宋秋紅， 王皓輝， 徐少蓉， 楊紹杰

(1. 上海海洋大學工程學院，上海 201306；2. 上海彭浦機械廠有限公司，上海 200072)

基于MATLAB的某型履帶吊管機吊物系統(tǒng)動態(tài)特性分析

宋秋紅1， 王皓輝1， 徐少蓉1， 楊紹杰2

(1. 上海海洋大學工程學院，上海 201306；2. 上海彭浦機械廠有限公司，上海 200072)

吊管機在外部工況激勵的作用下會產生危險的大幅擺動，不僅會降低施工的吊裝精度，嚴重時還會引起吊物和結構的碰撞。因此對吊管機進行吊物系統(tǒng)動態(tài)特性分析對吊管機的作業(yè)安全具有重要的意義。依據(jù)吊管機的工作環(huán)境，總結和對比國內外的相關研究。建立吊物系統(tǒng)的數(shù)學模型，推導吊管機吊物系統(tǒng)的非線性動力學方程，并利用 MATLAB進行吊管機吊物系統(tǒng)的數(shù)值分析。結果可以看出吊索長度、外部激勵頻率、吊物的升降速度分別對吊物系統(tǒng)的動態(tài)響應、吊物擺振、吊物的面內外擺角產生影響。

吊管機；非線性方程；動態(tài)分析；MATLAB

吊管機是管道工程中至關重要的專用工程機械設備之一，其主要作用是在管道施工中，負責管道的鋪設、對接以及下溝等作業(yè)[1]，如圖1所示。吊管機工作環(huán)境復雜，行駛路況惡劣，作業(yè)時當受到外部激勵影響，整車的穩(wěn)定性下降，可導致吊管機翻車，造成設備的損壞與人員的傷亡，因此對吊管機進行吊物系統(tǒng)動態(tài)特性分析，對吊物的擺振進行控制與預測將對吊管機的作業(yè)安全具有重要的意義。

參考國內外有關吊管機吊物系統(tǒng)的文獻后發(fā)現(xiàn)，吊管機的總體運動是各種非線性運動的集合，而作為重要組成部分的吊物系統(tǒng)，也包含著極其繁瑣的非線性特征。Elling和 McClinton[2]將起重機的吊物系統(tǒng)簡化為球型的鐘擺運動，僅僅受基座激勵影響。研究表明，吊物系統(tǒng)的動力響應要發(fā)生諧振現(xiàn)象，需要激勵頻率接近或等于吊物系統(tǒng)吊索的固有頻率或者接近 1.5倍的系統(tǒng)固有頻率。Henry等[3]建立了一個平面單擺模型，是通過一個質量忽略不計的剛性吊索以及集中質點所組成的，其實驗結果表明，通過控制擺幅可以大幅度減小吊物的擺動角度。董艷秋和韓光[4]利用計算得出整機的運動傳遞到吊物吊點處的矩陣方程，并研究吊物系統(tǒng)的非線性動力響應，然后逐一改變其擺角、吊索長度、動張力、吊物質量以及起吊速度等參數(shù)，研究平面內吊管機吊物系統(tǒng)的動力學非線性關系。

通過上述文獻研究不難發(fā)現(xiàn)，國內有關吊物系統(tǒng)動態(tài)響應方面的研究較之國外欠缺，實驗驗證也不多，而國外在相關領域上的研究更趨成熟。以上幾個吊物系統(tǒng)模型的研究，均考慮了非線性特性，為了方便研究均在不同程度上簡化了吊物系統(tǒng)，并未以系統(tǒng)的推論作為基礎。

本文在參考了相關文獻的基礎上，推導出了吊管機吊物系統(tǒng)的非線性動力學方程，并以此作為理論基礎利用MATLAB進行吊管機吊物系統(tǒng)的數(shù)值分析。

1　吊物系統(tǒng)數(shù)學模型建立

吊物系統(tǒng)包含了極其復雜的非線性特征，不利于分析，為了研究的方便，需對吊物系統(tǒng)進行適當?shù)暮喕?/p>

(1) 設吊物為一質點；

(2) 忽略吊索的質量，并且不考慮其彈性伸縮量；

(3) 將吊臂看成剛性物體，不考慮其彈性形變量；

(4) 外界對吊物系統(tǒng)的影響可以簡化為吊物點在參考坐標系3個方向的簡諧激勵。

由于是對吊物系統(tǒng)進行動態(tài)特性分析，因此對吊物系統(tǒng)做類似的簡化能夠基本反映出吊管機吊物系統(tǒng)動態(tài)特性的真實性，不會對結論造成較大影響[5]。

