對(duì)增量理論的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

吳 保 樺

(解放軍理工大學(xué)國(guó)防工程學(xué)院，江蘇 南京 210007)

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對(duì)增量理論的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

吳 保 樺

(解放軍理工大學(xué)國(guó)防工程學(xué)院，江蘇 南京 210007)

分別推導(dǎo)了L-M理論和P-R理論，并對(duì)其優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了分析，指出經(jīng)典塑性增量理論是研究考慮應(yīng)變歷史條件下應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系的理論，增量理論適應(yīng)于任何復(fù)雜加載歷史。

增量理論，應(yīng)變偏量，塑性力學(xué)

1 概述

塑性力學(xué)問題彈性力學(xué)不同，它在受力情況下表現(xiàn)出如下的特點(diǎn)：1)由于在塑性階段時(shí)應(yīng)變的變化與應(yīng)力及變形歷史有關(guān)，因此，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與彈性階段不同，此時(shí)二者關(guān)系表現(xiàn)為非線性；2)由于應(yīng)變狀態(tài)與加載歷史有關(guān)，不同的加載軌跡表現(xiàn)出不同的應(yīng)變狀態(tài)，因此，應(yīng)力與應(yīng)變之間沒有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；3)由于受力物體的受力不均勻性，使得變形體中既有彈性變形區(qū)，又有塑性變形區(qū)，在進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)需找到彈塑性界限。

由以上特點(diǎn)可以看出塑性應(yīng)變不僅與所受應(yīng)力有關(guān)，還與加載路徑有關(guān)。因此，在討論過程中必須考慮應(yīng)力和應(yīng)變的變化特征，同時(shí)為了考慮加載歷程的影響，應(yīng)從應(yīng)變?cè)隽咳胧?，建立相?yīng)應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽恐g的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此塑性本構(gòu)關(guān)系本質(zhì)上是增量關(guān)系。

最早的塑性增量理論是由圣維南于1871年提出的，提出了塑性應(yīng)變?cè)隽恐鬏S和應(yīng)力變量主軸重合的重要假設(shè)，為塑性理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)；同年，列維近一步提出：在塑性變形過程中，塑性應(yīng)變?cè)隽糠至颗c對(duì)應(yīng)的偏應(yīng)力分量成比例，并建立了Levy-Mises塑性增量理論。在此基礎(chǔ)上，1924年，普朗特考慮到金屬屈服后應(yīng)包括彈性應(yīng)變部分，1930年羅伊斯將這一理論推廣到三維應(yīng)力問題，完善并建立了普朗特—羅伊斯塑性增量理論。

2 理論推導(dǎo)

2.1 理想剛塑性材料的L-M理論

L-M理論在推導(dǎo)過程中，包括下述基本假設(shè)：

1)材料是不可壓縮的。對(duì)金屬材料而言，即使在高壓狀態(tài)下，根據(jù)彈性理論可知物體在平均正應(yīng)力的作用下，所引起的變形只有彈性體積變形，不會(huì)引起塑性體積變形；但在應(yīng)力偏量作用下，會(huì)使物體產(chǎn)生畸變，但體積不發(fā)生變形。物體的畸變又包括彈性變形和塑性變形兩部分，也就是說塑性變形僅由應(yīng)變偏量引起，同時(shí)認(rèn)為塑性狀態(tài)下體積變形等于零。

2)應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量成比例。由于應(yīng)力羅德參數(shù)代表應(yīng)力莫爾圓的相對(duì)位置，應(yīng)變?cè)隽苛_德參數(shù)代表應(yīng)變?cè)隽磕獱枅A的相對(duì)位置，因此應(yīng)力羅德參數(shù)與應(yīng)變?cè)隽苛_德參數(shù)之間的關(guān)系可以通過大量實(shí)驗(yàn)確定。

3)材料是理想剛塑性的，L-M理論在推導(dǎo)過程中均考慮了塑性應(yīng)變?cè)隽浚虼耸腔趧偹苄阅Ｐ徒⒌摹?/p>

同理可得：

又由于：

由上式可以看出比例因子與材料的屈服極限及變形程度有關(guān)。

2.2 彈塑性材料下的P-R理論

P-R理論的假設(shè)與L-M理論的假設(shè)基本一致，只不過在該理論中按彈塑性條件進(jìn)行分析，相應(yīng)的精度更高。在彈塑性條件下，材料的應(yīng)變等于彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變之和，即：

其中，彈性應(yīng)變偏量的增量滿足彈性理論中的廣義胡克定律，由L-M理論中的假設(shè)2)可知，塑性應(yīng)變偏量的增量與應(yīng)力偏量的增量成比例。又由塑性體積不變得：

所以：

3 結(jié)語(yǔ)

由于彈性變形與塑性變形相比可以忽略不計(jì)，加上L-M理論易于計(jì)算，在實(shí)際應(yīng)用中較為廣泛。在利用P-R理論求解彈塑性問題時(shí)，很難得到解析解，但近年由于有限元的發(fā)展，P-R理論得到廣泛的應(yīng)用。

這一表達(dá)式只適于小變形情況。大應(yīng)變(有限應(yīng)變)是幾何非線性的，不能隨便將兩個(gè)應(yīng)變相加。

2)由方程的表達(dá)式及德魯克公設(shè)可以看出屈服條件與塑性本構(gòu)方程有一定的關(guān)系。

3)由L-M理論及P-R理論的本構(gòu)方程可以看出塑性應(yīng)變的大小與該時(shí)刻的應(yīng)力偏量有關(guān)，與達(dá)到該狀態(tài)所需的應(yīng)力增量無(wú)關(guān)，這近一步證明了在塑性變形中，應(yīng)力主軸與塑性應(yīng)變主軸重合。

4)對(duì)于復(fù)雜加載條件的理論分析，可以通過由各瞬時(shí)變形的累積求出整個(gè)變形過程，因此，增量理論可以反映不同加載路徑對(duì)變形的影響。

5)上述方程只給出了不同方向間塑性應(yīng)變?cè)隽恐鹊谋磉_(dá)方程，而并未確定其實(shí)際大小同時(shí)，以上公式討論均未涉及應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)，應(yīng)進(jìn)一步討論。

[1] 徐秉業(yè)，劉信聲.應(yīng)用彈塑性力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社,1995.

[2] 楊桂通.彈塑性力學(xué)引論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[3] 徐秉業(yè).塑性力學(xué)教學(xué)研究和學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社,1993.

Several understanding for the increment theory in classical mechanics of plasticity

Wu Baohua

(EngineeringInstituteofEngineeringCorps,PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210007,China)

This paper derived L-M theory and P-R theory, and its advantages and disadvantages are analyzed, point out classic incremental theory is the theory describes the relationship between stress-strain relationship is non-linear and non-important feature unique. Incremental theory applies to any complex loading history.

incremental theory, deviatoric strain, plastic mechanics

1009-6825(2016)20-0025-02

2016-05-09

吳保樺(1988- )，男，在讀碩士

O346

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