肖燕婷,孫曉青,孫瑾

(西安理工大學理學院應用數(shù)學系,陜西西安710054)

縱向數(shù)據(jù)下部分非線性模型的廣義經(jīng)驗似然推斷

肖燕婷,孫曉青,孫瑾

(西安理工大學理學院應用數(shù)學系,陜西西安710054)

本文研究了縱向數(shù)據(jù)下部分非線性模型中未知參數(shù)的置信域的構造.利用經(jīng)驗似然方法,構造了非線性函數(shù)中未知參數(shù)的廣義對數(shù)經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量,證明了其漸近于卡方分布.同時,得到了未知參數(shù)的最大經(jīng)驗似然估計,并證明了其漸近正態(tài)性.

縱向數(shù)據(jù);部分非線模型;經(jīng)驗似然;置信域

1　引言

縱向數(shù)據(jù)是生物醫(yī)學、流行病學和計量經(jīng)濟學等學科中經(jīng)常出現(xiàn)的一類復雜數(shù)據(jù).由于其具有個體間觀測值獨立,個體內觀測值相關的特性,不同于一般的獨立數(shù)據(jù),對其相關研究已成為統(tǒng)計學界的研究熱點之一.

本文考慮如下的縱向數(shù)據(jù)下的部分非線性模型

其中觀測數(shù)據(jù)來自n個個體,第i個個體具有mi次觀測,總的觀測次數(shù)為和(Xij∈Rp,Tij)分別為第i個個體的第j(j=1,···,mi)次觀測的響應變量和協(xié)變量;β為d×1維未知參數(shù)向量;g(.,.)為已知的可測函數(shù);m(.)為定義在[0,1]上的未知光滑函數(shù); eij為隨機誤差.記第i個個體的隨機誤差向量為ei=(ei1,ei2,···,eimi)T,{ei,i=1,···,n}相互獨立,且E(ei)=0,Var(ei)=Σi并要求Σi為正定陣.

如果不考慮縱向數(shù)據(jù),部分非線性模型(1.1)在獨立數(shù)據(jù)下,已有不少學者研究了模型中未知參數(shù)和未知函數(shù)的估計,如Li和Nie[1]提出可以采用輪廓非線性最小二乘方法和局部線性逼近技術估計模型參數(shù);Xiao等[2]將經(jīng)驗似然方法應用于該模型,構造了未知參數(shù)和未知函數(shù)的經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量,從而可以得到未知參數(shù)的置信域和未知函數(shù)的同時置信帶.

對于復雜數(shù)據(jù)下的部分非線性模型,馮三營等[3]考慮了當非參數(shù)協(xié)變量具有可加測量誤差時,采用逆卷積方法,構造了模型中未知參數(shù)的經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量,并證明了其具有漸近卡方分布.接著,文獻[4]給出了模型中回歸系數(shù),光滑函數(shù)以及誤差方差的最大經(jīng)驗似然估計.肖燕婷等[5]借助核實數(shù)據(jù),給出了協(xié)變量帶測量誤差的部分非線性模型中未知參數(shù)的兩種估計方法.武大勇等[6]在響應變量隨機缺失的情形下,給出了未知參數(shù)的最大經(jīng)驗似然估計,并證明了估計的漸近正態(tài)性.劉強[7]在解釋變量帶有測量誤差且響應變量隨機缺失的復雜情形下,利用核實數(shù)據(jù),給出了未知參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)的兩種估計.但在縱向數(shù)據(jù)下,對該模型的研究還比較少.

本文針對縱向數(shù)據(jù)下的部分非線性模型(1.1),利用Owen[8]等提出的經(jīng)驗似然方法,構造了模型中未知參數(shù)β的廣義對數(shù)經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量,證明了所提統(tǒng)計量的漸近χ2分布,所得結果可以構造未知參數(shù)的置信域.同時,利用對數(shù)經(jīng)驗似然比函數(shù),得到了未知參數(shù)的最大經(jīng)驗似然估計,證明了其漸近正態(tài)性.

