杜明浩

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為什么那么難？很大程度上是學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時沒有吃透，那么如何提高概念學(xué)習(xí)的效率呢？本文首先從概念的類型、直觀背景和原型這3個方面就影響概念學(xué)習(xí)的因素進行分析，接著思考對策.

一、影響因素分析

1.概念的類型

從概念的來源來看，我們教材中的數(shù)學(xué)概念分為兩類：第一類是客觀世界中的直接抽象，源于客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，如幾何圖形、自然數(shù)等，這類概念由于有直觀的原型，學(xué)生更容易理解；第二類是從已有數(shù)學(xué)理論出發(fā)，以此為基礎(chǔ)從邏輯關(guān)系建構(gòu)的，如映射、群、環(huán)、域等，這類概念要求學(xué)生有更高的抽象思維的能力.兩類概念相比，學(xué)生在學(xué)習(xí)第二類概念時難度高于第一類.

2.概念的直觀背景

什么是數(shù)學(xué)概念的直觀背景呢？

學(xué)生的學(xué)習(xí)并非孤立的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)亦是如此，數(shù)學(xué)概念的直觀背景指的是包括圖形、符號、實物模型等在內(nèi)的與概念相關(guān)的直觀形象，“直觀背景”有助于學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，能有效減輕學(xué)生從數(shù)學(xué)現(xiàn)象和感知轉(zhuǎn)向抽象概念過程中存在的理解上的負擔(dān)，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的提取，促進概念意象的形成和理解.不過，任何的直觀性背景材料都有存在局限性，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中容易出現(xiàn)部分代替整體，或受到非本質(zhì)背景的學(xué)習(xí)干擾，對學(xué)生的概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響.為了幫助學(xué)生深入理解概念的本質(zhì)特征，筆者認為

在概念學(xué)習(xí)的初期，最好選擇低干擾的例子避免學(xué)生被非本質(zhì)背景的影響，在概念學(xué)習(xí)的后期尤其是復(fù)習(xí)階段，學(xué)生對于概念有了較深的理解后，可以選擇具有高干擾背景的例子引導(dǎo)學(xué)生在辨析的過程中進行概念的鞏固和內(nèi)化.

3.概念的原型

所謂的原型，指的是在表征數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性時最具典型性的標(biāo)準(zhǔn)實例.從高中數(shù)學(xué)教學(xué)概念的原型分為如下幾個：

（1）實例原型：例如我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)等比數(shù)列時舉的《國王與棋盤》的故事；

（2）圖形原型：例如我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“圓”的概念時，圓的圖形就很典型；

（3）表達式原型：例如我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“雙曲線”時，x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）這個原型就比y=1x更容易想到；

（4）操作式原型：例如線面角的概念.

二、對策研究

1.注重學(xué)情的分析，精準(zhǔn)把握問題切入點

不同的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況不一樣，其認知基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)習(xí)慣和知識結(jié)構(gòu)都存在差異，我們?nèi)绻粚W(xué)生進行學(xué)情分析，或照本宣科、或憑經(jīng)驗盲目地進行設(shè)計問題都容易導(dǎo)致問題設(shè)置的低效，筆者認為基于問題解決的高中數(shù)學(xué)概念課在問題的設(shè)計上必須對學(xué)情進行準(zhǔn)確的把握，據(jù)此制定教學(xué)目標(biāo)和設(shè)置有效問題.當(dāng)然，問題的切入點不僅是要考慮學(xué)生認知的起點，還應(yīng)該考慮學(xué)生從起點到目標(biāo)達成思維上和問題解決上所需要的持續(xù)性條件.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)最簡三角方程時，在考慮了學(xué)生的認知基礎(chǔ)后，問題的設(shè)置從求sinx=13的解集入手，從解決具體的方程的解集入手，以此問題作為跳板再求sinx=a的解決，完成最簡三角方程sinx=a解集的探究.這樣的做法符合學(xué)生的從特殊到一般的認知和思維習(xí)慣.

