shù)。

2.3 穩(wěn)定性證明

下面進行控制器式(40)的穩(wěn)定性證明。

(42)

證明：考慮正定Lyapunov函數(shù)：

(43)

對式(39)求導，并將式(1)、式(39)和式(40)代入計算可得

ωT(-ω×Jω+u)+krωTr+

-2kρTρ≤0

(44)

注1從控制器式(40)中可以看出，控制器中不含有與衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量有關的量，即衛(wèi)星在運動中轉(zhuǎn)動慣量的變化對控制效果沒有影響，提高了控制器的控制性能。

注2由于控制器式(40)是直接使用向量測量信息得到的，不存在四元數(shù)等描述方式會出現(xiàn)的退繞現(xiàn)象。

3 數(shù)學仿真分析

本節(jié)在MATLAB/Simulink環(huán)境下進行數(shù)值仿真實驗，驗證第2節(jié)提出的控制算法的有效性。

1) 仿真條件

假設衛(wèi)星運行在太陽同步軌道，軌道高度為600 km，軌道傾角為δ=98°，則軌道坐標系相對于慣性坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣Coi=C1(δ)，衛(wèi)星繞滾動軸旋轉(zhuǎn)98°。進一步假設N=3，衛(wèi)星上裝有3個慣性測量敏感器，能提供3個非共線的姿態(tài)向量，3個敏感器在慣性系下的觀測單位向量分別為

且各敏感器的相對重要程度相同，即

k1=k2=k3=1

衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量矩陣為

期望旋轉(zhuǎn)矩陣為Cri=C2(45°)Coi，C2(45°)表示衛(wèi)星沿俯仰軸旋轉(zhuǎn)45°。

2) 初始條件

根據(jù)約束條件，控制參數(shù)選取為

kr=0.05,k=2

濾波器初始值選取為

在實際情況中，衛(wèi)星在近地軌道受到的干擾力矩主要為重力梯度力矩和剩磁力矩，數(shù)量級大小約為10-5N·m，在本文中，假設干擾力矩為

為了進行對比說明輸出反饋控制器的有效性，本文在參考文獻[11]的基礎上設計了基于旋轉(zhuǎn)矩陣的全狀態(tài)反饋衛(wèi)星姿態(tài)機動控制器

us=-krr-kωω

(45)

經(jīng)過穩(wěn)定性證明，可以得出應用此PD控制器，剛體衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的，在此不再詳述。在仿真中，選取kr與輸出反饋控制器相同，kω選取為1.2。

仿真結(jié)果如圖2和圖3所示，仿真時間為500 s。圖2為采用本文提出的無角速度信息的輸出反饋控制器的衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的仿真結(jié)果，其中圖2(a)為標志衛(wèi)星姿態(tài)機動誤差的旋轉(zhuǎn)角θ變化曲線，當θ=0°時，姿態(tài)誤差為零；圖2(b)為衛(wèi)星姿態(tài)角速度ω隨時間的變化曲線，可以看出，衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)能夠以較高的精度快速收斂到期望狀態(tài)；圖2(c)為衛(wèi)星姿態(tài)三軸控制力矩u輸出變化曲線，最大單軸輸出力矩約為0.05 N·m，現(xiàn)有的飛輪等執(zhí)行機構(gòu)完全可以滿足要求。

圖2 輸出反饋控制器下的衛(wèi)星姿態(tài)仿真結(jié)果 Fig.2 Simulation results of satellite attitude with output feedback control law

圖3 全狀態(tài)反饋控制器下的衛(wèi)星姿態(tài)仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of satellite attitude with full-state feedback control law

圖3為全狀態(tài)反饋控制器的衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的仿真結(jié)果。其中圖3(a)和圖3(b)分別為標志衛(wèi)星姿態(tài)機動誤差的旋轉(zhuǎn)角θ變化曲線和姿態(tài)角速度ω隨時間變化曲線；圖3(c)為衛(wèi)星姿態(tài)三軸控制力矩u輸出變化曲線。通過兩組仿真結(jié)果對比可以看出，衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)均能達到要求，且收斂時間與精度基本相同。但是在輸出反饋控制器的仿真中，由于角速度信息需要通過濾波器近似，初始時需要一定時間收斂，因此初始時刻所需要的控制力矩要大于全狀態(tài)反饋控制器，但是單軸最大輸出力矩的數(shù)量級相同。仿真結(jié)果表明，即便加入外部干擾，采用本文提出的控制算法，衛(wèi)星姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)仍能穩(wěn)定收斂，且與全狀態(tài)反饋控制器的控制效果基本相同，充分驗證了本文所提出的基于旋轉(zhuǎn)矩陣的輸出反饋控制器有效性。

