李 闖，趙盛杰，董 曄，李鵬宇，穆孟婧

（1.華能瀾滄江水電股份有限公司漫灣電廠，云南臨滄675805；2.華北電力大學(xué)，北京102206）

Fellenius 法的解析解法

李 闖1，趙盛杰1，董 曄2，李鵬宇2，穆孟婧2

（1.華能瀾滄江水電股份有限公司漫灣電廠，云南臨滄675805；2.華北電力大學(xué)，北京102206）

Fellenius法是一種經(jīng)典的邊坡穩(wěn)定性分析方法。由于此法更加安全，故而在工程施工中被廣泛應(yīng)用。現(xiàn)行方法多為數(shù)值計(jì)算方法，通過大量分條和滑弧的遍歷來確定最小安全系數(shù)Ks和最危險(xiǎn)滑弧的位置（圓心橫坐標(biāo)x0，圓心縱坐標(biāo)y0，半徑R）。但數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算量浩大且精度不及解析計(jì)算方法。通過對Fellenius法的連加形式的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，得到了Fellenius法積分形式的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得到了安全系數(shù)的表達(dá)式K（x0，y0，R）。然后，將求解最小安全系數(shù)Ks的問題轉(zhuǎn)化為K（x0，y0，R）求極值問題，并導(dǎo)出了K（x0，y0，R）取最小值Ks的時(shí)候須滿足的方程gradK=（0，0，0）。最后，基于gradK=（0，0，0）無根式解這一基本事實(shí)，利用麥克勞林展開將K（x0，y0，R）簡化，并利用費(fèi)拉里法對gradK=（0，0，0）進(jìn)行解答，得到了最危險(xiǎn)滑弧的位置（xs，ys，Rs）的表達(dá)式。將（xs，ys，Rs）代入K（x0，y0，R），得到了最小安全系數(shù)Ks=K（xs，ys，Rs）。繼而，只需要得知土坡的相關(guān)參數(shù)，便可得到Ks，無需試算與解方程且具有較高的效率。

邊坡穩(wěn)定性；Fellenius法；解析解；超越方程

Fellenius法（Fellenius于1936年提出）是邊坡穩(wěn)定性分析的經(jīng)典算法。雖然Fellenius法不滿足土條靜力平衡條件，但此法應(yīng)用的時(shí)間很長，積累了豐富的工程經(jīng)驗(yàn)。而且一般得到的安全系數(shù)偏低，偏于安全［1-2］，是工程上常用的方法，而且列入《碾壓式土石壩設(shè)計(jì)規(guī)范》［3］（SL274-2001）。很早人們就意識到確定具有最小安全系數(shù)的邊坡問題是一優(yōu)化問題［4-6］，多年來，發(fā)展出許多計(jì)算安全系數(shù)的方法。文獻(xiàn)中出現(xiàn)質(zhì)量很高的評論綜述［7-11］。

早期的解法有變分法［12-13］、固定模式搜索法［14-15］、數(shù)學(xué)規(guī)劃方法［16-21］，動態(tài)規(guī)劃法［22-24］、隨機(jī)搜索方法（如Monte Carlo法）［25-28］等，近年發(fā)展了一些被公認(rèn)為全局搜索能力強(qiáng)、搜索效率高的智能算法。如將模擬退火［30］、遺傳算法［31］，蟻群算法［33］，粒子群算法［34-35］等方法用于求解邊坡全局最小安全系數(shù)。