2.制作認知沖突，力克相異構(gòu)想

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個具體的數(shù)學(xué)概念前并非空著腦袋的，原有概念體系與新概念之間有聯(lián)系也有存在沖突的地方，甚至有些學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的想法與科學(xué)的概念相背離即出現(xiàn)了相異構(gòu)想.

例如，筆者在和學(xué)生一起探究“向量數(shù)量積的運算性質(zhì)”時，從學(xué)生原有的實數(shù)乘法的運算性質(zhì)出發(fā)，暴露學(xué)生的問題，然后再解決問題發(fā)現(xiàn)運算性質(zhì).

3.注重問題對知識學(xué)習(xí)進程的驅(qū)動性作用

基于問題的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)離不開問題的設(shè)置，那么問題起到什么作用呢？筆者認為我們在進行教學(xué)設(shè)計時，對于問題的具體作用一定要做到心中有數(shù)，每一個問題的設(shè)計意圖應(yīng)該是清晰且具有指向性的，唯有如此，問題才能具有學(xué)習(xí)驅(qū)動性，不斷地激活并將學(xué)生的思維方向調(diào)整到概念的自主構(gòu)建活動中來.

4.問題解決中注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想方法是高中數(shù)學(xué)的精髓所在，基于問題解決的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)在問題解決的過程中應(yīng)該注重思想方法的滲透，讓學(xué)生習(xí)得的不是孤立的知識和概念，而是有血有肉有骨頭的完整的數(shù)學(xué).

例如，筆者在和學(xué)生一起“學(xué)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時”，設(shè)置問題情景，學(xué)生在解決問題的過程中就可以融入解析幾何的基本思想，算法思想，作圖及方程的思想等等.首先，問題式導(dǎo)入，然后生成問題，在解決問題的過程中滲透多種思想方法.

問題1：圓是如何定義的？（到定點的距離等于定長的點的集合.）

問題2：如何使用三點確定一個圓？（可以在不共線的三點上作圓.）

問題3：你們?nèi)绾问褂萌c作圓？（學(xué)生開始嘗試畫圓，并相互探討，生成新的問題）

生成新的問題4：如何將幾何問題歸納為代數(shù)問題，將代數(shù)問題歸納為方程問題？

那么如何解決問題呢？和學(xué)生圍繞問題進行探討，利用方程研究圓，在問題的解決過程中滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，可以依據(jù)教學(xué)的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生運用算法思想設(shè)計出一個框圖.

5.設(shè)計分層性作業(yè)，激活所有學(xué)生的思維

學(xué)生是教學(xué)的主體，這里說的學(xué)生不僅僅是尖子生和高考中能夠沖擊高分的學(xué)生，還應(yīng)該包括臨界生和后進生.在概念課后的作業(yè)布置上應(yīng)該滿足于所有層次學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣發(fā)展的需要，為此，數(shù)學(xué)作業(yè)必須要有層次性.

（1）雙基題，這個層次的數(shù)學(xué)作業(yè)是最基本的問題，目標(biāo)指向滿足于基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生思維發(fā)展需求，幫助學(xué)生有效復(fù)習(xí)最為基本的知識和規(guī)律.高考中的中檔題甚至于難題都是由雙基構(gòu)成的，注重雙基題的作業(yè)設(shè)計有助于學(xué)習(xí)薄弱的學(xué)生夯實基礎(chǔ).

（2）中等題，這部分作業(yè)目標(biāo)指向中等層次的學(xué)生，著力提高學(xué)生分析問題解決問題能力.

（3）提高練習(xí)，這個層次要結(jié)合所教班級的學(xué)生實際進行設(shè)計，班級內(nèi)部總有少數(shù)或極少數(shù)的幾個學(xué)生，中等題對他們還存在吃不飽的現(xiàn)象，怎么辦？結(jié)合他們的具體情況，設(shè)計幾道具有開放性的思維力度的作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)習(xí)的內(nèi)容進行深加工，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性.

概念是高中數(shù)學(xué)知識大廈的基石，影響高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的外部因素包括概念的類型、直觀背景、原型等等，有效解決的對策在于概念教學(xué)的問題化，引導(dǎo)學(xué)生在問題的解決過程中越發(fā)接近概念的本質(zhì).