何朕， 王廣雄

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于廣義系統(tǒng)觀測(cè)器的電池荷電狀態(tài)估計(jì)

何朕， 王廣雄

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

提出了一種新的電池荷電狀態(tài)(SOC)的估計(jì)方法。電池的開路電壓(OCV)與SOC之間是一種分段線性的關(guān)系，為了避開這類非線性問(wèn)題，觀測(cè)器設(shè)計(jì)時(shí)的通行做法是將輸出電壓的方程式對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)。文中分析表明這種對(duì)電壓方程求導(dǎo)的做法是不正確的。指出可以將分段線性關(guān)系看做是廣義系統(tǒng)中的一種線性約束，從而提出用廣義系統(tǒng)觀點(diǎn)來(lái)處理電池的這個(gè)分段線性約束，并且設(shè)計(jì)了廣義系統(tǒng)觀測(cè)器。仿真結(jié)果表明所提出的觀測(cè)器的有效性。

廣義系統(tǒng); 觀測(cè)器; 電池; 荷電狀態(tài)

0 引 言

使用汽油的汽車其剩余油量是很容易測(cè)得的。如果是電動(dòng)汽車，電池的剩余容量則是從荷電狀態(tài)(state of charge,，SOC)信息得到的。SOC是電池內(nèi)部的化學(xué)狀態(tài)，無(wú)法用電的信號(hào)來(lái)測(cè)量，所以要通過(guò)電池端口的電壓，電流等物理量的測(cè)量進(jìn)行估計(jì)。如果是純電動(dòng)車，則主要是放電問(wèn)題，SOC的估計(jì)問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單一些，不過(guò)如果是混合電動(dòng)車，則電池存在重復(fù)充放電過(guò)程，如果估計(jì)不準(zhǔn)，有可能使估計(jì)誤差累積起來(lái)，造成電池過(guò)充或可能全部耗盡，造成不可逆的損壞，所以SOC的精確估計(jì)對(duì)駕駛員和電池的能量管理系統(tǒng)來(lái)說(shuō)都是極為重要的。

電池有多種模型，不過(guò)從估計(jì)的角度來(lái)說(shuō)，一般都是采用電池的電路模型。電路模型中常用電壓源來(lái)表示電池。電壓源所表示的是開路電壓(open-circuit voltage，OCV)，開路電壓voc與電池的荷電狀態(tài)SOC直接有關(guān)，是一種近似分段線性的關(guān)系，所以一般都是從voc來(lái)估計(jì)SOC。

文獻(xiàn)[1]中是用一個(gè)很大電容上的電壓來(lái)代表voc的，不過(guò)現(xiàn)在大多數(shù)的工作都是用電壓源來(lái)表示voc的。早期的工作[2]是將voc當(dāng)作電路中的一個(gè)參數(shù)與其他參數(shù)合在一起來(lái)進(jìn)行估計(jì)的。Plett根據(jù)電流與荷電量之間的積分關(guān)系提出了一個(gè)SOC的狀態(tài)方程[3]。Plett用多個(gè)參數(shù)來(lái)逼近voc與SOC的非線性特性并采用擴(kuò)展Kalman濾波來(lái)估計(jì)SOC狀態(tài)，但Plett只采用僅有一個(gè)狀態(tài)(即SOC)的電路，也就是電池加內(nèi)阻的內(nèi)阻模型[2]。由于沒(méi)有考慮到電容，故內(nèi)阻模型不是一種動(dòng)態(tài)的模型[2]。Kim基于積分關(guān)系的SOC的狀態(tài)方程，按分段線性化的概念來(lái)處理一般的包含有電容的電路模型，并采用滑模觀測(cè)器來(lái)估計(jì)SOC狀態(tài)[4]。Kim的主要思路是一個(gè)分段線性化的方程可以按線性的概念來(lái)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。這個(gè)處理SOC非線性方程的做法方便了觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，所以得到了一系列文章的響應(yīng)，例如文獻(xiàn)[5-6]。分段線性系統(tǒng)采用求導(dǎo)的做法對(duì)某一工作點(diǎn)的分析是可以的，但是用在全行程的估計(jì)卻是存在問(wèn)題的。另外，基于Kalman濾波的一些方法理論上也是可以用來(lái)估計(jì)電池SOC的，不過(guò)本文的重點(diǎn)是要說(shuō)明當(dāng)前采用觀測(cè)器設(shè)計(jì)時(shí)的求導(dǎo)做法存在一個(gè)概念上的問(wèn)題，故本文采用觀測(cè)器來(lái)進(jìn)行估計(jì)。本文將分析用求導(dǎo)方法的SOC狀態(tài)估計(jì)所存在的問(wèn)題，并提出用廣義系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)SOC。