以上基于條分的方法，或者因初值選擇不當(dāng)，計(jì)算可能不收斂，或只能獲得局部極小解，需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)做出判斷，或者采用智能算法得到全局最小解，但工作量較大。近年有人針對Fellenius法，試圖獲得解析解表達(dá)式。實(shí)質(zhì)是采用積分算式代替條塊的代數(shù)求和，但仍然采用試算方法和最優(yōu)化方法來確定邊坡的最危險(xiǎn)滑弧和最小安全系數(shù)。張?zhí)鞂殻?6］于1978年推導(dǎo)出均質(zhì)土坡穩(wěn)定系數(shù)是滑弧的圓心坐標(biāo)和半徑的多元函數(shù)，但只給出了數(shù)值解法。黃文東［37］1999年提出在連接滑弧兩個(gè)端點(diǎn)的弦的中垂線上搜索最危險(xiǎn)滑弧的圓心，該方法在一定程度上減少了搜索的工作量，但也有盲目性。對于解析解法，楊庚宇等［38］在1988年、Cao Jinggang等［39］在1999年提出了安全系數(shù)的解析算式，其本質(zhì)便是用數(shù)學(xué)積分代替了簡單的代數(shù)之和，但而后便是通過試算抑或最優(yōu)化方法來計(jì)算最小安全系數(shù)，即二人皆未得到最小安全系數(shù)的解析算式。李同錄等［40］于2004將地面線用分段直線方程表示，將滑動面用一圓弧方程表示，推導(dǎo)出了求解穩(wěn)定系數(shù)的解析式。相較于張?zhí)鞂毜墓ぷ鳎钔浖俣▋牲c(diǎn)固定，將函數(shù)變?yōu)橐辉瘮?shù)，通過對于一元函數(shù)的求導(dǎo)來確定該條件下的最小滑動面。蔣斌松等［41］2004年對于圓弧形滑裂面，采用解析方法，首先建立邊坡安全系數(shù)的解析表達(dá)式，然后利用函數(shù)取極值的條件，通過迭代方法獲得邊坡臨界滑裂面和最小安全系數(shù)。韓曉雷等［42］于2009年建立了邊坡穩(wěn)定性分析的平面直角坐標(biāo)系，得到了該坐標(biāo)系下的邊坡穩(wěn)定分析瑞典圓弧法的積分表達(dá)式。以簡單均質(zhì)黏性土坡為研究對象，結(jié)合MATLAB遺傳算法工具箱，建立了基于瑞典圓弧法的遺傳算法優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)了邊坡穩(wěn)定分析最小安全系數(shù)的自動尋優(yōu)。張向東等［43］于2014年轉(zhuǎn)化傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的連加為積分，對于異形邊坡進(jìn)行了簡化，得到了其廣義數(shù)學(xué)模型。

以上工作雖將條分形式表達(dá)為數(shù)學(xué)積分形式，但都未獲得直接的結(jié)果表達(dá)，仍需通過試算或最優(yōu)化方法來計(jì)算最小安全系數(shù)，即皆未得到最小安全系數(shù)的解析算式。本文根據(jù)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到了安全系數(shù)K的解析算式，其為滑弧的圓心坐標(biāo)（x0，y0）及半徑R的函數(shù)K=K（x0，y0，R）。根據(jù)三元函數(shù)取極值的條件，導(dǎo)出K函數(shù)取極值的時(shí)候應(yīng)滿足的方程組：gradK=（0，0，0），但gradK=（0，0，0）包含根號，在求導(dǎo)過程中出現(xiàn)了高于5次冪的項(xiàng)，根據(jù)文獻(xiàn)［44］的Galois理論，五次以上之方程式?jīng)]有根式解，而四次以下有根式解。即，gradK=（0，0，0）不存在根式解。故而，對K（x0，y0，R）中的根號進(jìn)行麥克勞林二階展開，在截去高階項(xiàng)后得到了函數(shù)K的一個(gè)相對簡單的表達(dá)式。然后，利用費(fèi)拉里法［45］，求解出了gradK=（0，0，0）的解（xs，ys，Rs），將（xs，ys，Rs）代入到K（x0，y0，R）中，進(jìn)而得到最小安全系數(shù)Ks=K（xs，ys，Rs）。

1 安全系數(shù)的解析解

Fellenius法不考慮土條間的作用力，將邊坡問題界定為平面應(yīng)變問題。圖1中，坡高為H；點(diǎn)O是坐標(biāo)系原點(diǎn)，坡腳在其右上方處，水平距離為1.5H，豎直距離為是滑弧的圓心，R為滑弧的半徑；α為坡角；區(qū)域D坡底、坡面和坡頂與滑弧所圍城區(qū)域；黑色條帶部分為土條；i是土條的編號；θi是第i號土條的底面中點(diǎn)的法線與鉛垂線的夾角，若θi位于鉛垂線的左邊則為負(fù)；若θi位于鉛垂線的右邊則為正。