2　方法與主要結果

假設觀測數(shù)據(jù){(Xij,Tij,Yij),i=1,···,n,j=1,···,mi}由模型(1.1)產(chǎn)生.對(1.1)式兩邊在給定Tij=t時求條件期望,可以得到

其中m1(t,β)=E(g(Xij,β)|Tij=t),m2(t)=E(Yij|Tij=t).利用核估計方法,可以得到m1(t,β)和m2(t)的估計,分別由下式給出

其中Wij(t)=Kh(Tkl-t)為核權函數(shù),Kh(.)=K(./h)且K(.)為核函數(shù),h為帶寬.因此m(t)的估計為

為了構造未知參數(shù)β的對數(shù)經(jīng)驗似然比函數(shù),需要引入如下的輔助隨機向量

其中Vi可以為任意指定的工作協(xié)方差陣.但在實際應用中,為了避免由于錯誤指定協(xié)方差陣而引起的估計效率的降低,可以用其估計值代替真實值Vi,且,其中Zi(β)=0,且在Zi(β)中令Vi=I得到的未知參數(shù)β的初估計.

類似于文獻[9],定義如下廣義的經(jīng)驗對數(shù)似然比函數(shù)

根據(jù)Lagrange乘子方法,L(β)可以寫成

其中λ=λ(β)由下式?jīng)Q定

通過極小化L(β),可以得到參數(shù)β的最大經(jīng)驗似然估計,記做.將代入(2.3)式,可以得到未知函數(shù)m(t)的最終估計,為(t)=2(t)-1(t,).

3　漸近性質

令g(1)(Xij,β)=h(Tij,β)+uij(β),i=1,···,n,j=1,···,mi,其中h(Tij,β)= E(g(1)(Xij,β)|Tij),且E(uij(β))=0.令ha(Tij,β)為h(Tij,β)的第a個分量,a=1,···,d.類似于(2.2)式,ha(t,β)的核估計可以定義為a(t,β)=其中(Xij,β)為g(1)(Xij,β)的第a個分量.

為了得到估計量的漸近性質,需要給出以下假設條件.

C1:帶寬滿足h=h0N-1/5,對某個h0＞0.

C2:核函數(shù)K(.)為對稱的概率密度函數(shù),且在它的支撐[-1,1]上有界.

C4:T的密度函數(shù)f(t)在(0,1)是連續(xù)可微的,且有界.

C5:對任意的β,非線性函數(shù)g(x,β)具有二階連續(xù)導數(shù).

C6:函數(shù)m(t),ha(t,β),a=1,···,d在(0,1)上是二次連續(xù)可微的.

C7:定理2.2中的矩陣Γ為正定矩陣.

注條件C1-C7是文獻中經(jīng)常用到的條件.條件C1說明了在估計m(.)時不必欠光滑; C2為核函數(shù)的一般性條件;條件C3-C6為部分非線性模型中常見的條件;條件C7保證了最大經(jīng)驗似然估計的漸近方差的存在.

定理2.1假設條件C1-C6成立,如果β為真實參數(shù)值,則有

定理2.2假設條件C1-C7成立,則有

4　定理的證明

為了完成定理的證明,需要首先給出以下引理.

引理1假設條件C1-C6成立,則有

證僅給出以上第1個等式的證明,其余兩個等式可用同樣的方法證明.根據(jù)不等式(A+B)2≤2A2+2B2可以得到

類似于文獻[10]中引理1中的證明,可以得到

基于這樣的事實E[Ykl-m2(Tkl)]=0,由條件C2-C4可得

結合(4.1)-(4.3)式,該結論得證.

引理2假設條件C1-C7成立,如果β為參數(shù)的真值,則有

其中Λ的定義見定理2.2.

對A1,很容易得到E(A1)=0和cov(A1)=Λ.根據(jù)Lindeberg-Feller中心極限定理可以得到

根據(jù)引理1可以得到E||A2||2≤c{(nh)-1+h4}→0,因此得到類似的還有E||A3||2≤c{(nh)-1+h4}→0,即進一步,根據(jù)引理1和Cauchy-Schwarz不等式,可以得到→0,由此推得

綜合以上討論,這就完成了該引理的證明.