1.1建立吊物系統(tǒng)的動力學方程

如圖 2所示，創(chuàng)建吊管機吊物系統(tǒng)模型。圖中 O點即為慣性參考系(xo，yo，zo)的原點即固定點；B點即為吊臂懸掛吊物的吊點；C點即為吊物，設其質量為m；BC即為吊索，設其長度為l，質量忽略不計并且不考慮彈性伸長量。

圖2　吊管機吊物系統(tǒng)模型

假設開始時，吊索與z軸的方向平行，將吊索繞著B點且平行于x軸的軸線轉動α角度，稱為面外角；而將吊索繞著B點且平行于慣性軸y軸的軸線轉動β角度，稱為面內角。這樣就形成了(x1，y1，z1)坐標系。

吊索BC在慣性參考系(xo，yo，zo)中的相對位置由面外角α與面內角β來確定。吊點B在慣性參考系(xo，yo，zo)中的相對位置由(xB(t)，yB(t)，zB(t))來確定，C點在慣性參考系(xo，yo，zo)中的位置向量由rC來表示，吊物C在慣性參考系(xo，yo，zo)中的相對位置由(xC(t)，yC(t)，zC(t))來確定。

其中：

從方程組式(2)可以推得：

考慮到吊物的升降運動，對上面的方程組式(3)左右兩邊同時對時間求一階導數(shù)，得到吊物的升降速度為：

在實際的操作過程中，吊索會因為各種外在因素在吊點 B處產生擺動、扭轉從而變形產生彈性阻力，為了分析以及后續(xù)數(shù)據(jù)處理的方便，則設吊索在吊點 B處所形成的彈性阻力簡化為面外和面內的彈性力 k0α(t)，k1β(t)(其中 k0，k1為彈性系數(shù))。并且設(x1，B，z1)平面位置的勢能為零勢能面，則系統(tǒng)勢能的公式即可表示為：

系統(tǒng)的動能為：

所以推得系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：

由拉格朗日方程：

可以推算整理得到吊物系統(tǒng)的非線性動力學方程為：1.2吊索動張力響應

吊物的運動方程可以根據(jù)牛頓第二定理得到：

這里設T為吊索張力。將式(2)代入式(9)，經整理得：

為了求吊索的張力，在式(10)等式兩邊同時乘以cos、sin項：

將式(12)減去式(11)，再減去式(13)，整理可得：

對方程組式(3)左右兩邊同時對時間求二階導數(shù)便可以得到吊物的加速度：

將式(15)代入式(14)，經整理可得吊索張力為：

由理論力學可知當?shù)跷镬o止處于平衡狀態(tài)時，外力合力為零，因此平衡時的吊索張力為：T=mg，而當?shù)跷锲鹕?、下降運動時，平衡被打破，吊索張力將逐漸變大。而將吊物運動狀態(tài)時的張力與處于平衡狀態(tài)時的張力相減，所得差值，即為吊索的動張力，記為 TD，則吊物的動張力的方程表達式為：

通過式(17)可以看出動張力TD是關于自變量時間 t的函數(shù)?？梢酝ㄟ^式(7)和式(8)得到面外角α(t)、面內角 β(t)，從而推得吊物系統(tǒng)的吊物角速度以及吊點處的加速度向量，以求得吊索的動張力響應。

2　吊管機吊物系統(tǒng)動態(tài)響應數(shù)據(jù)分析

解析吊管機吊物系統(tǒng)的非線性動力學方程式(7)和(8)，可發(fā)現(xiàn)若用原始的方法獲得精確的答案是非常困難的，只能依靠數(shù)值方法求解。下面將運用MATLAB軟件，對系統(tǒng)的非線性動力學方程進行仿真模擬研究[6-7]。

2.1吊點B的運動

通過吊管機吊物系統(tǒng)的非線性動力學方程式(7)和(8)可以發(fā)現(xiàn)吊物的擺動，即面外角、面內角與吊點B的運動與xB(t)、yB(t)和zB(t)有關。

通過非線性振動的相關研究可得知，xB(t)和yB(t)均為附加項，因此系統(tǒng)的最大響應值，將在其附加項的頻率接近吊物的固有頻率Nω時產生。zB(t)為參數(shù)激勵項，所以系統(tǒng)的最大響應值，會在參數(shù)激勵項的激勵頻率接近于 2倍的吊物系統(tǒng)固有頻率時出現(xiàn)，而且在此時刻最容易發(fā)生參變激發(fā)現(xiàn)象[8-9]。

