基于稀疏約束的地震數(shù)據(jù)高效采集方法理論研究

王漢闖,陶春輝,陳生昌,丘磊,任浩然,周華敏

1 國家海洋局第二海洋研究所，杭州 3100122 國家海洋局海底科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗室，杭州 3100123 浙江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，杭州 310027

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基于稀疏約束的地震數(shù)據(jù)高效采集方法理論研究

王漢闖1,2,陶春輝1,2,陳生昌3*,丘磊1,2,任浩然3,周華敏3

1 國家海洋局第二海洋研究所，杭州 3100122 國家海洋局海底科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗室，杭州 3100123 浙江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，杭州 310027

隨著地震勘探目標(biāo)復(fù)雜化和精細(xì)化程度的提高以及“兩寬一高”等采集技術(shù)的廣泛應(yīng)用，當(dāng)前地震數(shù)據(jù)采集的時間越來越長、成本越來越高.針對此問題，本文基于壓縮感知理論開展了地震數(shù)據(jù)高效采集方法的改進(jìn)和探索研究.根據(jù)波動方程解的一般表示式，從波場傳播的角度給出了地震數(shù)據(jù)具有稀疏性的數(shù)學(xué)物理依據(jù)及尋找適應(yīng)地震數(shù)據(jù)稀疏變換的一般方案；在稀疏性先驗信息的指導(dǎo)下，發(fā)展了具有“藍(lán)色噪聲”頻譜特征的改進(jìn)的分段采樣方法，并基于最優(yōu)化理論提出了地震數(shù)據(jù)重建方法.地震數(shù)據(jù)的稀疏性理論、稀疏約束下的高效采集方法以及地震數(shù)據(jù)的重建方法構(gòu)成了相對完善的地震數(shù)據(jù)高效采集理論.把該理論用于指導(dǎo)地震數(shù)據(jù)采集，即利用稀疏約束的隨機(jī)采樣方法改變常規(guī)規(guī)則密集測網(wǎng)中炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)(或二者之一)的分布，設(shè)計了三種隨機(jī)且均勻的高效采集測網(wǎng)，提出了利用相應(yīng)測網(wǎng)獲取的地震數(shù)據(jù)重建為常規(guī)規(guī)則密集測網(wǎng)地震數(shù)據(jù)的針對性方案，并使用重建精度、高效采集數(shù)據(jù)的直接成像和重建后再成像的結(jié)果對比證明了上述重建方案的有效性.基于Marmousi模型的高效采集試驗檢驗了本文構(gòu)建的基于稀疏約束的地震數(shù)據(jù)高效采集方法理論框架在提高當(dāng)前地震數(shù)據(jù)采集效率、降低勘探成本上的優(yōu)勢以及方法的有效性和可行性.

勘探成本；稀疏約束；分段采樣；高效采集；數(shù)據(jù)重建

1 引言

地震數(shù)據(jù)采集是整個地震勘探流程的基礎(chǔ)，采集技術(shù)水平的提高對整個地震勘探的發(fā)展具有重要的意義.當(dāng)前的地震數(shù)據(jù)采集是基于信號處理學(xué)科中的Fourier變換和Nyquist采樣定理的(Marks,1991;Oppenheim et al.,1989).然而，該理論指導(dǎo)下的信息獲取、存儲、融合、處理及傳輸?shù)确矫嬉呀?jīng)成為目前信息領(lǐng)域技術(shù)發(fā)展的主要瓶頸之一，在地震數(shù)據(jù)采集中的表現(xiàn)也很明顯.這主要是因為：1)根據(jù)Nyquist采樣定理，若要使采樣得到的信號能不失真地保持原信號的信息，必須以不低于待研究信號最高頻率兩倍的采樣頻率進(jìn)行規(guī)則采樣(否則就會產(chǎn)生假頻)，因而在進(jìn)行地震勘探數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)設(shè)計時，空間測網(wǎng)的采樣間隔(包括檢波器測網(wǎng)的線距、點(diǎn)距和炮點(diǎn)測網(wǎng)的線距、點(diǎn)距)與地震記錄的時間間隔必須分布均勻且密集；2)勘探目標(biāo)的復(fù)雜程度和精細(xì)化程度要求的提高也迫使人們在地震勘探中不僅要提高采集的地震數(shù)據(jù)的精度，還要進(jìn)行“兩寬一高”(寬頻帶、寬方位和高密度)采樣(Cordsen and Galbraith,2002;Regone,2006;Sirgue et al.,2009;ten Kroode et al.,2013;Vermeer,2003;VerWest and Lin,2007)、多波多分量(Allen and Brown,1995;Bloom and Marscher,1996;Mohan and Singh,2002)和大面積地震數(shù)據(jù)采集以實(shí)現(xiàn)對地下構(gòu)造的高精度成像.這就導(dǎo)致常規(guī)地震數(shù)據(jù)采集的時間越來越長、采集成本也越來越高，給后續(xù)的數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)質(zhì)控、數(shù)據(jù)安全存儲和管理帶來了新的挑戰(zhàn).因此，在滿足數(shù)據(jù)采集要求的前提下，如何經(jīng)濟(jì)高效地進(jìn)行數(shù)據(jù)采集是當(dāng)前地震勘探方法技術(shù)研究中一個十分迫切的問題，得到了地球物理學(xué)家們的廣泛關(guān)注.

壓縮感知是應(yīng)用數(shù)學(xué)和信號處理領(lǐng)域近十年來的最新研究成果，是一種建立在矩陣分析、拓?fù)鋷缀?、?yōu)化、統(tǒng)計概率論、運(yùn)籌學(xué)和泛函分析等學(xué)科上信息獲取與處理的全新的理論體系.它在信號具有稀疏性的先驗假定下，通過對信號“精挑細(xì)選”的采樣數(shù)據(jù)，把經(jīng)典的基于Nyquist采樣理論的信號采樣(Signal Sampling)轉(zhuǎn)變?yōu)閷π盘栔械男畔⒉蓸?Information Sampling)，通過求解一個特定的最優(yōu)化問題就可以從這些極少量的采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)出原始信號.所謂稀疏性，是指一個信號(向量)中除了少數(shù)部分元素不為零之外，其他大部分的元素都為零(或非常接近于零)；若該信號不滿足此要求，但對其進(jìn)行某種變換(可以是正交變換，也可以是非正交變換)，變換后的系數(shù)滿足此要求，則也稱該信號具有稀疏性(或變換域稀疏性)，則這個變換對于該信號而言就稱為稀疏變換.信號的稀疏性是進(jìn)行采樣的基礎(chǔ)，信號的采樣間隔取決于信息在信號中的結(jié)構(gòu)與分布，從而打破了基于Fourier變換和Nyquist采樣定理的常規(guī)采樣方法的諸多限制，為信號的高效采樣方案的研究與設(shè)計以及從本質(zhì)上解決常規(guī)采樣方法引起的信息冗余、采樣效率低的問題提供了理論依據(jù).因壓縮感知利用的是信號的稀疏性，因此在本文中又稱為基于稀疏性的信號采樣理論.近年來，隨著該理論在醫(yī)療成像(Lustig et al.,2007)、無線通信(Mamaghanian et al.,2011)、模式識別(Wright et al.,2010)、雷達(dá)探測(Herman and Strohmer,2009)與圖像超分辨重建(Park et al.,2003;Yang et al.,2010)等領(lǐng)域的高度關(guān)注及應(yīng)用研究的深入，地球物理工作者也將其應(yīng)用到地震勘探數(shù)值模擬、數(shù)據(jù)壓縮、數(shù)據(jù)重建和非線性反演等方面(Hennenfent et al.,2010;Hennenfent and Herrmann,2006,2008;Herrmann,2010;Herrmann and Hennenfent,2008;Lin et al.,2008;Wang et al.,2010;唐剛,2010;王薇等,2013)，但在地震數(shù)據(jù)高效采集領(lǐng)域的應(yīng)用研究還處于起步階段.Lin和Herrmann (2009)提出了把壓縮感知應(yīng)用于多源地震數(shù)據(jù)采集的思路，Moldoveanu(2010)對海上數(shù)據(jù)采集的隨機(jī)觀測方法進(jìn)行了積極的探索，Milton等(2011)提出了把常規(guī)規(guī)則密集布置炮點(diǎn)的地震采集方式改為隨機(jī)稀疏布置炮點(diǎn)的數(shù)據(jù)采集方式(注：他們使用多維插值方法來重構(gòu)數(shù)據(jù)).馬堅偉(2011)的“稀疏促進(jìn)地震勘探”觀點(diǎn)提出了利用壓縮感知降低野外采集數(shù)據(jù)量的構(gòu)想，陳生昌等(2012,2015)報告了應(yīng)用壓縮感知理論進(jìn)行地震數(shù)據(jù)高效采集方法研究的初步框架.Mosher等(2012)基于壓縮感知理論提出了一種非均勻優(yōu)化采樣的地震數(shù)據(jù)觀測系統(tǒng)設(shè)計，表明可以使用相同數(shù)量的儀器設(shè)備獲得更高的空間分辨率或者可以完成更大面積的采集任務(wù).以上研究對基于壓縮感知的高效采集進(jìn)行了有益的探索，為利用地震波場的稀疏性進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的高效采集提供了基本思路.

