宋明珠,吳永鋒

(銅陵學院數學與計算機學院,安徽銅陵244000)

隨機環(huán)境中馬氏鏈函數的強大數定律

宋明珠,吳永鋒

(銅陵學院數學與計算機學院,安徽銅陵244000)

本文研究了隨機環(huán)境中馬氏鏈函數的強極限定理,得到了隨機環(huán)境中馬氏鏈函數強大數定律成立的兩個充分條件,拓寬了已有定理的適用范圍.

隨機環(huán)境;馬氏鏈;強大數定律

1　引言與引理

20世紀80年代初Cogburn等人開始研究隨機環(huán)境中馬氏鏈的一般理論,取得一系列深刻而豐富的成果[1-3].Orey[4]在Cogburn等人研究的基礎對隨機環(huán)境中馬氏鏈進行了深入地研究,并提出一系列的問題,引起眾多概率論學者的關注.目前有關隨機環(huán)境中馬氏鏈的強大數定律方面的研究文獻比較多,如李應求[8]研究了馬氏環(huán)境中馬氏鏈的強極限定理,同時在文獻[9]中研究了具有離散參數量的馬氏環(huán)境中馬氏鏈函數的強大數定律.然而隨機環(huán)境中馬氏鏈函數的強大數定律研究卻很少,鑒于此,本文通過對一類馬氏鏈函數強大數定理的研究,推進這方面的研究.本文研究了隨機環(huán)境中馬氏鏈函數的強極限定理,得到了隨機環(huán)境中馬氏鏈函數強大數定律成立的兩個充分條件,已有的文獻是在馬氏環(huán)境中給出了馬氏鏈函數的強大數定律,本文僅在隨機環(huán)境的條件下得到了類似的結論,從而拓寬了已有定理的適用范圍.

本文沿用文[1-4]中的符號和術語,設N表示整數集,N+表示非負整數集,(Ω,F,P)是一概率空間,(X,A)和(Θ,B)均為任意的可測空間,分別是(Ω,F,P)上取值于Θ和X的隨機序列,{P(θ):θ∈Θ}是(X,A)上的一族轉移函數,且對任意的A∈A,P(·;·,A)是關于B×A可測的,{Kn(.,.)}是(Θ,B)上的一步轉移概率函數族,且假定任意的B∈B,Kn(.,B)是關于B可測的.對任意序列記

定義1[5]如果對任意的A∈A,n∈N+,有

引理1[5]是隨機環(huán)境中的馬氏鏈,{fn(.)}n≥0是(X,A)上的有界可測函數列,令則E[fn(Xn)|Fn-1]=E[fn(Xn)|Xn-1,ξn-1]a.s..

引理2[6](克羅內克引理)設{xn}是實數的一個序列,{αn,n＞0}是=∞的一個正數列,若

引理3[6]對任意的事件{En,n∈N+},若P(En)＜∞,則P(Eni.o.)=0.

2　主要結果及證明

則?k≥1有

及

這里約定?k≥1,X-k=0,ξ-k=0.

證k=1的情況.因為1≤β≤2,所以當|fn(Xn)|＞an＞0時,有

由(2.1)式可知

由引理3可知P(|fn(Xn)|＞ani.o.)=0,即P(＞1 i.o.)=0,所以

由(2.1)式知

所以

記

所以

由(2.2)、(2.3)和(2.4)式可知

下面考慮k＞1的情形.由{Xn,n≥0}的馬氏性知,對于任意的m=1,2,···,k-1,{Xnk+m,n≥0}也是馬氏鏈,由(2.1)式顯然有

由(2.5)式知,對任意的m=1,2,···,k-1,有

從而由(2.6)式知

由引理2和(2.7)式知

即定理1得證.

注定理1與文獻[7]中的引理4都給出了隨機環(huán)境中馬氏鏈函數強大數定律成立的充分條件,但是兩個定理應用的前提條件不一樣.

則

證對任意非零的實數λ,令

易證E(Mn+1|Fn)=Mn,所以{Mn(λ),Fn,n≥1}是非負實值鞅,由鞅收斂定理可知Mn(λ)＜∞a.s.,因此當0＜an↑∞,有l(wèi)nMn(λ)≤0a.s.,即

當λ＞0時,將(2.8)式兩邊同除以λ可得

當λ＜0時,將(2.8)式兩邊同除以λ可得

首先證明0≤α≤1的情況.當0＜λ＜β,因為

和

故由(2.9)式得

令λ↓0,由(2.11)式可得

當β＜λ＜0,由(2.10)式和類似(2.11)式計算可得

令λ↑0,由上式可得

聯(lián)立(2.12)、(2.13)式可得,當0≤α≤1有

再證明1＜α≤2的情況.

當0＜λ＜β,因為lnx≤x-1(x＞0),ex-1-x≤|x|αe|x|(1＜α≤2),類似(2.11)式得

令λ↓0,則

當β＜λ＜0,類似可得

聯(lián)立(2.14),(2.15)式得,當1＜α≤2有

綜上所述,定理2得證.

證因為{fn(Xn)}n≥0是有界可測函數列,則存在正數M,使對任意的n≥0,有|{fn(Xn)}|≤M.當0＜λ＜1時,因為1＜α≤2,則由定理2的證明過程可得

當λ＜0時,同時可得

聯(lián)立(2.16)、(2.17)式得,當1＜α≤2有

因為{fn(Xn)}n≥0是有界可測函數列,由引理1可得

綜上所述,推論1得證.

[1]Cogburn R.Markov chains in random environments:the case of Markovian environment[J].SANN. Prob.,1980,8(3):908-916.

[2]Cogburn R.The ergodic theory of Markov Chains in random environments[J].Z.Wahrsch.Verw. Gebiete,1984,66(2):109-128.

[3]Cogburn R.On the central limit theorm for Markov Chains in random environments[J].Ann.Prob., 1991,19(2):587-604.

[4]Orey S.Markov chains with stochastically transtion probabilities[J].Ann.Prob.,1991,19(3):907-928.

[5]吳艷蕾等.隨機環(huán)境中馬氏鏈的強大數定律[J].應用概率統(tǒng)計,2011,27(6):579-586.

[6]劉文,吳讓泉等譯.概率論教程[M].上海:上?？茖W技術出版社,1989.

[7]郭明樂.雙無限環(huán)境中馬氏鏈的強大數定律[J].應用數學,2005,18(1):174-180.

[8]李應求,王蘇明,胡楊利.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的一類強極限定理[J].數學進展,2008,37(5):539-550.

[9]李應求.狀態(tài)可數的馬氏環(huán)境中馬氏鏈函數的強大數定律[J].數學雜志,2003,23(4):484-490.

2010 MR Subject Classification:60F05;60J10

A STRONG LAW OF LARGE NUMBERS FOR FUNCTION OF MARKOV CHAINS IN RANDOM ENVIRONMENTS

SONG Ming-zhu,WU Yong-feng
(Department of Mathematics and Computing,Tongling University,Tongling 244000,China)

In this paper,strong limit theorem for function of Markov chains in random environments are investigated.Moreover two sufficients for the strong law of large numbers for function of Markov chains in random environments are obtained.Some laws we abtained broaden the using area of some results already have.

random environments;Markov chains;a strong law of large numbers

MR(2010)主題分類號:60F05;60J10O211.62

A

0255-7797(2016)06-1245-08

?2014-02-28接收日期:2014-12-17

高校省級自然科學研究項目(kj2013z331);省自然科學基金項目(1308085MA03).

宋明珠(1979-),女,安徽無為,講師,主要研究方向:隨機環(huán)境中的馬氏鏈.