哈金才,楊洪福,張啟敏

(北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,寧夏銀川750021)

分?jǐn)?shù)階模糊時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型解的存在唯一性和有限時間穩(wěn)定性

哈金才,楊洪福,張啟敏

(北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,寧夏銀川750021)

本文介紹了一類分?jǐn)?shù)階模糊時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.利用壓縮映射原理,討論了帶時滯的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型解的存在性和唯一性,并根據(jù)Gronwall不等式結(jié)合分?jǐn)?shù)階微分方程的性質(zhì),證明了分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型平衡點的有限時間穩(wěn)定性,給出了有限時間穩(wěn)定性的判斷準(zhǔn)則.最后,給出數(shù)值仿真說明了理論結(jié)果的正確性.

分?jǐn)?shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);存在性;唯一性;有限時間穩(wěn)定性

1　引言

近幾年來,由于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可應(yīng)用于許多科學(xué)和工程領(lǐng)域,因此分?jǐn)?shù)階微積分模型受到人們越來越多的關(guān)注[1-10].文獻(xiàn)[3-6,9]表明記憶效果(分?jǐn)?shù)微分或積分算子)用到一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是一個非常重要的改進(jìn).

另一方面,微分方程的穩(wěn)定性分析一直是最重要的動力學(xué)行為,與古典的李雅普諾夫穩(wěn)定相比較,有限時間穩(wěn)定更符合實際需要.然而,關(guān)于時滯分?jǐn)?shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型還沒有這方面的討論.本文考慮如下帶有時滯的分?jǐn)?shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型:

其中t∈T=[0,T],i∈?={1,2,···,n},n是神經(jīng)元的個數(shù),xi(t)表示第i個神經(jīng)元在t時刻的狀態(tài)變量;αij,βij分別表示模糊反饋最小和最大模塊的鏈接權(quán)重;Tij及Hij分別表示模糊前向最小和最大模塊的聯(lián)接權(quán)重;aij表示第j個神經(jīng)元與第i個神經(jīng)元的聯(lián)接權(quán)重;bij表示自由向前模塊;∧,∨分別表示模糊與(取小)和模糊或(取大)算子;μi,Ii分別表示第i個神經(jīng)元的輸入和偏差;ci＞0表示網(wǎng)絡(luò)不連通和無外部附加電壓差時第i個神經(jīng)元恢復(fù)獨立靜息狀態(tài)的速率;fj(·)為激活函數(shù);τj≥0表示沿軸突的第j個神經(jīng)元的傳輸延遲.

系統(tǒng)(1.1)的初始條件為

其中

這里C([-τ,0],Rn)表示所有從[-τ,0]到Rn的連續(xù)函數(shù)組成的全體.定義范數(shù)為‖|φ|‖=‖φ(t)‖,其中‖φ(t)‖=|φi(t)|.為了證明方便,定義如下符號

2　預(yù)備知識

定義2.1[1,3]函數(shù)f的α分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中t≥t0且α＞0,Γ(·)為Gamma函數(shù),Γ(s)=

定義2.2[1,5]函數(shù)f的α階Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為

其中t≥t0.m是一個正整數(shù)滿足m-1＜α＜m.特殊地,當(dāng)0＜α＜1時,

定義2.3[7,8]對任意t∈[0,+∞),如果常量x?=()T∈Rn滿足

則稱x?為系統(tǒng)(1.1)的平衡點.

定義2.4[9,10]若系統(tǒng)(1.1)的平衡點x?=()T關(guān)于{t0,δ,ε,T,τ}是有限時間穩(wěn)定,則對任意常數(shù)ε＞0,都能找到0＜δ＜ε,使得當(dāng)初始值(1.2)滿足‖|φ-x?|‖＜δ時,系統(tǒng)(1.1)的任意解x(t)=(x1(t),x2(t),···,xn(t))T有‖x(t)-x?‖＜ε,?t∈T=[t0,t0+T].

引理2.1[2,4]若x(t)∈Cm([0,∞),Rn),且m-1＜α＜m∈Z+,則有

(1)IαIβx(t)=Iα+βx(t),α,β≥0,

(2)DαIαx(t)=x(t),α≥0,

(3)IαDαx(t)=x(t)-x(j)(0),α≥0.

引理2.2[11]對任意的αij,βij∈R及i,j∈?,如下結(jié)論成立:

引理2.3[12]若κ1,κ2,···,κd是非負(fù)實數(shù),d∈Z+,因此對任意的λ＞1,有

為了證明本文的主要結(jié)果,對分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(1.1)給出如下假設(shè):

(H1)激活函數(shù)fj(·)滿足Lipschitz條件,即存在Lj＞0,使得

(H2)對于ci,aij,αij,βij和Lj,滿足如下不等式(++)＜.

3　分?jǐn)?shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型解的存在唯一性

為了討論分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1.1)解的存在性與唯一性,先給出如下定理.

定理3.1如果假設(shè)(H1)和(H2)成立,則系統(tǒng)(1.1)存在唯一的平衡點x?.