綜上所述，基于稀疏性的地震數(shù)據(jù)高效采集方法是一種正在發(fā)展且有著廣闊前景的采集方法，國內(nèi)外還沒有系統(tǒng)地開展地震數(shù)據(jù)高效采集方法理論的研究，其中存在的許多問題尚需解決，如方法應(yīng)用的理論基礎(chǔ)、具體實(shí)施方案以及數(shù)據(jù)重建方案等.本文在深入調(diào)研當(dāng)前地震數(shù)據(jù)高效采集方法的基礎(chǔ)上，從高效采集方法理論和具體實(shí)施策略兩方面開展基于稀疏性的地震數(shù)據(jù)高效采集方法研究.其中，高效采集方法理論研究主要包括以下三個部分：1)地震數(shù)據(jù)的稀疏性理論依據(jù)以及適合地震數(shù)據(jù)時間-空間特征的最稀疏變換方法；2)地震數(shù)據(jù)的高效采集測網(wǎng)(測線、測點(diǎn)分布)設(shè)計方法；3)規(guī)則密集測網(wǎng)上的地震數(shù)據(jù)的重構(gòu)方法.高效采集具體實(shí)施策略研究主要包括以下三個部分：1)在常規(guī)規(guī)則密集測網(wǎng)的基礎(chǔ)上，根據(jù)炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)在測網(wǎng)布置中的各種分布情況，利用上述稀疏約束的隨機(jī)采樣方法開展了高效采集測網(wǎng)設(shè)計方法研究，提出高效采集測網(wǎng)的設(shè)計方案；2)根據(jù)稀疏約束地震數(shù)據(jù)重建理論，提出了對應(yīng)高效采集得到的三種類型的地震數(shù)據(jù)的重建方法流程；3)對高效采集地震數(shù)據(jù)的直接偏移成像方法進(jìn)行了研究，通過高效采集數(shù)據(jù)的直接成像和重建數(shù)據(jù)的偏移成像結(jié)果的對比，驗證數(shù)據(jù)重建方法的有效性.

2 地震數(shù)據(jù)高效采集方法理論

發(fā)展一種新的采樣方法的一般途徑包括以下三點(diǎn)：1)在對信號進(jìn)行采樣前需要有待研究信號的先驗知識；2)根據(jù)待研究信號的先驗知識來確定采樣方案；3)采集到的數(shù)據(jù)必須是待研究信號的真實(shí)反映，即由采集數(shù)據(jù)必須能準(zhǔn)確地重構(gòu)信號.陳生昌等(2015)討論并指出了帶限信號Nyquist采樣的局限性，即Nyquist采樣是在假定信號頻帶有限的情況下確定的均勻規(guī)則的采樣方案，采樣間隔必須滿足一定的要求；當(dāng)帶限信號的頻譜是稠密地分布在整個頻帶范圍內(nèi)時，Nyquist采樣方法是高效的，反之則是非高效的.接下來，我們將根據(jù)上述三個認(rèn)識開展地震數(shù)據(jù)高效采集方法的研究.

2.1 地震數(shù)據(jù)的稀疏性與稀疏變換

地震數(shù)據(jù)是否具有稀疏性是開展地震數(shù)據(jù)高效采集方法理論的前提和基礎(chǔ).波動方程描述了地震波在介質(zhì)中的傳播規(guī)律和傳播特征，因而根據(jù)波動方程的解的一般表示式進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的稀疏性的數(shù)學(xué)物理依據(jù)研究是一條必要且可行的研究路徑.密度均一介質(zhì)、脈沖震源激發(fā)條件下的聲波波動方程為

(1)

其中，r0=x0i+y0j+z0k為震源位置，u為地震波場，-f(t)δ(r-r0)為震源函數(shù).該方程的Green函數(shù)G(r,t|r0,t0)可以表示為(杜世通,2009)：

G(r,t|r0,t0)=

(2)

通過Green函數(shù)(2)式可以把非其次方程

(3)

的解表示成如下的形式(杜世通,2009)：

(4)

其中，t+為t+ε的微量時間段，ε為任意一個微量，Ω為求解區(qū)域，S為Ω區(qū)域的邊界，F(xiàn)(r0,t)為震源.

曲波變換可以表示如下：

(5)

其中，φj,l,k為Curvelet函數(shù)，j,l,k分別為位置參量(對于二維數(shù)據(jù)來說，k=(k1,k2)為變換參數(shù))，〈〉表示內(nèi)積.(5)式表明，曲波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號的多尺度、多方向分解.Curvelet變換具有如下性質(zhì)：

1)它是一個緊的框架，能夠通過(6)式

(6)

(7)

2)各向異性——拋物尺度關(guān)系：曲波變換是在頻率域中實(shí)現(xiàn)的，連續(xù)Curvelet變換基于極坐標(biāo)系，離散Curvelet變換基于笛卡兒坐標(biāo)系，圖1是連續(xù)Curvelet變換和離散Curvelet變換的頻率空間分塊圖，整個頻率空間是一些拋物楔形組成的，楔形的有效長度length和寬度width服從以下各向異性尺度關(guān)系(Candès et al.,2006b)：

length≈2-j/2，width≈2-j?width≈length2.

(8)

3)多方向性：Curvelet變換是一種多方向變換，除了粗尺度下的Curvelet是無方向之外，其他尺度上都有很好的方向選擇性.

Curvelet是一種各向異性小波，具有與地震波前的形態(tài)非常相似曲線狀的基元.圖2是幾個不同的Curvelets及其在頻率中的分布圖，多尺度、多方向性可以很好地進(jìn)行區(qū)分.由此可知，Curvelet變換能更好地捕捉到曲線狀的奇異特征，也就可以為地震數(shù)據(jù)提供最稀疏的表示(Candès and Donoho,2004;Candès et al.,2006b).

2.2 稀疏約束下的高效采樣

2.2.1 高效采樣矩陣的設(shè)計

地震數(shù)據(jù)的采集過程可以表示為：

(9)

d=Am with A∶=R CH,

(10)

其中，上標(biāo)H代表Hermitian轉(zhuǎn)置，m∈N是f的稀疏表示，N為變換域系數(shù)的維度(若C為正交變換，則N=M；若C為冗余變換，則N>M)，A∈n×N.

圖1 曲波變換頻率空間分塊圖(a) 連續(xù)曲波變換;(b) 離散曲波變換.在頻率空間，曲波近似由拋物楔形來支撐(如圖a中箭頭所示和圖b中放大的部分).Fig.1 Schematic curvelet tiling of the f-k plane(a) Continuous curvelet transform;(b) Discrete curvelet transform.In the f-k domain,the curvelets are supported by angular “parabolic” wedges.

圖2 Curvelets示例(a)為5個不同尺度、不同方向的曲波；(b)為(a)所對應(yīng)的5個曲波的振幅譜.引自Hennenfent等(2010).Fig.2 Sample curvelets(a) Five real curvelets at different scales and angles；(b) Amplitude spectrum of (a) annotated only for the positive frequencies due to symmetry around DC.Cited from Hennenfent et al.(2010).

圖3 采樣方法對比示意圖(在18個樣點(diǎn)中抽取6個樣點(diǎn))(a) 所有樣點(diǎn);(b) 規(guī)則欠采樣;(c) 高斯隨機(jī)欠采樣;(d) 泊松碟欠采樣;(e) Jittered采樣;(f) 分段隨機(jī)采樣.其中，實(shí)心點(diǎn)代表實(shí)際采樣點(diǎn)，空心圓圈代表總的樣點(diǎn).Fig.3 Schematic diagram of sampling method (6 points are sampled from 18 points)(a) All points；(b) Regular undersampling；(c) Gaussian random undersampling；(d) Poisson disk undersampling；(e) Jittered random undersampling；(f) Piecewise-random undersampling.Solid points represent sampled points. Hollow circles represent total samples.

似表現(xiàn)為一個正交基(Candès et al.,2006a;Herrmann,2010)，則仍然可以對問題(10)進(jìn)行求解，前提條件是必須能找到一個使AS滿足(11)式(受限等距特性，RIP)的受限等距參數(shù)0<δk<1：

(11)

AS的非唯一性意味著一個穩(wěn)定、成功的解m的獲得依賴于AS列之間的非相干性.隨機(jī)理論表明，具有獨(dú)立同分布(independent and identically distributed，i.d.d.)的高斯隨機(jī)矩陣滿足此要求，且當(dāng)稀疏度k滿足

(12)

時，式(11)總是成立的(Herrmann,2010).也就是說，在稀疏變換的幫助下，只需要利用按照超定采樣比n/k≈D·log2N進(jìn)行采樣的結(jié)果就可以完成稀疏域中的k個非零系數(shù)的恢復(fù)，且k越小，實(shí)際所需的采樣數(shù)n也就越少.