引理3假設條件C1-C7成立,如果β為參數(shù)的真值,則有

證仍然使用引理2中的記號,并記Ji=R2i+R3i+R4i,則有

定理1的證明根據(jù)引理2-3和Owen[8]的思想,可以得到

對(2.6)式作用Taylor展式,并采用引理2-3,可以得到

根據(jù)引理2和(4.5)式,(4.6)式,可以得到

將(4.7)式代入(4.6)式,可以得到

再結合(4.8)式,引理2-3,該定理得證.

和

對Q1n(,)和Q2n(,)在點(β,0)作用Taylor展式,可以得到

其中δn=||-β||+||||,因此可以得到

其中Sn=

根據(jù)(4.5)式并注意到Q1n(β,0)=Zi(β)=Op(n-1/2)可以得到δn=op(n-1/2).經(jīng)過簡單計算可以得到

根據(jù)引理1可以證明

此式連同(4.9)式及引理2和Slutsky定理,可以證得該定理.

[1]Li R,Nie L.Efficient statistical inference procedures for partially nonlinear models and their applications[J].Biometrics,2008,64(3):904-911.

[2]Xiao Y T,Tian Z,Li F X.Empirical likelihood-based inference for parameter and nonparametric function in partially nonlinear models[J].J.Korean Stat.Soc.,2014,43(4):367-379.

[3]馮三營,李高榮,薛留根,陳放.非線性半?yún)?shù)EV模型的經(jīng)驗似然置信域[J].高校應用數(shù)學學報,2010, 25(1):53-63.

[4]馮三營,薛留根.非線性半?yún)?shù)EV模型的最大經(jīng)驗似然估計[J].數(shù)學物理學報,2012,32(4):729-743.

[5]肖燕婷,田錚,孫瑾.核實數(shù)據(jù)下非線性半?yún)?shù)EV模型的估計[J].數(shù)學雜志,2015,35(5):1075-1085.

[6]武大勇,李鋒.隨機缺失下半?yún)?shù)回歸模型的最大經(jīng)驗似然估計[J].山東大學學報,2015,50(4):20-23.

[7]劉強.缺失數(shù)據(jù)下非線性半?yún)?shù)EV模型的估計[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2010,30(9):1236-1250.

[8]Owen A.Empirical likelihood ratio confidence intervals for a single function[J].Biometrika,1988, 75(2):237-249.

[9]Li G R,Tian P,Xue L G.Generalized empirical likelihood inference in semiparametric regression model for longtitudianl data[J].Acta Math.Sinica,Engl.Ser.,2008,24(12):2029-2040.

[10]薛留根,朱力行.縱向數(shù)據(jù)下部分線性模型的經(jīng)驗似然推斷[J].中國科學,2007,37(1):31-44.

2010 MR Subject Classification:62G05

GENERALIZED EMPIRICAL LIKELIHOOD INFERENCE FOR PARTIALLY NONLINEAR MODELS WITH LONGITUDINAL DATA

XIAO Yan-ting,SUN Xiao-qing,SUN Jin
(Department of Applied Mathematics,Xi’an University of Technology,Xi’an 710054,China)

In this paper,we study the construction of confidence region for unknown parameter in partially nonlinear models with longitudinal data.By empirical likelihood method, the generalized empirical log-likelihood ratio for parameter in nonlinear function is proposed and shown to be asymptotically chi-square distribution.At the same time,the maximum empirical likelihood estimator of the parameter in nonlinear function is obtained and asymptotic normality is proved.

longitudinal data;partially nonlinear models;empirical likelihood;confidence region

MR(2010)主題分類號:62G05O212.7

A

0255-7797(2016)06-1238-07

?2015-10-23接收日期:2016-02-25

國家自然科學基金(61303223;11501443);陜西省自然科學基金(2015JM1039);陜西省教育廳基金(2016JK1545);西安理工大學?；?2015CX009

肖燕婷(1981-),女,陜西西安,講師,主要研究方向:非(半)參數(shù)統(tǒng)計.