4 結(jié) 論

本文直接利用衛(wèi)星慣性傳感器獲得的向量測量信息，設計了一種無需角速度信息反饋的姿態(tài)控制律。

1) 提出的控制算法只需要兩個非共線向量的測量值就能達到全局穩(wěn)定的目標，且控制器結(jié)構(gòu)簡單，也不會受到運行過程中衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量變化的影響，同時也不存在其他姿態(tài)描述方式帶來的奇異問題與退繞問題，非常適合于實際衛(wèi)星任務的應用，尤其是在傳統(tǒng)陀螺等角速度傳感器失效的情況。

2) 在今后的研究中，將在此基礎上，考慮傳感器噪聲等對系統(tǒng)的影響，并針對姿態(tài)跟蹤問題進行研究，以滿足更多的任務需求。

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Outputfeedbackattitudemaneuvercontrolofsatelliteusingrotationmatrix

HUANGJing1,2,*,LIUGang1,2,LIUFucheng1,2,LIChuanjiang3

1.ShanghaiInstituteofSpaceflightControlTechnology,Shanghai201109,China2.ShanghaiKeyLaboratoryofAerospaceIntelligentControlTechnology,Shanghai201109,China3.SchoolofAstronautics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China

Anoutput-feedbackattitudemaneuvercontrolstrategyintheabsenceofangularvelocityfeedbackisproposedforrigidsatellitesystembysolelyanddirectlyusingunit-lengthvectormeasurements.Theorientationofarigidbodyisdescribedbyarotationmatrixdirectly,ratherthanbyaparameterization,avoidingtheundesirablesingularproblemandunwindingphenomenoncausedbyEulerangle,quaternionorthemodifiedRodriguesparameters(MRPs)representationsoftheattitude.Aneworientationerroroftherigidbodyiscomputedbythevectormeasurementsandasetofdesiredvectormeasurements.Byusingtheleadfilter,thevelocity-freeattitudemaneuvercontrollawthatensuresset-pointregulationisdeveloped.WithintheLyapunovframework,theglobalstabilityoftheclose-loopsystemisguaranteed.Numericalsimulationresultsdemonstratethesuccessfulset-pointregulationoftheproposedoutput-feedbackcontrolstrategy.

rigidsatellite;attitudemaneuver;rotationmatrix;outputfeedback;vectormeasurements

2016-01-11；Revised2016-03-28；Accepted2016-04-06；Publishedonline2016-04-181458

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160418.1458.002.html

NationalNaturalScienceFoundationofChina(61304005)

2016-01-11；退修日期2016-03-28；錄用日期2016-04-06； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡出版時間

時間：2016-04-181458

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160418.1458.002.html

國家自然科學基金 (61304005)

*

.Tel.：021-24183416E-mailhuangjing04415@163.com

黃靜， 劉剛， 劉付成， 等． 應用旋轉(zhuǎn)矩陣的衛(wèi)星姿態(tài)輸出反饋機動控制J． 航空學報,2016,37(12):3774-3782.HUANGJ,LIUG,LIUFC,etal.OutputfeedbackattitudemaneuvercontrolofsatelliteusingrotationmatrixJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(12):3774-3782.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0114

V442.8

A

1000-6893(2016)12-3774-09

黃靜女， 博士， 工程師。主要研究方向： 航天器姿態(tài)與軌道控制， 魯棒控制， 最優(yōu)控制。Tel.: 021-24183416E-mail: huangjing04415@163.com

劉剛男， 博士， 工程師。主要研究方向： 航天器姿態(tài)與軌道控制， 魯棒控制， 非線性控制。Tel.: 021-24183245E-mail: unicorn1114@163.com

劉付成男， 博士， 研究員。主要研究方向： 航天器導航與控制。Tel.: 021-24183001E-mail: liufch@126.com

李傳江男， 博士， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 航天器姿態(tài)與軌道控制， 最優(yōu)控制。Tel.: 0451- 86413411-8606E-mail: chuanjiangli@gmail.com

*Correspondingauthor.Tel.：021-24183416E-mailhuangjing04415@163.com