綜上所述，若A為隨機(jī)矩陣，在變換矩陣C確定的情況下，采樣矩陣R也必須是隨機(jī)矩陣，因而采樣方法的設(shè)計也就成為一個關(guān)鍵問題.

2.2.2 隨機(jī)采樣及改進(jìn)的分段采樣

隨機(jī)采樣方法可以克服常規(guī)規(guī)則欠采樣(圖3b)引起的假頻，這也是隨機(jī)采樣能夠用于采樣信號的重建的內(nèi)在原因.圖3列出的幾種采樣方法中，高斯隨機(jī)采樣容易造成采樣點(diǎn)過于聚集或者分散的情況(如圖3c中A、B箭頭所示)，引起部分區(qū)域采樣信息的冗余或者缺失，給后續(xù)數(shù)據(jù)恢復(fù)處理帶來困難.

為解決上述問題，人們發(fā)展了多種隨機(jī)且均勻的采樣方法，常用的有以下幾種：1)泊松碟隨機(jī)采樣(Dunbar and Humphreys,2006;Tang et al.,2009;唐剛,2010)——通過在相鄰采樣點(diǎn)周圍設(shè)置一些具有一定半徑的圓盤來控制采樣間隔(圓盤區(qū)域不能重疊，如圖3d所示)；2)Jittered采樣(Hennenfent and Herrmann,2008)——首先對所有樣點(diǎn)進(jìn)行均勻分段，然后在每個段內(nèi)以中心樣點(diǎn)為基準(zhǔn)做隨機(jī)“抖動”來選取采樣點(diǎn)(圖3e)，該方法要求每個段內(nèi)的樣點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)；3)分段采樣(Wang et al.,2011)——對所有樣點(diǎn)先分段，然后在每個子段內(nèi)隨機(jī)選取一個作為采樣點(diǎn)(圖3f).

為了了解上述采樣方法的特性與差異，這里以Fourier變換作為稀疏變換，利用褶積矩陣

L=AHA,

(13)

進(jìn)行對比分析研究.L可以表示出采樣方法本身“泄漏”信號的特性：1)當(dāng)進(jìn)行全采樣時(圖4a)，L=I，對應(yīng)采樣矩陣的元素(主對角線)為1，其他為0；2)當(dāng)進(jìn)行規(guī)則欠采樣時(圖4b)，L主對角線上的元素幅值降低，產(chǎn)生了平行于主對角線的、振幅具有一致性的頻率泄漏(Donoho,2006;Verdú,1998;Xu et al.,2005)；3)當(dāng)進(jìn)行隨機(jī)欠采樣時(對應(yīng)高斯隨機(jī)欠采樣、泊松碟采樣、Jittered采樣和分段隨機(jī)采樣的矩陣分別如圖4c、4d、4e和4f所示)，假頻被轉(zhuǎn)化為低幅值隨機(jī)噪聲，L中泄漏頻率成分的分布具有一定的隨機(jī)性.高斯隨機(jī)采樣泄漏的頻率分布比較均勻，而其他三種隨機(jī)且均勻的采樣方法(圖4d、4e、4f)則可以壓制主要信號周圍的噪聲，具有明顯的“藍(lán)色噪聲”頻譜特征，且分段隨機(jī)采樣泄漏的頻率成分在主對角線附近的信息更少且弱，更易于有用信號與噪聲的分離處理.

由此可知，分段隨機(jī)采樣方法除了具有更為優(yōu)越的“藍(lán)色噪聲”頻譜分布特征、特別適合具有稀疏性先驗信息的信號的采樣之外，分段采樣方法還突破了Jittered采樣對段內(nèi)樣點(diǎn)為奇數(shù)的限制，具有更好的靈活性.然而，和Jittered采樣相類似，當(dāng)總樣點(diǎn)不是采樣點(diǎn)數(shù)整數(shù)倍時，分段隨機(jī)采樣會受到剩余樣點(diǎn)問題的困擾(圖5a).針對這種狀況，這里提出一種改進(jìn)分段采樣方法(圖5b)，主要過程如下：

1) 對所有樣點(diǎn)分段.假設(shè)總的樣點(diǎn)為n0，需要采樣點(diǎn)數(shù)為ns，先對總的樣點(diǎn)分為ns段，每個段內(nèi)有int(n0/ns)個樣點(diǎn)，剩余的樣點(diǎn)數(shù)為nr(圖5a虛線橢圓區(qū)域)，很明顯nr

2) 段內(nèi)樣點(diǎn)數(shù)調(diào)整.從ns個段中隨機(jī)選取nr個段，并把分段后剩余的nr個樣點(diǎn)放入選好的nr個段中，調(diào)整后會有nr個段的樣點(diǎn)數(shù)目會增加一個，如圖5a箭頭所示.

3) 采樣.從ns個段中各隨機(jī)地抽取一個樣點(diǎn)作為采樣點(diǎn)，共ns個采樣點(diǎn).

這種改進(jìn)的分段采樣方法在保持分段隨機(jī)采樣的優(yōu)點(diǎn)的同時解決了剩余樣點(diǎn)的問題，可以根據(jù)實(shí)際情況按任意采樣比例(采樣的道數(shù)和總道數(shù)之比)進(jìn)行采樣，提高了實(shí)際地震數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)設(shè)計的靈活性.

2.3 稀疏約束下高效采集數(shù)據(jù)的重建

由高效采集得到的不規(guī)則稀疏測網(wǎng)地震數(shù)據(jù)恢復(fù)出規(guī)則密集測網(wǎng)地震數(shù)據(jù)的實(shí)質(zhì)是一個欠定線性反問題的求解過程，某種意義上也可以視為一種數(shù)據(jù)插值問題(Abma,2009;劉喜武等,2004).

圖4 不同采樣方法的矩陣L對比(a) 完全采樣;(b) 規(guī)則欠采樣;(c) 高斯隨機(jī)欠采樣;(d) 泊松碟欠采樣;(e) Jittered采樣;(f) 分段隨機(jī)采樣.Fig.4 Matrix L corresponding to different sampling methods(a) Total sampling;(b) Regular undersampling;(c) Gaussian random undersampling;(d) Poisson disk undersampling;(e) Jittered undersampling;(f) Piecewise random undersampling.

圖5 (a)常規(guī)分段隨機(jī)采樣方法，(b)改進(jìn)的分段隨機(jī)采樣方法.例子中，在20個樣點(diǎn)中抽取了6個樣點(diǎn)Fig.5 (a) Conventional piecewise random sampling,(b) Improved piecewise random sampling.Six points are sampled from 20 points

由(10)式可知，m可以通過求解下面的稀疏優(yōu)化問題獲得：

(14)

式中，波浪線～表示信號的估計值，0范數(shù)是一種偽范數(shù)(定義式：‖m‖0∶=#{m,mi≠0})，是信號稀疏性的最佳度量，mi表示向量m的第i項.

利用Lagrange乘子法把具有約束的問題轉(zhuǎn)化為下面的無約束優(yōu)化問題：

(15)

(16)

上述稀疏優(yōu)化問題的求解方法與策略主要包括：(1)貪婪類算法，如(正交)匹配追蹤法(Chen et al.,1998;Tropp and Gilbert,2007)等；(2)基于1范數(shù)最小約束的預(yù)條件共軛梯度(Koh et al.,2007)、凸集梯度法(Abma and Kabir,2006)等，但該類方法涉及到矩陣計算問題，不適合大規(guī)模問題求解；(3)閾值類方法(Daubechies et al.,2004)，該方法簡單易行，避免了矩陣求逆運(yùn)算而能適應(yīng)大規(guī)模問題的求解.這里我們使用迭代閾值法進(jìn)行求解，并考慮到提高迭代的穩(wěn)定性，引入了加速迭代閾值法(Blumensath,2012;Daubechies et al.,2008)，其迭代格式如下：

(17)

其中，i為迭代次數(shù)，θ為閾值，θ0為初始閾值，并隨著迭代次數(shù)按指數(shù)衰減，βn為迭代步長，保證了迭代過程的穩(wěn)定性，Γi是mi的支撐集，Tθ為硬閾值算子，其定義如下：

(18)

3 地震數(shù)據(jù)高效采集實(shí)施策略

本文第2節(jié)對地震數(shù)據(jù)高效采集理論進(jìn)行了一定程度上的改進(jìn)和探索研究，本節(jié)將在地震波場稀疏性的先驗信息基礎(chǔ)上，利用2.2節(jié)提出的改進(jìn)的分段采樣方法對常規(guī)采集系統(tǒng)的規(guī)則、密集的震源和檢波點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)采樣，得到非規(guī)則、稀疏的高效采集測網(wǎng)，再利用2.3節(jié)發(fā)展的稀疏重建方法對使用上述高效采集測網(wǎng)采集的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建.本節(jié)力求將高效采集方法理論與地震采集系統(tǒng)的測網(wǎng)設(shè)計相結(jié)合，探討高效采集的具體實(shí)施方法策略問題.