1 電池的建模

電池的RC電路模型有數(shù)種類型，不過(guò)都大同小異。由于本文的對(duì)比對(duì)象是文獻(xiàn)[4]，所以采用文獻(xiàn)[4]的電路模型(圖1)作為研究對(duì)象。該電路模型由電壓源voc(z)和相應(yīng)的電阻電容構(gòu)成。非線性電壓源voc(z)是一個(gè)用開路電壓來(lái)表示的與電池SOC有關(guān)的電壓。這里z代表SOC。Cp是代表極化效應(yīng)的電容，vt是可以觀察的終端電壓，I為充放電電流。Rb為傳導(dǎo)電阻，Rp為擴(kuò)散電阻，Rt為端電阻，Ib和Ip為兩支路電流。

SOC定義為電池剩余容量與額定容量的比值。設(shè)充放電起始狀態(tài)為SOC0，那么當(dāng)前的狀態(tài)SOC為

圖1 電池模型

(1)

式中CN為電池的額定容量，公式中的電流放電為正，充電為負(fù)。ηi為電池的庫(kù)倫效率(Coulombic efficiency)，放電時(shí)ηi=1，充電時(shí)ηi1。

設(shè)用變量z(t)來(lái)表示電池的SOC，Plett將式(1)改寫成[3]

(2)

根據(jù)式(2)可寫得SOC的z的微分方程為

(3)

根據(jù)圖1的電流方向，故式(3)的右項(xiàng)取(+)號(hào)，又下面的算例中主要針對(duì)放電情況，故ηi取為1。

根據(jù)圖1可寫得端電壓vt的電壓方程為

vt=IRt+IpRp+vp，

(4)

vt=IRt+IbRb+voc(z)。

(5)

從式(4)、式(5)可寫得

IpRp=IbRb+voc(z)-vp。

(6)

又從式(3)可得

(7)

從式(6)、式(7)得

(8)

將式(8)代入式(3)，得

(9)

類似的推導(dǎo)，從式(7)、式(8)、式(9)可得

(10)

從式(5)和(8)可得

(11)

除了上面這三個(gè)方程式外，還有一個(gè)開路電壓voc與SOC的非線性關(guān)系voc(z)。這個(gè)關(guān)系可近似為一個(gè)線性關(guān)系[3-5]，更確切說(shuō)是一個(gè)分段線性的關(guān)系。

voc(z)=k1z+k2。

(12)

式(12)也可用圖表示如圖2所示。

圖2 voc與z的關(guān)系圖

式(9) ～ (12)就是電池的數(shù)學(xué)模型，文獻(xiàn)[4]給出的模型中各參數(shù)為：電池的額定容量

CN=5.0 Ah=5×3 600=18 000 A·sec，

Cp=200 F，Rt=0.001 Ω，Rb=Rp=0.003 Ω，

k1=1.2，k2=3。

將這些參數(shù)代入后，系統(tǒng)的方程式為

2 現(xiàn)有觀測(cè)器設(shè)計(jì)中的問(wèn)題

有了數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)在的任務(wù)是要設(shè)計(jì)觀測(cè)器來(lái)給出SOC的狀態(tài)估計(jì)。電池?cái)?shù)學(xué)模型中有兩個(gè)狀態(tài)變量，z和vp，但是SOC的狀態(tài)z是內(nèi)部變量，與voc存在一個(gè)分段線性的關(guān)系式。為了解決這個(gè)分段線性的非線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題，Kim提出了一個(gè)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)的辦法[4]，因?yàn)榉侄尉€性特性求導(dǎo)后，導(dǎo)數(shù)之間存在著線性關(guān)系。

具體做法是對(duì)式(12)求導(dǎo)，并將式(9)代入，得

(14)

文獻(xiàn)[4]再對(duì)vt的式(11)求導(dǎo)，并認(rèn)為電流I的變化率很小而給予忽略(注：這一點(diǎn)實(shí)屬勉強(qiáng))，得

將式(10)、式(14)代入上式，再根據(jù)式(11)進(jìn)行整理，得

(15)

這里要說(shuō)明的是，這些公式與文獻(xiàn)[4]中的式子略有不同，故一并列出以供參考。

將各具體參數(shù)代入式(14)式(15)后，得系統(tǒng)的方程式為

(16)

(17)

式中

這樣，用求導(dǎo)數(shù)的辦法得到了一組系統(tǒng)的線性方程，觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題也就迎刃而解了。文獻(xiàn)[4]在考慮了其他非線性不確定因素后決定采用滑模觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。本文則認(rèn)為這個(gè)基本的系統(tǒng)方程式(17)本身就存在著問(wèn)題，所以下面采用常規(guī)的觀測(cè)器來(lái)進(jìn)行討論。

根據(jù)式(17)，取觀測(cè)器方程為

(18)

這個(gè)觀測(cè)器是很容易設(shè)計(jì)的，設(shè)求得的觀測(cè)器增益為

(19)

