馮曉九，梁立孚

(1.常州大學(xué) 環(huán)境與安全工程學(xué)院，213164 江蘇 常州；2. 哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，150001哈爾濱)

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反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系的變分原理

馮曉九1，梁立孚2

(1.常州大學(xué) 環(huán)境與安全工程學(xué)院，213164 江蘇 常州；2. 哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，150001哈爾濱)

為證明經(jīng)典變分原理中存在反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系的變分原理，從非線性彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程出發(fā)，應(yīng)用變積方法建立非線性彈性動(dòng)力學(xué)Hamilton原理.再應(yīng)用對(duì)合變換法、Lagrange乘子法和局部代入法，將Hamilton原理變換為本構(gòu)變分原理.論證了該變分原理反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系，本研究以非線性材料為例，找到了一個(gè)新的材料本構(gòu)關(guān)系的獲得途徑，為數(shù)值建模提供了理論依據(jù).研究結(jié)果表明，補(bǔ)充和完善了經(jīng)典變分原理中對(duì)3類基本規(guī)律的反映，即：最小勢(shì)能原理反映的規(guī)律為平衡關(guān)系、最小余能原理反映的規(guī)律為連續(xù)關(guān)系和本構(gòu)變分原理反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系.

非線性彈性動(dòng)力學(xué)；變積；本構(gòu)關(guān)系；變分原理；對(duì)合變換；Lagrange乘子法；局部代入法

中國(guó)變分原理學(xué)家、中科院院士劉高聯(lián)在為本文作者的一部專著撰寫序言時(shí)指出[1]：各種自然現(xiàn)象和過(guò)程(特別是力學(xué)現(xiàn)象)通常由一組數(shù)理方程(偏微分方程、積分-微分方程或積分方程)及初、邊值條件來(lái)描述，但人們通過(guò)長(zhǎng)期的探索研究，發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象和過(guò)程常常使系統(tǒng)的某一整體量(泛函)取駐值或極值，因而又可以用相應(yīng)的變分原理來(lái)描述.后一描述法的突出優(yōu)點(diǎn)是：1)數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)單緊湊，但內(nèi)含卻甚豐富(包含了全部數(shù)理方程及初邊值條件組);2)是整體性描述，包括各種物理間斷面上的相容條件;3)有‘變域變分’、‘自然邊界條件’等特殊工具，能夠自動(dòng)捕獲各種未知邊(分)界面;4)是各種變分直接解法和有限元法的理論基礎(chǔ).可見，變分原理既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式上的簡(jiǎn)潔優(yōu)美，又體現(xiàn)了物理內(nèi)容上的豐富深刻，更具有工程應(yīng)用上的價(jià)值，確實(shí)代表了數(shù)學(xué)與物理的交融與貫通，以及理論與實(shí)用的結(jié)合與統(tǒng)一.特別是自上世紀(jì)60年代起，有限元素法的興起與蓬勃發(fā)展，使其作為主要理論基礎(chǔ)的變分原理又重新煥發(fā)了青春，取得了長(zhǎng)足的發(fā)展.

從應(yīng)用有限元素法進(jìn)行近似計(jì)算的角度看問(wèn)題，以彈性力學(xué)為例，彈性力學(xué)有3類基本條件——平衡關(guān)系(含力學(xué)邊界條件)、連續(xù)關(guān)系(含位移邊界條件)和本構(gòu)關(guān)系；最小勢(shì)能原理需要精確滿足連續(xù)關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系2類基本條件，可以近似滿足平衡關(guān)系1類基本條件；最小余能原理需要精確滿足平衡關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系2類基本條件，可以近似滿足連續(xù)關(guān)系1類基本條件.

我國(guó)學(xué)者[2-4]對(duì)于以上事實(shí)有幾種不同的說(shuō)法，有的學(xué)者稱為，最小勢(shì)能原理可以近似滿足平衡關(guān)系，最小余能原理可以近似滿足連續(xù)關(guān)系；也有的學(xué)者稱為，最小勢(shì)能原理平衡關(guān)系次要，最小余能原理連續(xù)關(guān)系次要；還有的學(xué)者稱為，最小勢(shì)能原理反映的規(guī)律為平衡關(guān)系，最小余能原理反映的規(guī)律為連續(xù)關(guān)系.本文采用最后一種說(shuō)法來(lái)研究問(wèn)題.