Berkhout和Pao(1982)指出，在頻率域地震數(shù)據(jù)(2D或3D)可以通過一個數(shù)據(jù)矩陣P來表示，其元素Pi,j表示和檢波器i、震源j對應(yīng)的復(fù)值.設(shè)ng為所有的檢波器數(shù)目，ns為所有的激發(fā)炮數(shù)，P如圖6a所示，每一行代表一個共檢波點(diǎn)道集，每一列代表一個共炮點(diǎn)道集，每條對角線代表一個共偏移距道集，每條反對角線代表一個共中心點(diǎn)道集.頻率域常規(guī)單震源地震數(shù)據(jù)采集模型(Berkhout et al.,2008)可以寫為：

P(rg,rs,ω)=G(rg,ω)X(rg,rs,ω)S(rs,ω),

(19)

其中，ω為圓頻率，rs為震源的位置，rg為檢波點(diǎn)的位置，S為震源，每一列代表一個震源排列，X(rg,rs,ω)為地下地震波場傳播算子，G(rg,ω)代表檢波器矩陣，代表一個頻率分量檢波器特性，每一行代表一個檢波器排列，P(rg,rs,ω)為接收到的地震數(shù)據(jù).

3.1 稀疏約束下的高效采集測網(wǎng)布置方法

基于地震數(shù)據(jù)采集中的炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)之間的關(guān)系，按照稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)采樣矩陣設(shè)計的要求設(shè)計服從獨(dú)立同分布的隨機(jī)矩陣對震源矩陣S和檢波器矩陣G加以改變，就可以得到不同參數(shù)的地震數(shù)據(jù)觀測系統(tǒng).

3.1.1 規(guī)則炮點(diǎn)、隨機(jī)檢波點(diǎn)(DsRg)高效采集

按照稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)采樣矩陣設(shè)計的要求，設(shè)計檢波器隨機(jī)采樣矩陣Θg∈ng′×ng，其中，ng′為選取的檢波器數(shù)目，且ng′

Pg(rg,rs,ω)=ΘgG(rg,ω)X(rg,rs,ω)S(rs,ω),

(20)

式(20)就是按照規(guī)則布置炮點(diǎn)、隨機(jī)稀疏布置檢波點(diǎn)的方式進(jìn)行采集的數(shù)學(xué)模型，Pg為接收到的地震數(shù)據(jù)，下標(biāo)g表示檢波點(diǎn)隨機(jī)布置，其數(shù)據(jù)矩陣的結(jié)構(gòu)如圖6b所示.

3.1.2 隨機(jī)炮點(diǎn)、規(guī)則檢波點(diǎn)(RsDg)高效采集

按照稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)采樣矩陣設(shè)計的要求，設(shè)計炮點(diǎn)隨機(jī)采樣矩陣為Θs∈ns′×ns，其中，ns′為按照一定的隨機(jī)策略選取的炮點(diǎn)數(shù)目(且ns′

Ps(rg,rs,ω)=G(rg,ω)X(rg,rs,ω)(ΘsS(rs,ω)),

(21)

式(21)就是按照隨機(jī)布置炮點(diǎn)、規(guī)則布置檢波點(diǎn)的方式進(jìn)行采集的數(shù)學(xué)模型，Ps為接收到的地震數(shù)據(jù)，下標(biāo)s表示震源隨機(jī)布置，其數(shù)據(jù)矩陣的結(jié)構(gòu)如圖6c所示.

3.1.3 隨機(jī)炮點(diǎn)、隨機(jī)檢波點(diǎn)(RsRg)高效采集

該采集方式實(shí)際上是前面兩種采集方式的綜合，即對激發(fā)炮數(shù)和檢波器數(shù)目都進(jìn)行隨機(jī)采樣.按照稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)采樣矩陣設(shè)計的要求，設(shè)計檢波器隨機(jī)采樣矩陣Θg∈ng′×ng和炮點(diǎn)隨機(jī)采樣矩陣Θs∈ns′×ns，其中ng′和ns′分別是按照特定的隨機(jī)策略選取的檢波器的數(shù)目和炮點(diǎn)的數(shù)目，且ng′

Psg(rg,rs,ω)=ΘgG(rg,ω)X(rg,rs,ω)(ΘsS(rs,ω)),

(22)

式(22)就是按照隨機(jī)布置炮點(diǎn)、隨機(jī)檢波點(diǎn)的方式進(jìn)行采集的數(shù)學(xué)模型，數(shù)據(jù)矩陣Psg的結(jié)構(gòu)如圖6d所示.

定義DsRg、RsDg 和RsRg高效采集方法的效率參數(shù)μg、μs和μsg如下：

圖6 常規(guī)規(guī)則密集采集和高效采集的地震數(shù)據(jù)矩陣示意圖(a) 常規(guī)規(guī)則密集采集方式;(b) DsRg采集方式;(c) RsDg采集方式;(d) RsRg采集方式.矩陣中黑點(diǎn)表示數(shù)據(jù)矩陣的元素，為某一個頻率成分的復(fù)值；空心圈表示非采樣元素.Fig.6 Schematic diagram of seismic data matrix corresponding to conventional and highly efficient acquisition(a) Conventional acquisition;(b) DsRg acquisition;(c) RsDg acquisition;(d) RsRg acquisition.Black dots represent the elements of the data matrix,one of which is a complex value of a certain frequency component.Hollow circles represent unsampled points.

(23)

該參數(shù)可以從理論上用來描述高效采集方法的優(yōu)勢，參數(shù)值越大，采集效率就越高.

根據(jù)上述高效采集方法的數(shù)學(xué)模型，我們提出使用地震數(shù)據(jù)高效采集的具體步驟如下：

1) 常規(guī)規(guī)則密集測網(wǎng)設(shè)計：根據(jù)勘探目標(biāo)的情況和勘探工作的要求，應(yīng)用常規(guī)的觀測系統(tǒng)設(shè)計方法設(shè)計規(guī)則密集的觀測測網(wǎng)(測線、測點(diǎn)和源線、源點(diǎn))，作為下一步進(jìn)行高效采集測網(wǎng)設(shè)計的基準(zhǔn)測網(wǎng)；

2) 高效采集測網(wǎng)設(shè)計：選擇合適的高效采集方法，并設(shè)置合適的效率參數(shù)；應(yīng)用稀疏約束的隨機(jī)矩陣設(shè)計方法設(shè)計檢波點(diǎn)采樣矩陣和炮點(diǎn)采樣矩陣(或其中之一)，按預(yù)先設(shè)定好的采樣比率對步驟1)設(shè)計的規(guī)則密集網(wǎng)格的檢波點(diǎn)和炮點(diǎn)(或其中之一)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到相應(yīng)類型的非規(guī)則大間距分布的高效采集測網(wǎng)；

3) 執(zhí)行高效采集任務(wù)：按照步驟2)設(shè)計出的高效采集測網(wǎng)進(jìn)行地震數(shù)據(jù)采集，得到相應(yīng)類型的地震數(shù)據(jù).

常規(guī)地震數(shù)據(jù)采集方法的測網(wǎng)是按照Nyquist采樣定理的要求而設(shè)定的規(guī)則密集、且采樣間隔(空間、時間)符合采樣定理的要求的網(wǎng)格，高效采集方法的測網(wǎng)是在上述測網(wǎng)的基礎(chǔ)上通過隨機(jī)抽樣得到的大間距分布的網(wǎng)格，對炮點(diǎn)、檢波點(diǎn)以及兩者同時隨機(jī)布置分別得到了不同的高效采集方法，對于提高地震數(shù)據(jù)采集效率具有重要的意義.

3.2 高效采集地震數(shù)據(jù)的重建

因為觀測系統(tǒng)的差異，通過3.1節(jié)提出的三種采集方法獲得的地震數(shù)據(jù)就具有不同的結(jié)構(gòu)，如何恢復(fù)為規(guī)則密集測網(wǎng)上的地震數(shù)據(jù)是本節(jié)的研究內(nèi)容.

3.2.1 DsRg高效采集地震數(shù)據(jù)重建

相比常規(guī)方法采集到的地震數(shù)據(jù)，使用DsRg高效采集方法采集到的地震數(shù)據(jù)總的炮數(shù)不變，只是在每炮包含的是分布不規(guī)則、隨機(jī)布置稀疏測網(wǎng)上的地震道.該類地震數(shù)據(jù)的重建過程如下(如圖7所示)：

圖7 DsRg高效采集地震數(shù)據(jù)重建流程圖示Fig.7 Flow chart of reconstruction of seismic data from DsRg highly efficient acquisition

1) 根據(jù)檢波點(diǎn)采樣矩陣把高效采集數(shù)據(jù)中缺失道的位置填充為零；

2) 根據(jù)本文稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)重建方法，選擇合適的稀疏變換在共炮域逐炮恢復(fù)各炮缺失的地震道.

3.2.2 RsDg高效采集地震數(shù)據(jù)重建

相比常規(guī)方法采集到的地震數(shù)據(jù)，使用RsDg高效采集方法采集到的地震數(shù)據(jù)總的道數(shù)不變，只是按照分布不規(guī)則、隨機(jī)布置的源點(diǎn)測網(wǎng)激發(fā)了部分炮.該類地震數(shù)據(jù)的重建過程如下(圖8)：

1) 根據(jù)炮點(diǎn)采樣矩陣，把缺失的地震炮集數(shù)據(jù)填充為零，然后通過抽道集把共炮點(diǎn)道集轉(zhuǎn)換為共檢波點(diǎn)道集，此時每個共檢波點(diǎn)道集表現(xiàn)為隨機(jī)缺失數(shù)據(jù)的特征；

2) 根據(jù)本文稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)重建方法，在共檢波點(diǎn)域逐個道集恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)；

3) 把步驟2)得到的完整的共檢波點(diǎn)道集數(shù)據(jù)再通過抽道集轉(zhuǎn)換為共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)，就得到了常規(guī)規(guī)則密集測網(wǎng)上的地震數(shù)據(jù).

圖8 RsDg高效采集地震數(shù)據(jù)重建流程圖示Fig.8 Flow chart of reconstruction of seismic data from RsDg highly efficient acquisition

3.2.3 RsRg高效采集地震數(shù)據(jù)重建

相比常規(guī)方法采集到的地震數(shù)據(jù)，RsRg高效采集方法在分布不規(guī)則的、稀疏炮點(diǎn)和稀疏檢波點(diǎn)測網(wǎng)上激發(fā)了部分炮，并使用部分道接收了極少量的地震數(shù)據(jù).因為RsRg高效采集地震數(shù)據(jù)是在源點(diǎn)網(wǎng)格和檢波點(diǎn)網(wǎng)格上都經(jīng)過隨機(jī)采樣的，因此需要在震源和檢波點(diǎn)兩個方向上進(jìn)行恢復(fù)處理，根據(jù)兩個方向上恢復(fù)次序的不同，高效采集地震數(shù)據(jù)重建過程也就可以分為兩種途徑(圖9)：

方法1，共炮域-共檢波點(diǎn)域重建策略(如圖9虛線框區(qū)域所示)，具體步驟如下：

1) 根據(jù)檢波點(diǎn)采樣矩陣，把缺失的地震道填充為零，并根據(jù)第2.3節(jié)講述的稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)重建方法在共炮域逐個炮集恢復(fù)缺失的地震道；

圖9 RsRg高效采集地震數(shù)據(jù)重建流程圖示其中，虛線框包圍的區(qū)域表示先在共炮域恢復(fù)，然后在共檢波點(diǎn)域恢復(fù)的方法，點(diǎn)劃線框包圍的區(qū)域表示先在檢波點(diǎn)域恢復(fù)，然后在共炮域恢復(fù)的方法.Fig.9 Flow chart of reconstruction of seismic data from RsRg high efficient acquisitionThe area surrounded by dashed box represents the recovery firstly in common source domain and then in the common detector domain.Dotted box denotes the recovery in the reverse order.

2) 根據(jù)炮點(diǎn)采樣矩陣，把步驟1)的恢復(fù)結(jié)果中缺失炮數(shù)據(jù)填充為零，并通過抽道集轉(zhuǎn)換為共檢波點(diǎn)道集，此時各共檢波點(diǎn)道集數(shù)據(jù)表現(xiàn)為隨機(jī)缺炮的特征；

3) 再使用稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)重建方法，在共檢波點(diǎn)域逐個道集恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)；

4) 通過抽道集把步驟3)得到共檢波點(diǎn)道集數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)，即得到了重建地震數(shù)據(jù).

方法2，共檢波點(diǎn)域-共炮域重建(如圖9點(diǎn)劃線框區(qū)域所示)，具體步驟如下：

1) 根據(jù)炮點(diǎn)采樣矩陣，把RsRg高效采集數(shù)據(jù)的缺失炮集數(shù)據(jù)填充為零，并通過抽道集轉(zhuǎn)換為共檢波點(diǎn)道集數(shù)據(jù)；此時每個共檢波點(diǎn)道集表現(xiàn)為隨機(jī)缺失數(shù)據(jù)的特征；

2) 使用稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)重建方法，在共檢波點(diǎn)域逐個道集恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)；

3) 根據(jù)檢波點(diǎn)采樣矩陣，把步驟2)得到的數(shù)據(jù)中缺失道填充為零，并通過抽道集轉(zhuǎn)換為共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)；

4) 再使用稀疏性約束的地震數(shù)據(jù)重建方法，在共炮域逐個炮集恢復(fù)缺失的地震道，即得到重建地震數(shù)據(jù).

第二步重建是以第一步為基礎(chǔ)的，重建次序的確定要以第一步得到好的恢復(fù)結(jié)果為前提，可以依據(jù)采樣數(shù)據(jù)的采樣比(炮域或道域)以及統(tǒng)計稀疏性(炮域或道域)來確定.一般來說，統(tǒng)計稀疏性越好、采樣比越高、采樣的樣本基數(shù)越大對恢復(fù)越有利.

3.3 高效采集地震數(shù)據(jù)的偏移成像

為證明本文提出的重建方法的有效性，本文使用波動方程疊前偏移成像方法對高效采集地震數(shù)據(jù)及其重建地震數(shù)據(jù)的成像效果進(jìn)行對比分析，處理流程如圖10所示.

圖10 高效采集地震數(shù)據(jù)偏移成像策略示意圖Fig.10 Sketch of migration imaging strategy for seismic data from highly efficient acquisition

從高效采集過程來看，高效采集在常規(guī)規(guī)則密集震源測網(wǎng)和檢波點(diǎn)測網(wǎng)(或者其中之一)上做了隨機(jī)采樣，只是炮集數(shù)量以及每個炮集中道的數(shù)量有一定的減少，并未從本質(zhì)上影響到地震數(shù)據(jù)采集的三個過程：1)震源激發(fā)、2)波場傳播以及3)地震數(shù)據(jù)接收.因此高效采集數(shù)據(jù)和常規(guī)規(guī)則密集地震數(shù)據(jù)的偏移成像的流程是一致的.

設(shè)rs為震源位置，ng為常規(guī)觀測系統(tǒng)總的檢波點(diǎn)個數(shù)，rg為檢波點(diǎn)的位置，r=(x,z)為地下成像點(diǎn)位置.深度方向上用下行波方程正向外推震源波場，即利用波場算子(陳生昌等,2001)W(r,rs)將震源波場從rs傳播到r；同時用上行波方程反向外推記錄波場，即利用W*(r,rg)將檢波器波場從rg反向傳播到r.經(jīng)過兩步外推，也就獲得了位置r上的震源波場S(r,ω)和檢波器波場P(r,ω),這個過程可以表示為：

(24)

其中，ω表示頻率，*表示復(fù)共軛.應(yīng)用時間一致性成像原理提取偏移成像結(jié)果，則位置r處的像可以由(25)式給出：

(25)

式中，Re表示取實(shí)部運(yùn)算，I(r) 表示位置r處的成像.

由以上可知，高效采集地震數(shù)據(jù)雖然不完整，但仍然可以按照常規(guī)方法進(jìn)行外推并成像，只需要按照實(shí)際情況在偏移過程中確定實(shí)際采集數(shù)據(jù)的震源和檢波點(diǎn)的位置即可.

4 地震數(shù)據(jù)高效采集數(shù)值試驗

本節(jié)將基于理論模型對高效采集方法理論進(jìn)行數(shù)值試驗，以檢驗本文高效采集方法的可行性與有效性.

4.1 試驗?zāi)Ｐ?/p>

Marmousi模型是法國石油研究院推出的國際標(biāo)準(zhǔn)模型數(shù)據(jù)(速度模型如圖11所示)，該模型具有典型的復(fù)雜斷層構(gòu)造，對實(shí)際勘探區(qū)非常具有代表性.本文基于此數(shù)據(jù)開展高效采集模型試驗以檢驗方法的有效性和適應(yīng)性.該模型大小為nx=737、nz=750，網(wǎng)格間距dx=12.5 m、dz=4 m.

按照第2節(jié)所述的高效地震數(shù)據(jù)采集的具體操作步驟，首先進(jìn)行常規(guī)觀測測網(wǎng)的設(shè)計：總炮數(shù)為400，炮間距為12.5 m，第一炮位置為3375 m；采用固定檢波器的觀測方式，第一個檢波器的位置為2750 m，檢波點(diǎn)數(shù)為500，道間距為12.5 m，排列長度為6237.5 m，觀測范圍如圖11中線框區(qū)域.在此基礎(chǔ)上進(jìn)行后續(xù)高效采集方法的數(shù)據(jù)采集與數(shù)據(jù)重建相關(guān)試驗.

