●李 歆

(武功縣教育局教研室 陜西武功 712200)

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一道預(yù)賽試題的簡證及推廣*

●李 歆

(武功縣教育局教研室 陜西武功 712200)

用均值不等式和柯西不等式聯(lián)合證明競賽不等式，既能便于學生理解，又能體現(xiàn)這2個重要不等式的綜合應(yīng)用價值.

預(yù)賽題；不等式；推廣

例1 設(shè)a,b,c為正實數(shù),且滿足abc=1.對任意n≥2,證明:

(1)

(2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽第二試第5題)

文獻[1]利用切比雪夫不等式和冪平均不等式給出了一種證明,但多數(shù)學生對切比雪夫不等式和冪平均不等式比較陌生,因此對此證法難以理解.筆者利用一般學生都熟悉的均值不等式和柯西不等式給出一種簡單的證明,同時將這道預(yù)賽試題加以推廣.

證明 不等式(1)等價于

(2)

由n元均值不等式,得

則不等式(2)可轉(zhuǎn)化為

(3)

由柯西不等式,得

(4)

式(4)等價于n(a+b+c)2≥3(n-1)(a+b+c)+3(ab+bc+ca).

(5)

由

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),

可知式(5)成立,進而式(4)、式(3)、式(2)成立,從而不等式(1)成立.

推廣1 設(shè)a,b,c為正實數(shù),且滿足abc=1.對任意n≥2,λ>0,證明:

(6)

證明 不等式(6)等價于

(7)

由n元均值不等式,得

則不等式(7)可轉(zhuǎn)化為

(8)

由柯西不等式,得

則不等式(8)可轉(zhuǎn)化為

(9)

式(9)等價于n(a+b+c)2≥3(n-1)(a+b+c)+3(ab+bc+ca).

(10)

由

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),

可知式(10)成立,進而可知式(9)、式(8)、式(7)成立,從而不等式(6)成立.

推廣2 設(shè)a,b,c為正實數(shù),且滿足abc=1.對任意n≥2,λ≥0,證明:

(11)

證明 不等式(11)等價于

(12)

由n元均值不等式,得

則不等式(12)可轉(zhuǎn)化為

(13)

由柯西不等式,得

則不等式(13)可轉(zhuǎn)化為

(14)

式(14)等價于n(2+λ)(a+b+c)2≥3(n-1)(2+λ)(a+b+c)+6(ab+bc+ca)+3λ(a+b+c).

(15)

由

(n-1)(2+λ)(a+b+c)2≥3(n-1)(2+λ)(a+b+c),

2(a+b+c)2≥6(ab+bc+ca),λ(a+b+c)2≥3λ(a+b+c),

可知式(15)成立,進而可知式(14)、式(13)、式(12)成立,從而不等式(11)成立.

類似可以證明:

推廣3 設(shè)a,b,c為正實數(shù),且滿足abc=1.對任意n≥2,λ1>0,λ2≥0,證明:

[1] 陜西省數(shù)學競賽委員會.2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題及參考答案[J].中學數(shù)學教學參考:上旬,2016(5):58.

?2016-07-20；

2016-09-12

李 歆(1962-)，男，陜西武功人，陜西省特級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)11-48-03