王維松
利用函數(shù)知識(shí)巧解規(guī)律探索題
王維松
規(guī)律探索問題是中考常考題型,類型比較多,此類題型解法也多種多樣,有一些規(guī)律探索問題根據(jù)數(shù)字規(guī)律,巧用函數(shù)知識(shí)可以很快解決.其關(guān)鍵是把變量和序號(hào)放在一起加以比較,就容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.
例1有一列數(shù):8,14,20,26,32,……,則第20個(gè)數(shù)是_______.
【解析】第一個(gè)數(shù)是8,由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A,則A(1,8);
第二個(gè)數(shù)是14,由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B,則B(2,14);
第三個(gè)數(shù)是20,由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C,則C(3,20).
設(shè)第n個(gè)數(shù)為y=kn+b,
把A(1,8),B(2,14)分別代入y=kn+b中得:解得:k=6,b=2,用C點(diǎn)檢驗(yàn),符合題意,正確.
所以規(guī)律為y=6n+2.取n=20,則y=122.
【點(diǎn)評(píng)】我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)差相等,便可運(yùn)用一次函數(shù)求解規(guī)律探索問題,只要把序號(hào)作為自變量,每個(gè)變量作為函數(shù)值,用待定系數(shù)法就可以解決.
例2用邊長(zhǎng)為1 cm的小正方形搭成如下的塔狀圖形,則第n次所搭圖形的周長(zhǎng)是_______cm(用含n的代數(shù)式表示).
【解析】第一個(gè)圖周長(zhǎng)是4 cm,由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A,則A(1,4);
第二個(gè)圖周長(zhǎng)是8 cm,由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B,則B(2,8);
第三個(gè)圖周長(zhǎng)是12 cm,由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C,則C(3,12).
設(shè)第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)為y=kn+b,
把A(1,4),C(3,12)分別代入y=kn+b中得:解得:k=4,b=0,
用B點(diǎn)檢驗(yàn),符合題意,正確.
所以規(guī)律為y=4n.
即第n次所搭圖形的周長(zhǎng)是4n cm.
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于此類型的題目,我們應(yīng)該先觀察圖形排列順序的規(guī)律,然后把它們轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)據(jù),并根據(jù)規(guī)律用函數(shù)模型表示圖形的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律加以解答.
例3有一列數(shù)1,3,6,10,15,21,……,第50個(gè)數(shù)是_______.
【解析】本題中數(shù)列的數(shù)字,不容易發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律,我們不妨利用函數(shù)的思想去試一試.
當(dāng)序號(hào)為1時(shí),對(duì)應(yīng)的值是1,由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A,則A(1,1);
當(dāng)序號(hào)為2時(shí),對(duì)應(yīng)的值是3,由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B,則B(2,3);
當(dāng)序號(hào)為3時(shí),對(duì)應(yīng)的值是6,由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C,則C(3,6).
對(duì)應(yīng)的數(shù)值y是序號(hào)n的二次函數(shù),因此,我們不妨設(shè)y=an2+bn+c.
把A(1,1),B(2,3),C(3,6)分別代入y=an2+bn+c中,得:
檢驗(yàn):當(dāng)x=4時(shí),y=10,正確.
∴第50個(gè)數(shù)是1275.
【點(diǎn)評(píng)】一組數(shù)據(jù),每相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)作差得到的新數(shù)據(jù)等差,如果是4組以上的數(shù)據(jù),就可以任取三個(gè)數(shù)據(jù),用函數(shù)關(guān)系y= ax2+bx+c列出方程組,分別求出a、b、c的值,再將第四組數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證,如果不正確,說明不能用函數(shù)找規(guī)律.
例4下圖中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為1,5,12,22,……被稱為五角形數(shù),若按此規(guī)律繼續(xù)下去,則第n個(gè)五角形數(shù)m是_______.
【解析】觀察圖形的序號(hào)與點(diǎn)數(shù)有下列關(guān)系:
序號(hào):1234……
點(diǎn)總數(shù):151222……
設(shè)m與n的函數(shù)解析式是m=an2+bn+c
【點(diǎn)評(píng)】解題時(shí),如果題中隱去了序列號(hào),要加上序列號(hào),以便列出方程組求解.
例5觀察下列圖形(每幅圖中最小的三角形都是全等的),請(qǐng)寫出第n個(gè)圖中最小的三角形的個(gè)數(shù)有()個(gè).
A.4nB.3n-2
C.n4D.4n-1
【解析】觀察本圖形,會(huì)發(fā)現(xiàn)序號(hào)與三角形個(gè)數(shù)關(guān)系十分復(fù)雜,但根據(jù)所給選項(xiàng)知道結(jié)果是冪的形式,且呈現(xiàn)以下規(guī)律:
序號(hào):1234……
點(diǎn)總數(shù):1222426……
設(shè)三角形的個(gè)數(shù)為y=2an+b,代入上述兩組數(shù)據(jù),得
解這個(gè)方程組得:a=2,b=-2,
檢驗(yàn):當(dāng)x=3時(shí),y=16,正確.
∴第n個(gè)圖中最小的三角形的個(gè)數(shù)為y=22n-2=4n-1,選D.
【點(diǎn)評(píng)】一般地運(yùn)用an類型函數(shù)求解的“找規(guī)律”題,我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)商相等.
(作者單位:江蘇省宿遷市鐘吾國(guó)際學(xué)校)