吊物系統(tǒng)的動態(tài)響應與系統(tǒng)的各項參數(shù)、外部的激勵頻率包括幅值等因素相關，若將這些因素以不同的方式進行參數(shù)組合，就可得到不同程度下的動態(tài)響應結果，這里所要考慮的是在條件最為不利的情況下(極端工況條件)的激勵最大系統(tǒng)響應，因此在吊物的吊點 B(xB(t)，yB(t)，zB(t))處，沿xo、yo、zo方向施加正弦激勵，如式(18)：

其中，xo、yo、zo三個方向上的幅值分別為Ax、Ay、Az，而xo、yo、zo相應方向上的激勵頻率分別是xω、yω、zω。則吊點B在各個方向上加速度的分量可由相應方向上的幅值和激勵頻率表示，即為：

通過上述分析可知，當xω=yω=Nω；zω=2Nω時，系統(tǒng)將會產生最大響應。其給定初始條件為吊點 B的 xo、yo、zo三個方向的激勵幅值分別為0.500 m，0.250 m，0.125 m。

2.2吊索長度對吊物系統(tǒng)動態(tài)響應的影響

設置初始條件，激勵幅值設置為：Ax=0.500 m，Ay=0.250 m，Az=0.125 m；激勵頻率為：xω=yω= 1.4，zω=2.8，在1 000 s內吊點B的各方向加速度分量變化如圖3～5所示：

圖3　?(t)在1 000 s內的變化

圖4　?(t)在1 000 s內的變化

圖5　?(t)在1 000 s內的變化

為了研究吊索長度對吊物的影響，在不考慮吊物的升降運動時，設彈性系數(shù)k0，k1均等于0.01，選取不同吊索的長度分別為：2 m，4 m，6 m，8 m時，1 000 s內反應吊物系統(tǒng)動態(tài)響應的面外角α和面內角β的變化情況如圖6～9所示。

圖6　l=2 m時面外角、面內角響應

圖7　l=4 m時面外角、面內角響應

圖8　l=6 m時面外角、面內角響應

圖9　l=8 m時面外角、面內角響應

2.3激勵頻率對吊物系統(tǒng)動態(tài)響應的影響

設初始條件：激勵幅值Ax=0.500 m，Ay=0.250 m，Az=0.125 m；取吊索長度l=4 m，則系統(tǒng)的特征頻率取ωN=1.4；取不同激勵頻率(激勵頻率為1倍的特征頻率之間)：0.3ωN，0.6ωN，0.9ωN，1.0ωN，1.3ωN，1.6ωN時，吊物擺角的動力響應情況如圖10～15。

圖10　ω=0.3ωN時面外角、面內角響應

圖11　ω=0.6ωN時面外角、面內角響應

圖12　ω=0.9ωN時面外角、面內角響應

圖13　ω=ωN時面外角、面內角響應

圖14　ω=1.3ωN時面外角、面內角響應

圖15　ω=1.6ωN時面外角、面內角響應

由圖 10～15可看出，改變激勵頻率時，若激勵頻率遠離系統(tǒng)特征頻率，則吊物系統(tǒng)的面外角、面內角偏小，隨著激勵頻率的增加，當激勵頻率接近系統(tǒng)特征頻率時，吊物系統(tǒng)的面外角、面內角達到最大，即吊物系統(tǒng)的動態(tài)響應最大，之后隨著激勵頻率繼續(xù)增加，吊物系統(tǒng)的面外角、面內角又逐漸減小。

若繼續(xù)去除吊索在吊點處的彎曲剛度影響因素，即設k0，k1為0，在圖12所示情況下，吊物面外角、面內角響應情況如圖16所示，顯然圖16中吊物擺角幅值比圖12中擺角幅值要大。這說明吊點處吊索彎曲剛度對擺角起到了抑制作用。

圖16　k0=k1=0,ω=0.9ωN時面外角、面內角響應

2.4吊物的升降運動對吊物系統(tǒng)動態(tài)響應的影響

在吊物起升過程中，設吊索長度的初值為8 m，而吊物起升速度分別依次為 0.13 m/s、0.14 m/s；在吊物下降過程中，設吊索長度的初始值為1 m，而吊物下降速度分別依次為–0.090 m/s、–0.125 m/s。運用MATLAB求算不同升降速度下吊物面外角、面內角的狀況如圖17～20所示。

