第10課“動態(tài)幾何問題”復(fù)習(xí)精講

劉頓

專題精講

用運動的觀點來探究幾何圖形變化規(guī)律的問題稱為動態(tài)型幾何問題，

這類問題是歷年各地中考的熱點題型之一，也是中考試卷中壓軸題目的首選，此類問題幾乎是每卷必考，題量一般是1～2題，分值是12-15分，且一般都有一定的難度，

動態(tài)幾何問題一般是以三角形、四邊形、圓等幾何圖形為載體，設(shè)計的動態(tài)變換，并對變化過程中伴隨的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形之間的特殊關(guān)系等進(jìn)行實驗、觀察、猜想和歸納，同時進(jìn)行推理的一類問題，此類問題的信息量大，靈活多變，出現(xiàn)的結(jié)果又往往不確定，一般涉及的知識有平行線、全等三角形、相似三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)、方程、不等式以及函數(shù)等。

求解動態(tài)型問題時需要“以靜制動”，即把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來處理，具體地說，需要用運動和變化的觀點，把握運動和變化的全過程，動中取靜，靜中求動，抓住運動過程中的某一瞬間，抓住變化過程中的特殊情形，確定運動變化過程中的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系，從而建立方程、不等式、函數(shù)模型，找到解決問題的途徑，其具體解題步驟一是化動為靜：（1）明確討論標(biāo)準(zhǔn)；（2）畫出不同的圖形（分開畫）；（3）設(shè)字母體現(xiàn)“動”，二是分為兩種題型：（1）①將字母視作常數(shù)，分別列出方程；②解方程并檢驗；③總結(jié)，（2）①將字母視作常數(shù)，列出函數(shù)解析式；②根據(jù)自變量的取值范圍求出函數(shù)的最值：③檢驗，

解答動態(tài)型試題的關(guān)鍵是把握以下三點：一是借助圖形在運動過程中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系來探究幾何圖形的變化規(guī)律；二是借助圖形在三種變換（平移、旋轉(zhuǎn)、折疊）過程中的變量和不變量，動中求靜，利用變換的有關(guān)性質(zhì)來解決一些有關(guān)幾何圖形的面積、周長等問題；三是解答過程中往往需要綜合運用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想、特殊與一般的思想等多種數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)學(xué)思想，恰當(dāng)?shù)厥褂梅治鼍C合方法，挖掘題目的隱含條件，將復(fù)雜問題分解為基本的、常見的問題。逐一擊破，從而進(jìn)一步得到新的結(jié)論，最終解決問題，

重點題型例析

一.有點運動產(chǎn)生的問題

動點問題中動點大致可以分為兩種：一是運動的動點，此類動點有給出的運動方向和運動速度，我們主要根據(jù)“運動速度×?xí)r間=路程”來表示某些線段的長，根據(jù)動點的位置可以將線段分為走過的路程（根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”來表示）、剩下未走的路程（用動點要運動的總路程一走過的路程），特別注意，當(dāng)動點在折線上運動時，要把走過的線段去掉某些部分才能和所求線段對應(yīng)，對于剩下未走的也由于動點移動到不同線段上而改變其終點位置來分別進(jìn)行表示，當(dāng)所表示線段與動點運動方向不同時，一般采用相似知識，找出和某些可以計算長度且方向與所求線段方向一致的線段來尋求相似比，二是不定點，這類動點一般結(jié)合存在性問題出現(xiàn)，即是否存在點P使得題目滿足一些結(jié)論或當(dāng)某些結(jié)論存在時。求動點P的位置，解答時可以把題目要求滿足的情況作為一個使用條件，使P恰在滿足要求的位置，然后結(jié)合幾何知識進(jìn)行解答，

點撥：如果拋物線上的點是已知的，就用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式。二次函數(shù)有三種表達(dá)式，可以依據(jù)具體情況設(shè)定，解答存在性問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論存在，然后推理得出結(jié)論，進(jìn)而判斷結(jié)論是否成立，對于求多邊形的面積通常采用分割法，把它分割成多個簡單的圖形，另外，這種動態(tài)幾何問題，一般采取“動中求靜，靜中求解”的求解策略，以相對靜止的瞬間，清晰地發(fā)現(xiàn)量與量之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，從中找到解決問題的途徑，

二.由直線運動產(chǎn)生的問題

由直線的運動產(chǎn)生的問題稱為動直線問題，求解時應(yīng)針對直線運動變化過程中相伴隨的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系去研究，抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變，從而確定基本關(guān)系式，并確定變化范圍，必要時畫出相應(yīng)的圖象，以幫助解決問題。

點撥：本題的題設(shè)條件中雖然給出了動直線L，但在解題時似乎沒有涉及，這就是處理動態(tài)問題時“以靜制動”的效果，

三.有圖形運動產(chǎn)生的問題

動態(tài)圖形型試題以圖形變換為載體，集代數(shù)與幾何的眾多知識于一體，并且滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等重要數(shù)學(xué)思想，命題的設(shè)置常常具有開放性、操作性和探究性，

點撥：圖形運動與函數(shù)圖象問題常見的三種類型：一是有關(guān)線段與多邊形的圖形運動問題，即把一條線段沿一定方向運動經(jīng)過三角形或四邊形；二是多邊形與多邊形的圖形運動問題，即把一個三角形或四邊形沿一定方向運動經(jīng)過另一個多邊形；三是多邊形與圓的圖形運動問題，即把一個圓沿一定方向運動經(jīng)過一個三角形或四邊形，或把一個三角形或四邊形沿一定方向運動經(jīng)過一個圓，求解時，都應(yīng)根據(jù)問題中的常量與變量之間的關(guān)系，進(jìn)行分段，判斷函數(shù)圖象，本題難度較大，綜合性強(qiáng)，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵。