許毓桐 姜慧玲 龐彥福
暑假期間,我在做“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試卷時遇到一個問題:
方程|x-5|+4|y+2|=10的整數(shù)解共有( )。
A.4個 B.8個 C.10個 D.16個
顯然,這是一個與二元一次方程的解、絕對值的應(yīng)用有關(guān)的問題,是我們學(xué)過的內(nèi)容。
根據(jù)絕對值的意義,可知|x-5|≥0,|y+2|≥0。于是先由|x-5|≥0(x為整數(shù))想到|x-5|的值有11種情況。即|x-5|=0或|x-5|=1或|x-5|=2或|x-5|=3或|x-5|=4或|x-5|=5或|x-5|=6或|x-5|=7或|x-5|=8或|x-5|=9或|x-5|=10。這樣就得到x的整數(shù)值共有21個。把x所有可能的整數(shù)值一個一個找出來后,再分別求出對應(yīng)的y值,然后結(jié)合題目條件排除y的非整數(shù)值,就能得到方程的整數(shù)解共有10個。
正當(dāng)我為自己能解決競賽題而高興時,突然想到:這又不是后面的大題,怎么可能會如此麻煩呢?難道自己走了彎路嗎?還是再檢查檢查吧。
|x-5|是非負(fù)數(shù),|y+2|也是非負(fù)數(shù),|x-5|與4|y+2|的和為10,x、y為整數(shù),所以|x-5|的值應(yīng)該有11種情況,嗯,是做到不重不漏了。而對于4|y+2|,它的值不僅是非負(fù)數(shù),而且還應(yīng)當(dāng)是整數(shù)。噢,知道了!根據(jù)題意,不能將4|y+2|分開,而要將其作為一個整體來考慮。
對于式子|x-5|+4|y+2|=10。如果從|x-5|人手,x取整數(shù)時,它的值確實有11種情況,得出x的整數(shù)值有21個,這雖然是正確的。卻并不簡捷。如果從4|y+2|開始考慮的話,|x-5|的值的情況就比較少了,從而可以減少解題步驟。y為整數(shù),則4|y+2|的值只能有3種情況,即4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8,從而可以得到y(tǒng)有5個整數(shù)值,接下來求出對應(yīng)的x的整數(shù)值,這樣既做到了不重不漏,又減少了麻煩。
解:由|x-5|+4|y+2|=10,x,y為整數(shù),可得4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8。
當(dāng)4|y+2|=0時,|x-5|=10。于是解得x=15,y=-2;或X=-5。y=-2。
當(dāng)4|y+2|=4時,|x-5|=6。于是解得x=11。y=-1;或x=11,y=-3;或x=-1,y=-1;或x=-|,y=-3。
當(dāng)4|y+2|=8時,|x-5|=2。于是解得x=7,y=-4;或x=7,y=0;或x=3,y=-4;或x=3,y=0。
所以該方程的整數(shù)解共有10個。
指導(dǎo)老師點評:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。一定要注重理解。對于所學(xué)知識理解了,掌握了,解決問題也就有了方法,有了策略。解題講究方法與策略。就能減少不必要的麻煩。解題后要多反思,將好的方法借鑒、應(yīng)用到以后的學(xué)習(xí)中。解題不僅要保證正確,還要追求簡捷。
責(zé)任編輯:潘彥坤
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版2016年4期