圖17　l˙=0.13m/s 時面外角、面內角響應

圖18　l˙=　0.14m/s 時面外角、面內角響應

圖19　l˙=?0.09m/s 時面外角、面內角響應

圖20　l˙=?0.125m/s 時面外角、面內角響應

對比圖17和圖18可以得出：在起升過程中，吊物的起升速度與吊物的系統(tǒng)響應呈反比，且起到抑制作用，吊物起升速度越大，則吊物的面外角、面內角卻有減小的趨勢。

對比圖19、20可以得出：在吊物下降的過程中，吊物下降的速度與吊物的系統(tǒng)動態(tài)響應呈正比、起到幫助作用，隨著吊物下降速度增大，吊物的面內角、面外角也呈現(xiàn)出逐漸增大的趨勢。

此外，還觀察到，在吊物升降過程中，吊索長度的變化也將影響到系統(tǒng)的固有頻率變化，當?shù)跛鏖L度接近4 m時，吊物系統(tǒng)的固有頻率接近于外部激勵頻率，這時吊物的面內角、面外角有明顯增大的趨勢。

2.5吊物面內外部激勵對面外角的影響

為了便于觀察吊物面內外部激勵對面外角的影響，僅對吊點B施加xo方向的激勵，即：

這里 Ax=0.5 m，吊索長度 l=4 m。激勵頻率ωx(激勵頻率為 1倍的特征頻率之間)分別取0.8ωN，ωN，1.2ωN。

運用MATLAB軟件使用數(shù)值方法解算動力方程時，為了研究外部激勵對響應的影響，需要最初在外加給予系統(tǒng)一個很小的初始擾動，因此初始值設定為α=0，β=0.001，如圖21～23所示。

圖21　ωx=0.8ωN時面外角、面內角響應

圖22　ωx=ωN時面外角、面內角響應

圖23　ωx=　1.2ωN時面外角、面內角響應

從圖 21～23可以看出，當激勵頻率跟吊物系統(tǒng)固有頻率相差很大時，吊物面外角受面內的激勵影響是很小的，但若激勵頻率接近于吊物系統(tǒng)的固有頻率時，此時面內的激勵對吊物面外角將產生極大的影響。

3　結　論

通過運用數(shù)學公式及理論可成功推算出吊物系統(tǒng)的非線性動力學方程。而后運用MATLAB平臺，通過改變吊索的長度、不同的外部激勵頻率以及吊物的升降速度逐步分析和研究了吊物系統(tǒng)在外部激勵下的響應特性[13]。分析研究表明：通過改變吊索長度可以改變吊物系統(tǒng)的動態(tài)響應；純粹的外部激勵會導致面內、面外角產生較大變化；改變吊物的升降速度可以改變吊物的面內、面外擺角；而吊點處吊索的彎曲剛度則對吊物系統(tǒng)的面外角、面內角起到抑制的作用。

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Analysis of Dynamic Characteristic of a Pipelayer Crane System Based on MATLAB

Song Qiuhong1,Wang Haohui1,Xu Shaorong1,Yang Shaojie2

(1. College of Engineering, Shanghai Ocean University, Shanghai 201306, China; 2. Shanghai PengPu Machinery Co. Ltd, Shanghai 200072, China)

Pipelayer is a kind of engineering machinery, which is used in the pipe laying and lifting operation, and it would create a dangerous swing sharply under the external incentives. This can not only reduce the lifting precision, but also cause collisions between hanging objects and structures. So it has great importance for safety of pipelayer operation to analysis its system dynamic characteristic, control and predict shimmy. First the article describes the working environment of pipelayer, then proposes summary and comparison of relevant research of domestic and foreign. In this paper, the mathematical model of hanging objects is established, and MATLAB is used to do data analysis. The result shows that length of the sling, external excitation, landing speedcan lead to a great impact on the dynamic response, shimmy frequency and angel of inner and outer surfaces.

pipelayer; nonlinear equations; dynamic analysis; MATLAB

TB 24

10.11996/JG.j.2095-302X.2016010130

A

2095-302X(2016)01-0130-09

2015-07-17；定稿日期：2015-09-22

上海市2014年聯(lián)盟計劃(LM2014013)

宋秋紅(1962–)，男，吉林長春人，副教授，碩士，碩士生導師。主要研究方向為工程力學、動力工程。E-mail：qhsong@shou.edu.cn