圖11 Marmousi 速度模型Fig.11 Marmousi velocity model

圖12 基于圖11所示Marmousi模型的DsRg高效采集地震數(shù)據(jù)及其重建結(jié)果規(guī)則網(wǎng)格為400炮、500道，稀疏網(wǎng)格為400炮、250道；檢波點(diǎn)的采樣率是50%，整體重建信噪比為13.25 dB.(A)采集的251～255炮記錄；(B)400炮數(shù)據(jù)的恢復(fù)信噪比.最高為14.55 dB，最低為11.93 dB，平均為13.25 dB；(C)圖 12A中白色線框所示炮(第251炮)重建結(jié)果，其中，(C—a)為采集數(shù)據(jù)，(C—b)為重建結(jié)果，重建信噪比為14.46 dB，(C—c)為對應(yīng)的常規(guī)方法采集的炮數(shù)據(jù)，(C—d)為重建誤差.Fig.12 Seismic data from DsRg highly efficient acquisition and its reconstruction results based on Marmousi model shown in Fig.11 Regular acquisition network comprise 400 sources and 500 receivers.Sparse acquisition network consists of 400 sources and 250 receivers.Receiver sampling rate is 50%.Overall recovery SNR is 13.25 dB.(A) Acquired data of shots 251～255.(B) Recovered SNR of 400 shots data with the maximum of 14.55 dB,minimum of 11.93 dB and average of 13.25 dB.(C) Shot shown as white rectangle in Fig.12A (shot 251) and its reconstruction results,where (C—a) is acquisition data,(C—b) is reconstruction results (SNR:14.46 dB),(C—c) is the conventional seismic data,(C—d) is reconstruction error.

圖13 DsRg高效采集數(shù)據(jù)成像試驗結(jié)果(a) 高效采集數(shù)據(jù)成像結(jié)果;(b) 重建數(shù)據(jù)成像結(jié)果;(c) 常規(guī)規(guī)則密集數(shù)據(jù)成像結(jié)果.其中，規(guī)則網(wǎng)格為400炮、500道，稀疏網(wǎng)格為400炮、250道，檢波點(diǎn)的采樣率是50%.Fig.13 Imaging tests of DsRg highly efficient acquisition(a) Imaging result of DsRg acquisition data.(b) Imaging result of reconstruction data.(c) Imaging result of conventional data.Regular acquisition network is made up of 400 sources and 500 receivers.Sparse acquisition network is constituted by 400 sources and 250 receivers.Receiver sampling rate is 50%.

圖14 基于圖11所示Marmousi模型的RsDg高效采集地震數(shù)據(jù)及其重建結(jié)果規(guī)則網(wǎng)格為400炮、500道，稀疏網(wǎng)格為200炮、500道，炮采樣率是50%，整體重建信噪比為10.05 dB.(A)采集的176和177炮，對應(yīng)常規(guī)采集的350 和 351炮，圖中空白炮為非采集炮；(B)完全重建的200炮數(shù)據(jù)的信噪比；最高為11.27 dB，最低為8.08 dB，平均為10.05 dB；(C)圖14A中白色線框所示的炮的重建情況(對應(yīng)第349炮常規(guī)地震數(shù)據(jù))，其中(C—a)為非采集炮數(shù)據(jù)，(C—b)為重建結(jié)果，重建信噪比為10.77 dB，(C—c)為對應(yīng)的常規(guī)方法采集的炮數(shù)據(jù)，(C—d)為重建誤差.Fig.14 Seismic data form RsDg efficient acquisition and its reconstruction results based on Marmousi model shown in Fig.11 Regular acquisition network is constituted by 400 sources and 500 receivers.Sparse acquisition network is constituted by 200 sources and 500 receivers.Source sampling rate is 50%.Overall recovery SNR is 10.05 dB.(A) Acquired data of shots 176 and 177 corresponding to conventional shots 350 and 351.Blank shot represents unacquired shot.(B) SNRs of 200-shot data reconstructed completely,with maximum of 11.27 dB,minimum of 8.08 dB and average of 10.05 dB.(C) Reconstruction of unacquired shot in white rectangle of Fig.14A (corresponding to conventional shot 349).(C—a) Unacquired data，(C—b) Reconstruction result with SNR 10.77 dB，(C—c) Conventional seismic data,(C—d) Reconstruction error.

圖15 RsDg高效采集數(shù)據(jù)成像試驗結(jié)果(a) 高效采集數(shù)據(jù)成像結(jié)果;(b) 重建數(shù)據(jù)成像結(jié)果;(c)常規(guī)規(guī)則密集數(shù)據(jù)成像結(jié)果.其中，規(guī)則網(wǎng)格為400炮、500道，稀疏網(wǎng)格為200炮、500道，炮的采樣率是50%.Fig.15 Imaging tests of RsDg seismic data(a) Imaging result of highly efficient acquired data.(b) Imaging result of reconstructed data.(c) Imaging result of conventional data.Regular acquisition network is constituted by 400 sources and 500 receivers.Sparse acquisition network is constituted by200 sources and 500 receivers.Source sampling rate is 50%.

為了表示采集數(shù)據(jù)的重建效果，這里定義第i個道集的恢復(fù)信噪比SNRi為：

(26)

為了表示多個道集的恢復(fù)效果(多個共炮道集或多個共檢波點(diǎn)道集)，這里定義整體恢復(fù)信噪比SNRt如下：

(27)

4.2 DsRg高效采集試驗

本節(jié)基于Marmousi模型開展DsRg高效采集試驗.常規(guī)密集測網(wǎng)如4.1節(jié)所述，按照第2.2節(jié)所述理論，基于改進(jìn)的分段采樣方法設(shè)計DsRg高效采集網(wǎng)格如下：源點(diǎn)網(wǎng)格不變，總的激發(fā)炮數(shù)還是400炮，在規(guī)則檢波點(diǎn)網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，隨機(jī)布置50%的地震道(即250道)，效率系數(shù)μg=2，提高了數(shù)據(jù)采集的效率.

使用DsRg高效采集方法進(jìn)行采集，得到了400炮、每炮含隨機(jī)布置250道的高效采集地震數(shù)據(jù)，圖12A顯示了其中第251～255炮數(shù)據(jù)，可以看到DsRg高效采集地震數(shù)據(jù)缺道比較嚴(yán)重，造成了大量同相軸間斷.按照本文3.2.1節(jié)所述的DsRg高效采集地震數(shù)據(jù)的重建方法對400炮隨機(jī)采樣的地震數(shù)據(jù)逐炮進(jìn)行恢復(fù)，并最終得出所有炮的恢復(fù)結(jié)果，總體恢復(fù)信噪比如圖12B所示.其中，第251炮(即圖12A中白色線框所示的炮)的恢復(fù)情況如圖 12C所示，可以看出采集到的含缺失道的地震數(shù)據(jù)經(jīng)過重建處理得到了很好地重建，信噪比達(dá)到了14.46 dB，接近于常規(guī)采集地震數(shù)據(jù)，在局部大幅值區(qū)域誤差稍大.從圖12B和圖12C所示的恢復(fù)情況可以看出，DsRg高效采集在采樣率為50%的情況下，利用本文重建方法仍得到了可以和常規(guī)方法采集數(shù)據(jù)十分接近的結(jié)果.

為了進(jìn)一步驗證DsRg采集方法和本文恢復(fù)方法的有效性，這里對高效采樣數(shù)據(jù)和恢復(fù)數(shù)據(jù)進(jìn)行了偏移成像處理，結(jié)果分別如圖13a、13b所示，對比常規(guī)地震數(shù)據(jù)偏移成像結(jié)果(圖13c)可以看出：1)由于缺少有效的信息支撐，高效采集數(shù)據(jù)的直接偏移成像結(jié)果在淺層會有大量隨機(jī)假象產(chǎn)生(參見圖13a紅色線框區(qū)域)，而重建數(shù)據(jù)補(bǔ)充了缺失數(shù)據(jù)信息，增強(qiáng)了整體有效信息，其偏移成像結(jié)果更接近常規(guī)地震數(shù)據(jù)成像結(jié)果；2)高效采集數(shù)據(jù)、重建數(shù)據(jù)和常規(guī)采集數(shù)據(jù)的偏移成像結(jié)果在深層差別不大，主要是因為通過地震波場在深層有著更多的疊加，從而降低了隨機(jī)缺失數(shù)據(jù)對成像結(jié)果的影響.由此可知，從成像效果上也可以證明DsRg高效采集方法具有理論與實(shí)際可行性.