圖1 坡體模型計(jì)算坐標(biāo)系的建立

根據(jù)Fellenius法，土坡的安全系數(shù)計(jì)算如下

式中：K是安全系數(shù)，c、φ、γ分別是土的黏聚力、內(nèi)摩擦角、重度，＾L是滑弧的長度，Ai是第i號土條的面積。式（1）是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，僅僅是一個(gè)比較粗略的數(shù)學(xué)模型，而且計(jì)算較復(fù)雜?；趲缀侮P(guān)系和積分知識對式（1）進(jìn)行積分轉(zhuǎn)化。

圖2 土坡微分示意圖

圖2中，dσ為微分單元（為方便辨識，故意將圖2中的微分單元dσ擴(kuò)大），θ是dσ的底面中點(diǎn)的法線與豎直線的夾角。由此，式（1）的積分形式為

圖2中，滑弧的方程為

聯(lián)系圖2，我們可以得出，θ的正切即滑弧的斜率，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

根據(jù)式（4），得到θ的正弦和余弦，

在此，需要討論θ的取值。根據(jù)式（4），若x＜x0，θ為負(fù)；若x=x0，θ為0；若x＞x0，θ為正。此外，考慮一些極端情況，當(dāng)y0≤2H的時(shí)候（實(shí)際工程中基本不存在），θ可以取到π/2。當(dāng)θ=π/2的時(shí)候，即y= y0，所對應(yīng)的微分單元的面積也是0。這樣一來，對于最終求解安全系數(shù)便沒有影響。

圖3 土坡微分變換示意圖

式（7）中，

式（8）中，f（x）是坡底、坡面、坡頂?shù)暮瘮?shù)

將式（6）和式（7）代入式（2），便可以得到K的表達(dá)式

式（10）中，

式（11）的四個(gè)角θ1、θ2、θ11、θ21的幾何意義如圖4所示，

圖4 θ1、θ2、θ11、θ21的幾何意義

圖4中，坡底與滑弧的交點(diǎn)為T1；從坡腳向下作垂線，與滑弧的交點(diǎn)為T2；從坡面和坡頂?shù)慕稽c(diǎn)向下作垂線，與滑弧的交點(diǎn)為T3；坡頂與滑弧的交點(diǎn)為T4。線段與鉛垂線的夾角為θ1；線段與鉛垂線的夾角為θ11；線段與鉛垂線的夾角為θ21；線段與鉛垂線的夾角為θ2。根據(jù)圖4，θ1＜ θ2、θ11＜θ2、θ21＜θ2，而θ2＜π/2。

至此，建立了安全系數(shù)K與滑弧位置的函數(shù)關(guān)系，K=K（x0，y0，R）。在此需要注意的是，安全系數(shù)K并非圖1、圖2、圖3中x與y的函數(shù)。為便于理解，可設(shè)想一個(gè)四維空間，這個(gè)四維空間的元素為K、x0、y0、R，則K=K（x0，y0，R）是這個(gè)四維空間的三維流型。

2 滑弧的圓心坐標(biāo)和半徑的求解

根據(jù)三元函數(shù)取極值的條件，導(dǎo)出K（x0，y0，R）取極值的時(shí)候應(yīng)滿足的方程

式（12）的解為（xs，ys，Rs），則最小安全系數(shù)便為Ks=K（xs，ys，Rs）。式（12）是一個(gè)極端復(fù)雜的方程式。式（12）中包含了許多根式項(xiàng)和三角函數(shù)，在求導(dǎo)的過程中出現(xiàn)了高于5次冪的項(xiàng)。根據(jù)文獻(xiàn)［44］的Galois理論，五次以上之方程式?jīng)]有根式解，而四次以下有根式解，故而，式（12）不存在根式解。但是，對K函數(shù)表達(dá)式中的根號進(jìn)行麥克勞林二階展開，在截去高階項(xiàng)后便能得到函數(shù)K的一個(gè)相對簡單的表達(dá)式。對于被替換后的函數(shù)K，進(jìn)行求導(dǎo)等相關(guān)操作的時(shí)候，便不會出現(xiàn)5次冪的項(xiàng)或者高于5次冪的項(xiàng)。對于最高次冪為四次冪的參數(shù)的求解，可首先將其整理成一元四次方程的普遍形式，然后利用費(fèi)拉里法［45］進(jìn)行求解。