證首先,構(gòu)造一個映射Θ:Rn→Rn滿足

其中Θ(u)=(Θ1(u1),Θ2(u2),···,Θn(un))T.對于任意兩個不同的向量u=(u1,u2,···,un)T和v=(v1,v2,···,vn)T,有

根據(jù)引理2.2和假設(shè)(H1),可得

從假設(shè)條件(H2),有

由(3.2)式可知Θ:Rn→Rn是壓縮映射.故存在唯一不動點u?∈Rn使得Θ(u?)=u?.即

因為u?是唯一的不動點,因此分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(1.1)有唯一的平衡點x?.

定理3.2如果定理3.1中的假設(shè)成立,且系統(tǒng)(1.1)的解x(t)∈C([0,T],Rn)滿足初始條件,則系統(tǒng)(1.1)存在唯一解x(t).

證證明與定理3.1類似,略.

4　分?jǐn)?shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的有限時間穩(wěn)定性

本節(jié)應(yīng)用定理3.1和定理3.2討論分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1.1)解的穩(wěn)定性.

定理4.1當(dāng)0.5≤α＜1時,如果假設(shè)(H1)和(H2)成立,并且滿足不等式

其中

則(1.1)式的唯一平衡點x?=()關(guān)于{t0=0,δ,ε,T=[0,T],τ}是有限時間穩(wěn)定.

證設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),···,xn(t))T是系統(tǒng)(1.1)的任意解,因此有

通過引理2.1,可得出如下方程

根據(jù)引理2.2,再由假設(shè)(H1)和范數(shù)‖·‖的性質(zhì),顯然有

對(4.2)式應(yīng)用Cauchy-Schwartz不等式,可得

另一方面,有

把(4.4)式帶入(4.3)式,可得

把引理2.3中λ=2和d=3應(yīng)用到(4.5)式,可得

因為當(dāng)t∈[-τ,0]時,有x(t)=φ(t),在結(jié)合范數(shù)‖|φ-x?|‖=‖φ(t)-x?‖,有

根據(jù)(4.6)式,可以有

應(yīng)用Gronwall不等式,可得

因此有

由此可知當(dāng)‖|φ-x?|‖＜δ時,并且(4.1)式成立,則‖x(t)-x?‖＜ε.根據(jù)定義2.4,可知系統(tǒng)(1.1)中當(dāng)0.5≤α＜1時平衡點x?=()T關(guān)于{t0=0,δ,ε,T=[0,T],τ}是有限時間穩(wěn)定.

定理4.2當(dāng)0＜α＜0.5時,如果假設(shè)(H1)和(H2)成立,并且滿足不等式

其中

p=1+α,q=1+1/α,則系統(tǒng)(1.1)的唯一平衡點x?=()T關(guān)于{t0= 0,δ,ε,T=[0,T],τ}是有限時間穩(wěn)定.

證類似于定理4.1,對系統(tǒng)(1.1)有如下估計

設(shè)p=1+α,q=1+1/α,顯然,p,q＞1且1/p+1/q=1.利用Hder不等式,可得

另一方面,有

將(4.10)式代入(4.9)式,可得

把引理2.3中λ=q和d=3應(yīng)用到(4.11)式,可知

由此可得

應(yīng)用Gronwall不等式,可得

因此有

由此可知當(dāng)‖|φ-x?|‖＜δ且(4.7)式成立,則‖x(t)-x?‖＜ε,根據(jù)定義2.4,可得出系統(tǒng)(1.1)中當(dāng)0＜α＜0.5時平衡點x?=()T關(guān)于{t0=0,δ,ε,T=[0,T],τ}是有限時間穩(wěn)定.

5　數(shù)值仿真算法

因為大部分的分?jǐn)?shù)階微分方程不能求出解析解,所以在研究分?jǐn)?shù)階微分方程時,近似的數(shù)值方法是必要的.在文獻(xiàn)[13]中,作者提出了一個數(shù)值算法(預(yù)估方法)求解分?jǐn)?shù)階微分方程.該方法是Adams-Bashforth-Moulton的方法的推廣,考慮如下形式的分?jǐn)?shù)階微分方程

故方程(5.1)可以等價表示為

在本文中

設(shè)h=T/N,tk=kh,k=0,1,2,···,N∈Z+,因此(5.2)式可寫成

其中

6　數(shù)值算例

本節(jié)將根據(jù)第5節(jié)的數(shù)值仿真算法,并通過一個數(shù)值算例來驗證本文理論結(jié)果的正確性和有效性.

考慮如下帶有變時滯的分?jǐn)?shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型:

圖6.1當(dāng)α=0.98和h=0.01時,分?jǐn)?shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(6.1)的狀態(tài)軌跡.

其中α=0.98,并且有c1=0.55,c2=0.45,a11=0.4,a12=-0.01,a21=0.01,a22=0.1, α11=-0.01,α12=-0.4,α21=-0.01,α22=-0.01,β11=0.01,β12=-0.01,β21=-0.1, β22=0.01,T11=0.02,T12=0.01,T21=-0.01,T22=0.05,H11=0.06,H12=0.01, H21=-0.01,H22=0.1,I1=-0.8,I2=0.3,μ1=μ2=0.1,τj=0.5,f2(x2(t))=x2(t)+1|+|x2(t)-1|),f1(x1)=tanh(x1).