4.3 RsDg高效采集試驗

本節(jié)基于Marmousi模型開展RsDg高效采集試驗.RsDg高效采集方法實(shí)質(zhì)上是在常規(guī)采集方法的基礎(chǔ)上隨機(jī)布置了少量的炮點(diǎn)，根據(jù)波場的互易原理，RsDg和DsRg高效采集數(shù)據(jù)的恢復(fù)方法具有一致性.常規(guī)密集測網(wǎng)如4.1節(jié)所述，按照本文2.2節(jié)的理論，基于改進(jìn)的分段采樣方法設(shè)計RsDg高效采集網(wǎng)格如下：在密集源點(diǎn)網(wǎng)格(共400炮)的基礎(chǔ)上隨機(jī)激發(fā)200炮，同時保持500接收道不變，效率系數(shù)μs=2，大大提高地震數(shù)據(jù)采集效率.

使用RsDg高效采集方法進(jìn)行采集，得到了隨機(jī)激發(fā)的200炮、每炮含500道的高效采集地震數(shù)據(jù)，其中第176和177炮如圖14A所示(這兩炮對應(yīng)常規(guī)采集的350 和 351炮；作為對比，沒有采集的空白炮也顯示在相應(yīng)的位置上).按照本文3.2.2節(jié)所述的RsDg高效采集地震數(shù)據(jù)的重建策略對本次采集數(shù)據(jù)進(jìn)行重建處理，得到了缺失的200炮地震數(shù)據(jù)，信噪比如圖14B所示.以圖14A中白色線框所示的缺失炮為例(對應(yīng)常規(guī)采集數(shù)據(jù)的第349炮)，重建結(jié)果如圖14C—b所示，和圖14C—c所示的常規(guī)規(guī)則地震數(shù)據(jù)非常接近，信噪比為10.77 dB，圖14C—d為恢復(fù)誤差.從圖14B和圖14C所示的恢復(fù)結(jié)果中可以看出，通過50%的激發(fā)炮得到的重建結(jié)果(完全重建)和常規(guī)直接采集數(shù)據(jù)仍具有很高的一致性，證明了DsRg高效采集方法和本文恢復(fù)方法也是可行的.

接著，再對高效采集數(shù)據(jù)和恢復(fù)數(shù)據(jù)進(jìn)行偏移成像處理，結(jié)果分別如圖15a、15b所示，通過和圖15c所示的常規(guī)地震數(shù)據(jù)偏移成像結(jié)果比較可以看出：1)在成像剖面的淺層，高效采集數(shù)據(jù)的直接成像結(jié)果中會有大量隨機(jī)假象產(chǎn)生(參見圖15a紅色線框區(qū)域)，而重建數(shù)據(jù)的偏移成像結(jié)果中這些假象被大大壓制(甚至消除)，更接近常規(guī)地震數(shù)據(jù)成像結(jié)果；2)采樣數(shù)據(jù)和恢復(fù)數(shù)據(jù)在深層都可以得到比較好的成像效果.由此可知，本節(jié)偏移成像試驗取得了和4.2節(jié)DsRg高效采集地震數(shù)據(jù)成像相似的結(jié)論，即隨機(jī)布置炮點(diǎn)或檢波點(diǎn)造成了嚴(yán)重的采集數(shù)據(jù)的缺失，都會在成像結(jié)果中造成假象，而恢復(fù)數(shù)據(jù)成像與常規(guī)地震數(shù)據(jù)成像更為接近，效果較好.

4.4 RsRg高效采集試驗

本節(jié)基于Marmousi模型開展RsRg高效采集試驗.常規(guī)密集測網(wǎng)如4.1節(jié)所述，按照第2.2節(jié)所述理論，基于改進(jìn)的分段采樣方法設(shè)計RsRg高效采集網(wǎng)格如下：在密集測網(wǎng)網(wǎng)格(400炮、500道)的基礎(chǔ)上隨機(jī)激發(fā)200炮、隨機(jī)布置250道檢波器，效率系數(shù)μsg=4，極大地提高了地震數(shù)據(jù)采集的效率.

使用RsRg高效采集方法進(jìn)行采集，得到了隨機(jī)激發(fā)的200炮、每炮含隨機(jī)布置的250道的高效采集地震數(shù)據(jù)，其中第174和175炮如圖16A所示，這兩炮對應(yīng)常規(guī)采集的349 和 352炮(空白炮表示沒有采集，但作了顯示).根據(jù)地震數(shù)據(jù)的互易原理，共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)和共檢波點(diǎn)道集數(shù)據(jù)具有相同的傳播特性，因而在同一種稀疏變換中具有相同的稀疏度；在炮和檢波器采樣率一致(都為50%)的情況下，鑒于共炮域的采樣基數(shù)大于共檢波點(diǎn)域的采樣基數(shù)，這里選擇先進(jìn)行炮域恢復(fù)再進(jìn)行檢波點(diǎn)域恢復(fù)的重建順序.使用本文3.2.3節(jié)所述的RsRg高效采集地震數(shù)據(jù)的重建方法對本次采集數(shù)據(jù)進(jìn)行重建處理，恢復(fù)效果可以從激發(fā)炮和完全重建炮兩類數(shù)據(jù)來分析，200激發(fā)炮記錄和200完全重建炮記錄的恢復(fù)信噪比如圖16B和16C所示，其中第173激發(fā)炮(即圖16A中紅色線框所示的炮，對應(yīng)第352炮常規(guī)數(shù)據(jù))的恢復(fù)結(jié)果見圖16D，完全重建炮(即圖16A中白色線框所示的炮，對應(yīng)第349炮常規(guī)數(shù)據(jù))的恢復(fù)情況見圖16E.從恢復(fù)結(jié)果中可以看出，激發(fā)炮因為包含了部分?jǐn)?shù)據(jù)信息(隨機(jī)布置的250道)，恢復(fù)效果比較好，而完全重建炮的恢復(fù)效果稍微差一些(特別是大幅值同相軸附近).由以上可知，25%的整體采樣率的RsRg高效采集方法大大提高了采集效率，整體平均恢復(fù)信噪比達(dá)到了9.68 dB，和前述試驗類似，在局部大幅值同相軸附近恢復(fù)誤差較大，從而驗證了RsRg高效采集方法的優(yōu)勢以及實(shí)際可操作性.

圖16 基于圖11所示Marmousi模型的RsRg高效采集地震數(shù)據(jù)及其重建結(jié)果規(guī)則網(wǎng)格為400炮、500道，稀疏網(wǎng)格為200炮、250道，炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)的采樣率都是50%.在25%數(shù)據(jù)整體采樣率的情況下，整體平均恢復(fù)信噪比為9.68 dB.(A)第174和175炮，對應(yīng)常規(guī)采集的349 和 352炮，圖中空白炮為非采集炮，為便于比較這里也做了顯示；(B)RsRg高效采集數(shù)據(jù)激發(fā)炮恢復(fù)試驗恢復(fù)信噪比結(jié)果：最高為14.60 dB，最低為12.21 dB，平均為13.22 dB；(C)RsRg高效采集數(shù)據(jù)非激發(fā)炮恢復(fù)試驗恢復(fù)信噪比結(jié)果：最高為8.63 dB，最低為6.70 dB，平均為7.77 dB；(D)RsRg高效采集地震數(shù)據(jù)(隨機(jī)缺道地震數(shù)據(jù))的重建結(jié)果(對應(yīng)第352炮常規(guī)地震數(shù)據(jù))，其中，(D—a)為非采集炮數(shù)據(jù)(圖16A中紅色線框所示)，(D—b)為(D—a)的重建結(jié)果，(D—c)為常規(guī)方法采集的炮，(D—d)為(D—b)的恢復(fù)誤差，恢復(fù)信噪比為14.53 dB；(E)RsRg高效采集地震數(shù)據(jù)對非采樣地震數(shù)據(jù)的重建結(jié)果(對應(yīng)第349炮常規(guī)地震數(shù)據(jù))，(E—a)為非采集炮數(shù)據(jù)(圖16A中白色線框所示)，(E—b)為重建結(jié)果，(E—c)為常規(guī)方法采集的炮，(E—d)為(E—b)的恢復(fù)誤差，恢復(fù)信噪比為8.56 dB.Fig.16 Seismic data from RsRg highly efficient acquisition and its reconstruction results based on Marmousi model shown in Fig.11 Regular acquisition network is constituted by 400 sources and 500 receivers.Sparse acquisition network is constituted by 200 sources and 250 receivers.Both source and receiver sampling rates are 50%.Overall recovery SNR is 9.68 dB in the condition of 25% sampling rate.(A) RsDg seismic data of shots 174 and 175,corresponding to shots 349 and 352 of conventional data.Blank data is shown for contrast.(B) SNRs of recovered RsRg data with maximum of 14.60 dB,minimum of 12.21 dB and average of 13.22 dB.(C) SNRs of recovered DsRg data with maximum of 8.63 dB,minimum of 6.70 dB and average of 7.77 dB.(D) RsRg data (red rectangle shown in Fig.16A,corresponding to conventional shot 352) and its reconstruction results.(D—a) Unacquired data，(D—b) Reconstruction result of (D—a)，(D—c) Conventional seismic data，(D—d) Reconstruction error.The recovery SNR is 14.53 dB.(E) Blank shot 349 (unacquired,white rectangle in Fig.16A) and its reconstruction results.(E—a) Unacquired data，(E—b) Reconstruction result of (E—a)，(E—c) Conventional seismic data，(E—d) Reconstruction error.The recovery SNR is 8.56 dB.