首先，為了便于推導(dǎo)，命a（x0，y0，R）為K（x0，y0，R）的分子部分，命b（x0，y0，R）為K（x0，y0，R）的分母部分，式（12）可以寫作

因?yàn)?，b2＞0，因此

移項(xiàng)，得

（xs，ys，Rs）便是式（13）的解。求解

可以看出，由于式（14）中存在反三角函數(shù)和根式，使得方程為超越方程，故而，需要對式（14）進(jìn)行泰勒展開，使其轉(zhuǎn)化為可解的多項(xiàng)式。

因?yàn)?/p>

故而，根據(jù)泰勒公式復(fù)合運(yùn)算法則，可以進(jìn)行二階麥克勞林展開，

將式（15）中的高階項(xiàng)截去，連同式（11），代入到式（10）中，得到

將式（16）和式（17）代入式（20），整理后得到如下形式

式（21）中，w3、w2、w1、w0皆為與x0無關(guān)的多項(xiàng)式。

根據(jù)置換群和盛金公式綜合解法，需要解答

根據(jù)式（24），可以得到h，此時(shí)，

u是與x0無關(guān)的極其復(fù)雜的表達(dá)式，限于篇幅問題，沒有給出表達(dá)式的具體細(xì)節(jié)。由此，根據(jù)盛金公式，只需要解答式（25）便能得到x0。

式（25）有四個(gè)解，但只有一個(gè)解是實(shí)數(shù)，該解為

參照求解x0的步驟，以此類推，可以得到y(tǒng)0和R

聯(lián)立式（26）、式（27）和式（28）并求解（在求解過程中，涉及到的最高次冪不超過4次，因此只需參展求解x0的過程便可），可以得到一個(gè)滑弧的位置參數(shù)（x0、y0、R），因?yàn)檫@是最危險(xiǎn)滑弧，我們用（xs、ys、Rs）來表示此滑弧，以示區(qū)別。

其中

將式（29）代入式（10），便可得到Ks=K（xs，ys，Rs）。

3 算 例

3.1 與傳統(tǒng)方法對比

根據(jù)盧廷浩《土力學(xué)》［46］的算例：一均質(zhì)黏性土坡，高20 m，坡比1∶2，填土黏聚力c為45 kPa，內(nèi)摩擦角為7°，重度為20 kN/m2。

《土力學(xué)》計(jì)算結(jié)果為Ks=1.19。

本文結(jié)果為Ks=1.13。

根據(jù)趙樹德《土力學(xué)》的算例：高20 m的均質(zhì)土坡，坡比1∶2，填土黏聚力c為10 kPa，內(nèi)摩擦角為20°，重度為18 kN/m2。

《土力學(xué)》計(jì)算結(jié)果為Ks=1.34。

本文結(jié)果為Ks=1.09。

3.2 與數(shù)值方法作比較

參考張?zhí)鞂殻?7］的《土坡穩(wěn)定分析圓弧法的數(shù)值研究》的算例：一均質(zhì)土坡，坡高H=50 m，重度γ= 20 kN/m2，坡比1∶3.25，內(nèi)摩擦角tanφ=0.2，黏聚力c=60 kPa。