顯然,可以得出激活函數(shù)fj(xj(t))(j=1,2)滿足假設(shè)條件(H1)并且可得Lj=1(j= 1,2).選取δ=0.036,ε=1,當(dāng)α=0.98時,可以得到M=0.131887442012802,N= 1.839513983297748.從不等式

中可以估計出時間T=1.6137,在根據(jù)定理3.1和定理4.1可知,系統(tǒng)(6.1)有唯一的平衡點=(-2.98348,1.10785),并且關(guān)于{t0=0,δ=0.036,ε=1,T=[0,1.6137],τ=0.5}是有限時間穩(wěn)定的.根據(jù)第5節(jié)的數(shù)值仿真,考慮如下情況.

情況1系統(tǒng)(6.1)的初始值為(x1,x2)=(-2.9816,1.1090).

情況3系統(tǒng)(6.1)的初始值為(x1,x2)=(-2.9854,1.1067).

根據(jù)圖6.1知當(dāng)時間步長h=0.01時,對于情況1-3可得出系統(tǒng)(6.1)的唯一平衡點是=(-2.98348,1.10785),并關(guān)于{t0=0,δ=0.036,ε=1,T=[0,1.6137],τ=0.5}是有限時間穩(wěn)定的.說明了理論結(jié)果的正確性.

[1]Shu X B,Lai Y,Chen Y.The existence of mild solutions for impulsive fractional partial differentialequations[J].Nonl.Anal.TMA,2011,74:2003-2011.

[2]Li C P,Deng W H.Remarks on fractional derivatives[J].Appl.Math.Comput.,2007,187:777-784.

[3]Chen L P,Chai Y,Wu R C,Ma T D,Zhai H Z.Dynamic analysis of a class of fractional-order neural networks with delay[J].Neurocomputing,2013,11:190-194.

[4]蔣和平,蔣威.一類非線性分?jǐn)?shù)階泛函微分方程正解的存在性(英文)[J].數(shù)學(xué)雜志,2014,36(1):43-50.

[5]Chen J,Zeng Z,Jiang P.Global Mittag-Leffler stability and synchronization of memristor-based fractional-order neural networks[J].Neural Net.,2014,51:1-8.

[6]Yu J,Hu C,Jiang H.α-Stability and α-synchronization for fractional-order neural networks[J]. Neural Net.,2012,35:82-87.

[7]Li Y,Chen Y,Podlubny I.Stability of fractional-order nonlinear dynamic systems:Lyapunov direct method and generalized Mittag-Leffler stability[J].Comput.Math.Appl.,2010,59:1810-1821.

[8]Delavari H,Baleanu D,Sadati J.Stability analysis of Caputo fractional-order nonlinear systems revisited[J].Nonl.Dyn.,2012,67:2433-2439.

[9]Ke Y,Miao C.Stability analysis of fractional-order Cohen-Grossberg neural networks with time delay[J].Int.J.Comput.Math.,2015,92(6):1102-1113.

[10]劉可為,蔣威.分?jǐn)?shù)階中立型微分方程的有限時間穩(wěn)定(英文)[J].數(shù)學(xué)雜志,2014,34(1):43-50.

[11]Yang L B,Wu C W,Chua L O.Fuzzy cellular neural networks:theory[J].Proc.IEEE Intern.Work. Cell.Neural Net.Appl.,1996:181-186.

[12]Kuczma M.An introduction to the theory of functional equations and inequalities:Cauchy’s equation and Jensen’s inequality[M].Basel:Birkhuser Verlag,2009.

[13]Diethelm K,Ford N J,Freed A D.A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations[J].Nonl.Dyn.,2002,29(1-4):3-22.

2010 MR Subject Classification:26A36;35R11;34D20;60H15

EXISTENCE,UNIQUENESS AND FINITE TIME STABILITY OF FRACTIONAL ORDER FUZZY NEURAL NETWORKS WITH DELAY

HA Jin-cai,YANG Hong-fu,ZHANG Qi-min
(School of Mathematics and Information Science,Beifang University for Nationalities, Yinchuan 750021,China)

In this paper,we introduce a class of fractional-order fuzzy neutral network system.According to Gronwall inequality,contraction mapping principle and the properties of fractional differential equation,the existence,uniqueness and finite time stability of fractional-order fuzzy neural networks with delay are researched.Finally,the numerical simulation is studied to illustrate the theory.

fractional-order fuzzy neutral network;existence;uniqueness;finite time stability

MR(2010)主題分類號:26A36;35R11;34D20;60H15O211.63

A

0255-7797(2016)06-1261-12

?2015-07-03接收日期:2016-04-08

寧夏自然科學(xué)基金資助(NZ15104);國家自然科學(xué)基金資助(11461053;11261043);寧夏高?？蒲许椖抠Y助(NGY20140152).

哈金才(1971-),男,寧夏銀川,副教授,研究方向:應(yīng)用概率統(tǒng)計.

楊洪福.