和前面兩個試驗一樣，這里也對高效采樣數(shù)據(jù)和恢復(fù)數(shù)據(jù)進(jìn)行了偏移成像處理，以進(jìn)一步檢驗高效采集和重建算法的效果.所有成像結(jié)果見圖17.從成像結(jié)果中可以看出：1)高效采集地震數(shù)據(jù)的淺層有假象產(chǎn)生，且比前面DsRg、RsDg兩種高效采集數(shù)據(jù)的直接成像結(jié)果中的假象更嚴(yán)重(見圖中紅色方框區(qū)域)；2)相比高效采集數(shù)據(jù)的直接成像，恢復(fù)數(shù)據(jù)的成像結(jié)果明顯得到了改善，殘留假象得到了部分壓制；3)本方法由于采集到的數(shù)據(jù)比DsRg、RsDg兩種高效采集方法更少，因而重建效果及其成像效果也有所下降.由此也可以看出RsRg高效采集方法具有一定的可行性，但在實(shí)際高效采集中一定要注意采集效率和恢復(fù)效果的平衡.

5 結(jié)論

針對當(dāng)前地震數(shù)據(jù)采集中面臨的低效率、高成本問題，本文開展了地震數(shù)據(jù)高效采集方法理論研究，在壓縮感知理論的基礎(chǔ)上，對地震數(shù)據(jù)高效采集方法理論及其具體實(shí)施策略做出了相關(guān)探索研究.本文從地震波場的傳播理論出發(fā)，研究并給出了地震數(shù)據(jù)具有稀疏性的數(shù)學(xué)物理依據(jù)，從而表明基于Nyquist采樣定理的常規(guī)地震數(shù)據(jù)采集方法是以地震數(shù)據(jù)頻帶有限且頻譜是稠密地分布在其頻帶范圍內(nèi)為基礎(chǔ)的，不是最高效的采集方法.在稀疏性先驗條件下，本文提出了改進(jìn)的分段采樣方法用于指導(dǎo)實(shí)際地震數(shù)據(jù)高效采集，即利用稀疏約束的隨機(jī)采樣方法改變常規(guī)規(guī)則密集測網(wǎng)中炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)(或二者之一)的布置方式，提出了三種高效采集測網(wǎng)設(shè)計方案(DsRg、RsDg和RsRg)及其對應(yīng)采集數(shù)據(jù)的重建方案，從1)重建數(shù)據(jù)和常規(guī)采集地震數(shù)據(jù)的對比、2)高效采集地震數(shù)據(jù)、重建地震數(shù)據(jù)和常規(guī)規(guī)則密集地震數(shù)據(jù)的成像結(jié)果等兩個方面的對比中證明了本文高效采集方案(包括數(shù)據(jù)重建方案)的可行性和有效性.相比常規(guī)規(guī)則密集采樣，DsRg高效采集可以減少布置與移動檢波器的工作量，RsDg高效采集可以減少布置與移動震源的工作量，而RsRg高效采集則可以同時減少布置檢波點(diǎn)和炮點(diǎn)的時間.三種高效采集方法不僅可以提高采集效率，而且可以降低存儲與傳輸?shù)卣饠?shù)據(jù)的成本，從而可以大大降低勘探成本.

圖17 RsRg高效采集數(shù)據(jù)單程波偏移成像結(jié)果(a) 高效采集數(shù)據(jù)成像結(jié)果;(b) 重建數(shù)據(jù)成像結(jié)果;(c) 常規(guī)規(guī)則密集數(shù)據(jù)成像結(jié)果.規(guī)則網(wǎng)格為400炮、500道，稀疏網(wǎng)格為200炮、250道，炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)的采樣率都是50%.Fig.17 Migration imaging results of RsRg highly efficient acquisition data(a) Imaging result of RsRg acquisition data.(b) Imaging result of reconstruction data.(c) Imaging result of conventional data.The regular acquisition network is constituted by 400 sources and 500 receivers.Sparse acquisition network is constituted by 200 sources and 250 receivers.Both the source sampling rate and receiver sampling rates are 50%.

從DsRg、RsDg和RsRg的測網(wǎng)布置、數(shù)據(jù)重建方法以及模型試驗結(jié)果可知，三種高效采集方法具有明顯的優(yōu)缺點(diǎn)：1)數(shù)據(jù)采集方面，DsRg、RsDg都是在一個方向上進(jìn)行稀疏采集，而RsRg是在兩個方向上同時進(jìn)行稀疏采集，因而后者的復(fù)雜度較高，在測網(wǎng)設(shè)計時需要考慮實(shí)際探區(qū)狀況；現(xiàn)有的震源激發(fā)和檢波器布置技術(shù)水平的差異也會在一定程度上影響三種高效采集方法在提高采集效率上的作用；由于實(shí)際勘探中不可能在一個方向上無限稀疏，因而RsRg方法在實(shí)際應(yīng)用中具有更高效的潛力；2)數(shù)據(jù)處理方面，根據(jù)地震波場的互易性原理，DsRg、RsDg采集數(shù)據(jù)重建處理在一定程度上具有一致性；RsRg數(shù)據(jù)重建需要在兩個方向上進(jìn)行，并且需要根據(jù)采樣數(shù)據(jù)的采樣比(炮域或道域)以及統(tǒng)計稀疏性(炮域或道域)來確定重建次序，計算復(fù)雜度較高.

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(本文編輯 何燕)

Study on highly efficient seismic data acquisition method and theory based on sparsity constraint

WANG Han-Chuang1,2,TAO Chun-Hui1,2,CHEN Sheng-Chang3*,QIU Lei1,2,REN Hao-Ran3,ZHOU Hua-Min3

1 Second Institute of Oceanography,State Oceanic Administration,Hangzhou 310012，China2 Key Laboratory of Submarine Geosciences,State Oceanic Administration,Hangzhou 310012，China3 School of Earth Sciences,Zhejiang University,Hangzhou 310027，China

With the high-density,high-fold and wide-azimuth seismic data acquisition methods being widely used to deal with the increasingly complex and sophisticated situations of exploration targets,the acquisition period is becoming longer and longer and the acquisition cost is becoming higher and higher than before.To tackle the above problems,we carry out the study on the highly efficient seismic data acquisition method based on the theory of compressive sensing.We investigate the mathematical and physical foundation of seismic data′s sparsity and the corresponding sparse representation method according to the general formula of wave equation′s solutions.Under the guidance of sparsity prior information,we present an improved piecewise random sampling method with a spectral characteristics of “blue noises”.Then,the reconstruction approaches with the sparsity constraint are developed based on optimization theory.Sparse representation theory,highly efficient acquisition methods and reconstruction methods with sparsity constraint of seismic data have been developed (or improved) and the improved theory of highly efficient seismic data acquisition is established.Three highly efficient acquisition networks are designed by applying the random sampling scheme with sparsity constraint to change the regular and dense layout of sources and detectors in the conventional acquisition networks.Reconstruction procedures (including three approaches corresponding to the data on the efficient acquisition networks) are proposed which can reconstruct the seismic data in the highly efficient acquisition networks to the regular and dense acquisition networks.It satisfies the requirements of the subsequent processing in accordance with the existing conventional means.Furthermore,the precision of reconstruction,the contrast of the acquisition data′s imaging results and reconstruction data are taken to validate the reconstruction methods.The numerical examples on the Marmousi model show that the theoretical framework of highly efficient seismic data acquisition can largely improve the efficiency of the current seismic data acquisition and reduce the exploration costs,indicating great practical values in the future seismic exploration.

Exploration cost;Sparsity constraint;Improved piecewise-random sampling;High efficient acquisition;Data reconstruction

王漢闖,陶春輝,陳生昌等.2016.基于稀疏約束的地震數(shù)據(jù)高效采集方法理論研究.地球物理學(xué)報，59(11):4246-4265,

10.6038/cjg20161126.

Wang H C,Tao C H,Chen S C,et al.2016.Study on highly efficient seismic data acquisition method and theory based on sparsity constraint.Chinese J.Geophys.(in Chinese),59(11):4246-4265,doi:10.6038/cjg20161126.

國家自然科學(xué)基金項目(41374001,41506078)、國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)(2012CB417305)、中國大洋專項(DY125-11-01,DY125-11-05)和中央級公益性科研院所基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(JG1608)資助.

王漢闖,男,1986年生,助理研究員,主要從事海洋地球物理和勘探地球物理研究.E-mail:wanghc@sio.org.cn

*通訊作者 陳生昌,男,1965年生,教授,博士生導(dǎo)師,主要從事勘探地球物理和計算地球物理研究.E-mail:chenshengc@zju.edu.cn

10.6038/cjg20161126

P631

2015-10-30，2016-10-13收修定稿