Reissner[5]的彈性力學(xué)二類變量的廣義變分原理的問(wèn)世，說(shuō)明國(guó)外學(xué)者也有類似的認(rèn)識(shí)，在彈性力學(xué)的3類基本規(guī)律中，最小勢(shì)能原理反映的規(guī)律為平衡關(guān)系，最小余能原理反映的規(guī)律為連續(xù)關(guān)系，文獻(xiàn)[5]中二類變量的廣義變分原理反映平衡關(guān)系和連續(xù)關(guān)系2類基本規(guī)律.

是否可以建立一個(gè)變分原理反映平衡關(guān)系、連續(xù)關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系3類基本規(guī)律呢？這就是胡海昌—鷲津久一郎三類變量廣義變分原理的“Idea”[4,6].

以上的學(xué)術(shù)思想既適用于保守系統(tǒng)又適用于非保守系統(tǒng)[7-9]，既適用于彈性力學(xué)又適用于一般力學(xué)[10-12]，既適用于邊值問(wèn)題又適用于初值問(wèn)題[13-15]力學(xué)，同時(shí)也適用于流體力學(xué)[16-17]，電磁學(xué)[18-19]，….本文在繼承上述學(xué)術(shù)思想和總結(jié)變分原理的研究成果的基礎(chǔ)上，論證了彈性力學(xué)變分原理的各類條件的完備性[20]，得到了劉高聯(lián)院士的充分肯定.變分原理泛函的先決條件和駐值條件一起，構(gòu)成一個(gè)適定的微分方程組，這便是變分原理的各類條件完備性的第1種含義.變分原理的先決條件、補(bǔ)充條件及反映的規(guī)律一起構(gòu)成彈性力學(xué)的全部基本方程，這便是變分原理的各類條件完備性的另一種含義.

由以上論述可見，在廣義變分原理中，已經(jīng)有胡海昌-鷲津久一郎廣義變分原理反映平衡關(guān)系(含力學(xué)邊界條件)、連續(xù)關(guān)系(含位移邊界條件)和本構(gòu)關(guān)系3類基本規(guī)律，但是，在經(jīng)典變分原理中只有最小勢(shì)能原理反映的規(guī)律為平衡關(guān)系和最小余能原理反映的規(guī)律為連續(xù)關(guān)系，尚未見反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系的變分原理.本文以非線性彈性力學(xué)為例，建立反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系的變分原理具有一定的深度和難度，不失一般性.為敘述方便，不妨將反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系的變分原理稱為本構(gòu)變分原理.本文應(yīng)用變積方法建立非線性彈性動(dòng)力學(xué)的Hamilton原理，應(yīng)用對(duì)合變換[21]，由非線性彈性動(dòng)力學(xué)的Hamilton原理推導(dǎo)出非線性彈性動(dòng)力學(xué)的本構(gòu)變分原理，應(yīng)用Lagrange乘子法和局部代入法論證了非線性彈性動(dòng)力學(xué)的本構(gòu)變分原理反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系[22].

1 非線性彈性動(dòng)力學(xué)的Hamilton原理

應(yīng)用Cartesian張量，非線性彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程如下.

1)動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系：

(1)

2)連續(xù)關(guān)系：

(2)

3)本構(gòu)關(guān)系：

(3)

(4)

(5)

4)時(shí)間邊值條件[23]：

(6)

將虛位移δui乘上式(1)，然后積分，并代數(shù)相加，可得

(7)

應(yīng)用Green定理和分部積分可得：

(8)

(9)

將式(8)和式(9)代入式(7)，按慣例，在時(shí)域邊界上取δui=0，可得

將式(1) 和式(2)代入式(10)，可得

(10)

將本構(gòu)關(guān)系式(3)和式(4)代入式(10)，可得

(11)

式(1)可以處理為一個(gè)泛函的駐值問(wèn)題

其先決條件為式(2).實(shí)際上，這即是非線性彈性動(dòng)力學(xué)中的Hamilton原理[24].