下面來(lái)對(duì)觀測(cè)器進(jìn)行仿真。圖3就是進(jìn)行仿真研究的框圖，圖中虛線以上部分就是帶有非線性特性的真實(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[式(13)]，是個(gè)二階系統(tǒng)。虛線以下部分則是按求導(dǎo)方式推導(dǎo)得出的觀測(cè)器方程式(18)。由于人為的求導(dǎo)運(yùn)算，使這個(gè)觀測(cè)器成為一個(gè)三階系統(tǒng)。上下兩部分的階次都不相同，可見用求導(dǎo)觀點(diǎn)設(shè)計(jì)的觀測(cè)器與實(shí)際系統(tǒng)并不匹配，所以從理論上來(lái)說(shuō)，觀測(cè)器的誤差是否收斂都是成問(wèn)題的，可是文獻(xiàn)[4]并沒(méi)有意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題。

圖3 系統(tǒng)與觀測(cè)器的仿真框圖

現(xiàn)在來(lái)進(jìn)一步分析具體的仿真效果。這里采用文獻(xiàn)[4]中的實(shí)驗(yàn)條件，即用一串恒值電流來(lái)放電，放電電流5A，放電180秒，然后停止放電靜止3 600秒，即每次減少5%的SOC的量。電池開始時(shí)是滿充到4.2V，圖4是前幾個(gè)脈沖放電下的仿真結(jié)果，圖中給出了電池端電壓、電壓的估計(jì)值和估計(jì)誤差。圖中還列出了SOC的真實(shí)值(圖3上半部系統(tǒng)的z(t))，SOC的估計(jì)值和估計(jì)誤差。

圖4 觀測(cè)器式(18)的仿真結(jié)果

3 廣義系統(tǒng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)[4]之所以采用求導(dǎo)方法來(lái)設(shè)計(jì)觀測(cè)器，是為了克服分段線性系統(tǒng)在觀測(cè)器設(shè)計(jì)上的困難。其實(shí)分段線性可以看做是變量之間的一種代數(shù)約束，所以這里的問(wèn)題完全可以用廣義系統(tǒng)的概念來(lái)處理。具體來(lái)說(shuō)，式(13)就是一個(gè)廣義系統(tǒng)的方程組。該廣義系統(tǒng)有三個(gè)變量：z和vp是兩個(gè)狀態(tài)變量，voc是一個(gè)代數(shù)變量，最后一個(gè)是輸出方程。

(20)

y=0.5x2+0.5x3+0.002 5I。

(21)

或可寫成矩陣形式為

(22)

y=Cx+Du。

(23)

式中

由此可見，電池SOC的估計(jì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)廣義系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問(wèn)題。而與式(22)式(23)對(duì)應(yīng)的這類廣義系統(tǒng)觀測(cè)器的一般形式為[7]

(24)

圖5 廣義系統(tǒng)觀測(cè)器的仿真結(jié)果

4 結(jié) 論

電池荷電狀態(tài)的估計(jì)是一個(gè)分段線性系統(tǒng)的估計(jì)問(wèn)題。為了避開分段線性問(wèn)題，當(dāng)前通行的做法是加一求導(dǎo)過(guò)程。本文分析指出這種求導(dǎo)后得出的觀測(cè)器，在理論上并無(wú)充分依據(jù)，而且還有估計(jì)誤差，進(jìn)而提出用廣義系統(tǒng)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)SOC。本方法簡(jiǎn)單實(shí)用，且能保證估計(jì)的精度。

當(dāng)然SOC的估計(jì)問(wèn)題中有時(shí)還會(huì)加進(jìn)一些對(duì)電路模型中其他參數(shù)的估計(jì)，例如[2, 8]。但是估計(jì)問(wèn)題中對(duì)系統(tǒng)模型的認(rèn)識(shí)是首要的，只要認(rèn)識(shí)到這是一個(gè)廣義系統(tǒng)問(wèn)題，剩下的就只是具體的設(shè)計(jì)方法了。這也是本文想傳達(dá)的一個(gè)思想。

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(編輯：劉素菊)

Descriptor system observer-based state-of-charge estimation for batteries

HE Zhen, WANG Guang-xiong

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

A new method for battery state-of-charge (SOC) estimation was proposed. To avoid the difficulties in treating the piecewise linear relationship between the open-circuit voltage (OCV) of the battery and the SOC, the popular approach for the observer design is to take the time derivative of the equation of the output voltage. It shows that the design of the observer by taking the time derivative of the voltage equation is incorrect. It is pointed out that the piecewise linear relationship can be considered as a linear constraint of a descriptor system. So the descriptor system approach was proposed to cope with this piecewise linear constraint. And the descriptor system observer was then designed. Simulation shows the effectiveness of the proposed method.

descriptor system; observer; battery; state of charge

2015-06-10

國(guó)家自然科學(xué)基金(61174203,60374027);國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(61034001)

何 朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)、魯棒控制及H∞控制等；

王廣雄(1933—)，男，教授，研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)、魯棒控制及H∞控制等。

何 朕

10.15938/j.emc.2016.01.014

TP 273

A

1007-449X(2016)01-0094-05