通過圖5可以看出，對于傳統(tǒng)的分條試算方法，由于其計(jì)算比較粗略，得到的結(jié)果往往與真實(shí)結(jié)果誤差較大，筆者方法所計(jì)算的最小安全系數(shù)比文獻(xiàn)［47］所得的最小安全系數(shù)低5%，更加安全。張?zhí)鞂毜慕Y(jié)果是在構(gòu)建積分模型的基礎(chǔ)上，通過最優(yōu)化方法尋找最小安全系數(shù)，這個(gè)結(jié)果已經(jīng)非常貼近真實(shí)的Ks，筆者結(jié)果比其低0.3%，說明筆者方法在精確度和安全性上皆能完全滿足工作需求。綜上所述，筆者的方法所得的Ks比傳統(tǒng)方法、數(shù)值方法所得到的Ks都安全，且足夠精確。

圖5 本文結(jié)果和張?zhí)鞂毥Y(jié)果對比

4 結(jié) 論

針對Fellenius法，通過對其原有的連加數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，利用微分法建立了積分形式的數(shù)學(xué)模型K=K（x0，y0，R）。所得到的積分形式的數(shù)學(xué)模型在數(shù)理上比傳統(tǒng)的連加數(shù)學(xué)模型更加精確。利用積分形式的數(shù)學(xué)模型，可以更加簡便地計(jì)算最小安全系數(shù)Ks。

針對積分形式的數(shù)學(xué)模型，將求解最小安全系數(shù)Ks的問題轉(zhuǎn)化為K（x0，y0，R）求極值問題，并導(dǎo)出了K（x0，y0，R）求極值時(shí)應(yīng)滿足的方程，只需要對方程進(jìn)行求解便能得到最小安全系數(shù)Ks。此種做法完全脫離了傳統(tǒng)計(jì)算方法中對于最危險(xiǎn)滑弧的搜索，在數(shù)理層面上比以往的方法要精確，且大大減少了計(jì)算量。

針對gradK=（0，0，0）無根式解問題，通過麥克勞林公式將函數(shù)K進(jìn)行簡化，并利用費(fèi)拉里公式對四次方程進(jìn)行求解，得到了最危險(xiǎn)滑弧的位置（xs，ys，Rs）的表達(dá)式。只需將相關(guān)參數(shù)代入（xs，ys，Rs）的表達(dá)式中，即可得到（xs，ys，Rs）的值，無需試算與解方程，極大提高了計(jì)算效率于精度。將所得到的（xs，ys，Rs）代入K函數(shù)中，便可得到最小安全系數(shù)Ks。而且，所得到的最小安全系數(shù)Ks比傳統(tǒng)方法、于數(shù)值方法都要精確、安全。

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The Analytical Solution of Fellenius Method

LI Chuang1，ZHAO Shengjie1，DONG Ye2，LI Pengyu2，MU Mengjing2
（1.HYDROLANCANG，Lincang，Yunnan 675805，China；2.North China Electric Power University，Beijing 102206，China）

Fellenius method is a classical solution which hasbeen widely used in engineering construction.Numerical methods are more and more popular at the moment，which divide a lot of stripes and traverse the sliding surface to calculate the minimum safety factor and the location of the most dangerous sliding surface（center coordinates and radius）. However，the numerical methods need a large amount of computation time and the accuracy of the numerical methods is less than the analytical calculation methods.This work try to get the analytical formula of safety factor Kswhich is the function of the center coordinates（x0，y0）and the radius R.By soloving the equation gradKs=（0，0，0），we can get the center coordinates（x0，y0）and the radius R and we can also get the minimum safety factor Ksmin.A program“LCSLOPE”was developed to calculate gradKs=（0，0，0）analytic solution.This program“LC-SLOPE”does not distinguish between homogeneous slope and stratified slope and has no theoretical error.In order to get a result which is easy for the engineering staff to use and accurate，for homogeneous slope，it can be simplified as grad Ks=（0，0，0）by taylor formula and get the Ksmin，（x0，y0）and R.

slope stability；Fellenius method；the analytical solution；complex slope

TU43

A

1672—1144（2016）05—0202—09

10.3969/j.issn.1672-1144.2016.05.039

2016－07－02

2016－08－06

李 闖（1990—），山東荷澤人，碩士，主要從事水工結(jié)構(gòu)、非均質(zhì)材料沖擊特性方面的研究。E－mail：976308589@qq.com