奧運(yùn)與二次函數(shù)

陳壽來(lái)

奧運(yùn)與二次函數(shù)

陳壽來(lái)

今年是奧運(yùn)年，中國(guó)運(yùn)動(dòng)健兒在里約奧運(yùn)會(huì)上再創(chuàng)佳績(jī).可你們知道嗎，奧運(yùn)還與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)有“深厚”的聯(lián)系呢.下面圍繞二次函數(shù)這一部分內(nèi)容，以?shī)W運(yùn)為載體，談?wù)勊鼈冎g的密切聯(lián)系.

一、比賽項(xiàng)目與二次函數(shù)

在奧運(yùn)會(huì)的賽場(chǎng)上，人、球或其他物體在空中運(yùn)動(dòng)的某一段過(guò)程形成的軌跡可以看成拋物線，我們以跳水和足球?yàn)槔?

例1如圖1，2016年里約奧運(yùn)會(huì)，某運(yùn)動(dòng)員在10米跳臺(tái)跳水比賽時(shí)估測(cè)身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線（如圖建立直角坐標(biāo)系，圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件），運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的最大高度離水面為米.

圖1

【分析】首先把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式，從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的最大高度離水面為多少米.

例2如圖2，在某場(chǎng)足球比賽中，球員甲從球門底部中心點(diǎn)O的正前方10m處起腳射門，足球沿拋物線飛向球門中心線；當(dāng)足球飛離地面高度為3m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)足球飛行的水平距離為6m.已知球門的橫梁高OA為2.44m.

圖2

（1）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，問(wèn)此飛行中的足球能否進(jìn)球門？（不計(jì)其他情況）

（2）守門員乙站在距離球門2m處，他跳起時(shí)手的最大摸高為2.52m，他能阻止球員甲的此次射門嗎？如果不能，他至少后退多遠(yuǎn)才能阻止球員甲的射門？

【分析】（1）根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）求出當(dāng)x=2時(shí)，拋物線的函數(shù)值，與2.52米進(jìn)行比較即可判斷，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），

設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x-4）2+3，

把（10，0）代入得36a+3=0，

故能射進(jìn)球門；

∴守門員乙不能阻止球員甲的此次射門，

解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），

∴2-1.6=0.4（米）.

答：他至少后退0.4米，才能阻止球員甲的射門.

二、商品與二次函數(shù)

里約當(dāng)?shù)氐纳痰暧泻芏鄪W運(yùn)紀(jì)念品，店家為了獲得更多利潤(rùn)，要對(duì)紀(jì)念品做出合適的定價(jià).

例3奧運(yùn)會(huì)某紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為每件40美元，如果售價(jià)為每件50美元，每天可賣出210件；如果售價(jià)超過(guò)50美元但不超過(guò)80美元，每件紀(jì)念品的售價(jià)每上漲1美元，則每天少賣1件；如果售價(jià)超過(guò)80美元后，若再漲價(jià)，則每漲1美元每天少賣3件.設(shè)每件紀(jì)念品的售價(jià)為x美元，每天的銷售量為y件.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為W，請(qǐng)直接寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）每件紀(jì)念品的售價(jià)定為多少美元時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？每天最大利潤(rùn)是多少美元？

【分析】（1）當(dāng)售價(jià)超過(guò)50美元但不超過(guò)80美元時(shí)，每件紀(jì)念品的售價(jià)每上漲1美元，則每天少賣1件，y=260-x，50≤x≤80；當(dāng)售價(jià)超過(guò)80美元后，若再漲價(jià)，則每漲1美元每天少賣3件，y=420-3x，80＜x＜140.

（2）由利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式.

（3）分別求出兩段函數(shù)的最大值，然后作比較.

【解答】（1）略解，

（2）由利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量，可以列出函數(shù)關(guān)系式：

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80），

w=-3x2+540x-16800（80＜x＜140）；

（3）當(dāng)50≤x≤80時(shí)，w=-x2+300x-10400，

當(dāng)x=80時(shí)有最大值，最大值為7200，

當(dāng)80＜x＜140時(shí)，w=-3x2+540x-16800，

當(dāng)x=90時(shí)，有最大值，最大值為7500，

故售價(jià)定為90美元，每天利潤(rùn)最大為7500美元.

三、贊助商與二次函數(shù)

在奧運(yùn)會(huì)上有很多簽約的贊助商，在奧運(yùn)會(huì)期間他們的廣告無(wú)處不在.

例4如圖3，在邊長(zhǎng)為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個(gè)頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=BF=xcm.

圖3

某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？

【分析】利用已知條件表示出包裝盒的表面面積，進(jìn)而利用函數(shù)最值求出即可.

∵0＜x＜12，

∴當(dāng)x=8時(shí)，S取得最大值384cm2.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué)）