2 反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系的變分原理

應(yīng)用對(duì)合變換，Hamilton原理的泛函可以變換為

其先決條件為式(1)和式(2).

本文將應(yīng)用兩種不同的方法，論證這是一個(gè)反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系的變分原理，稱之為本構(gòu)變分原理.

2.1 應(yīng)用Lagrange乘子法推導(dǎo)本構(gòu)變分原理的駐值條件[25-26]

將Π0變分，并令δΠ0=0，可得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

引入Lagrange乘子，將式 (12)～(16)納于泛函δΠ0中，可得

(17)

應(yīng)用Green定理和分部積分可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

將式(18) ～(21)代入式(17)，按慣例在時(shí)域邊界處取δui=0，經(jīng)整理可得

(22)

由于引入Lagrange乘子，使得各虛量相互獨(dú)立，故由式(22)可得：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

由式(25), 式(31)解得

(34)

由式(27)～(30)解得

(35)

由式(26)解得

(36)

由式(32)解得

(37)

由式(33)解得

(38)

將式(34)～式(38)代入式(17)，整理可得

(39)

由式(39)可得Π0的駐值條件為：

可見，這個(gè)變分原理反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系.

2.2 應(yīng)用局部代入法推導(dǎo)本構(gòu)變分原理的駐值條件

應(yīng)用對(duì)合變換Hamilton原理的泛函變換為本構(gòu)變分原理泛函為

(40)

其先決條件為式(1)和式(2).

將Π0變分，并令δΠ0=0，可得

(41)

其先決條件的變分式為式(12)～(16)，將式 (12)～(16)代入式(41)，可得

(42)

應(yīng)用Green定理和分部積分可得：

(43)

(44)

將式(43)～(44)代入式(42)，然后將式(15)代入式(42)，并按慣例在時(shí)域邊界處取δui=0，可得

(45)

由于δui的任意性，由式(45)可得本構(gòu)變分原理駐值條件的一種表達(dá)形式：

這便又一次表明，這個(gè)變分原理反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系.

3 結(jié) 論

1) 通過(guò)變積方法，由非線性彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程建立了非線性彈性動(dòng)力學(xué)Hamilton原理，即本構(gòu)變分原理,為下一步證明奠定了基礎(chǔ).

2) 通過(guò)對(duì)合變換方法，分別應(yīng)用Lagrange乘子法和局部代入法推導(dǎo)本構(gòu)變分原理的駐值條件，得到了本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式，證明了本構(gòu)變分原理反映的規(guī)律為本構(gòu)關(guān)系.

3) 從理論上說(shuō)，補(bǔ)充和完善了前人研究的經(jīng)典變分原理對(duì)3類基本規(guī)律的反映,從工程應(yīng)用上說(shuō)，為數(shù)值建模提供了依據(jù).

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(編輯 張 紅)

The variational principle：the law of reflection is constitutive relation

FENG Xiaojiu1, LIANG Lifu2

(1.School of Environmental and Safety Engineering, ChangzhouUniversity, 213164 Changzhou, China; 2.College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, 150001 Harbin, China)

In order to prove that the classical variational principles contain one principle that the reflection law is the constitutive relation, Hamilton principle of nonlinear elastodynamics is established by using the variational integral, starting from the basic equations of nonlinear elastodynamics. Then, after involutory transformation is used, Hamilton theory is converted to the constitutive variational principle with Langrange multiplier method and partial substitution method. It testifies that this variational principle reflects the constitutive relation. Taking the nonlinear material as an example, a new way to obtain the material constitutive relation is provided in this paper, which provides theoretical basis for numeral modeling. It supplements and improves the reflections of three basic rules in the classical constitutive relation: the reflection law of minimum potential energy principle is the balanced relation, the reflection law of the minimum complimentary energy principle is continuous relation, and the reflection law of constitutive variational principle is constitutive relation.

nonlinear elastodynamics; variational integral; constitutive relation; variational principle; involutionary transformation; Lagrange multiplier method; partial substitution method

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.04.025

2014-11-17.

國(guó)家自然科學(xué)基金 (10272034).

馮曉九(1964—)，男，教授；

梁立孚(1939—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

梁立孚，lianglifu@hrbeu.edu.cn.

O343

A

0367-6234(2016)04-0149-05