■謝建新

運用探究歸納方法，發(fā)展學(xué)生推理能力——以蘇科版八（上）“探究三角形全等的條件1”為例

■謝建新

推理能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中提出的數(shù)學(xué)課程十個核心概念之一，其中，數(shù)學(xué)推理是指人們在數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)作用下，由若干數(shù)學(xué)條件，結(jié)合一定的數(shù)學(xué)知識、方法，對數(shù)學(xué)對象形成某種判斷的思維操作過程?！墩n標(biāo)》指出推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，一般包括合情推理和演繹推理，合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。論證是推理形式的運用，推理是論證的工具。本文以發(fā)展學(xué)生推理能力為目的，與大家一起研討蘇科版八（上）“探究三角形全等的條件1”中的教學(xué)活動片段及設(shè)計意圖。

一、教學(xué)活動片段及設(shè)計意圖

教學(xué)活動1.復(fù)習(xí)引路，提出問題。

師：復(fù)習(xí)提問，什么叫全等三角形？

生1：兩個能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。

師：如圖，△ABC與△DEF全等嗎？你是怎樣驗證的？

生2：用平移的方法看△ABC與△DEF是否完全重合，若完全重合，則全等；若不完全重合，則不全等。

師：也就是說，根據(jù)全等的定義來判斷兩個三角形全等，需要三條邊對應(yīng)相等、三個角對應(yīng)相等，即六個元素分別對應(yīng)相等。是否有更簡單的判定方法呢？

（設(shè)計意圖：教師將前一節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)，回憶什么叫做全等三角形，從中引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容）

教學(xué)活動2.活動探究，發(fā)現(xiàn)問題。

師：根據(jù)全等的定義來判斷兩個三角形全等，需要三條邊對應(yīng)相等、三個角對應(yīng)相等，即六個元素分別對應(yīng)相等。是否有更簡單的判定方法？例如：一個元素對應(yīng)相等；兩個元素對應(yīng)相等；三個元素對應(yīng)相等……你是如何考慮的？

生3：可以從最簡單的情況開始考慮，看當(dāng)兩個三角形一個元素分別相等時，一個角分別相等的兩個三角形是否全等，一條邊分別相等的兩個三角形是否全等。

生3：一個角分別相等的兩個三角形不全等。例如：我們手中天天用的這副三角板，每個三角板都有一個角為90°，而這兩塊三角板不重合，所以說，一個角分別相等的兩個三角形不全等。

生4：一條邊分別相等的兩個三角形也不全等。例如：我們手中天天用的這副三角板，等腰直角三角板的斜邊與另一塊直角三角板60°角所對的直角邊相等，而這兩塊三角板不重合，所以說，一條邊分別相等的兩個三角形不全等。

師：剛才兩位同學(xué)說得很好，請問：當(dāng)兩個三角形兩個元素分別對應(yīng)相等時又將怎樣？有幾種情況？

生5：當(dāng)兩個三角形兩個元素分別相等時有三種類型：第一種，兩個角分別相等的兩個三角形是否全等；第二種，兩條邊分別相等的兩個三角形是否全等；第三種，一角一邊分別相等的兩個三角形是否全等。

生6：兩個角分別相等的兩個三角形不全等。例如，老師用的含30°、60°的直角三角板與我手中含30°、60°的直角三角板有兩個角分別相等，老師的三角板大而我的三角板小，不會完全重合，所以說，兩個角分別相等的兩個三角形不全等。

生7：一邊一角分別相等的兩個三角形不全等。例如，我們手中天天用的這副三角板，等腰直角三角板的斜邊與另一塊直角三角板60°角所對的直角邊相等，這兩塊三角板都有一個相等的角為90°，而這兩塊三角板不重合，所以說，一邊一角分別相等的兩個三角形不全等。

生8：兩條邊分別相等的兩個三角形不全等。例如，頂角為90°，腰長為6cm的等腰三角形與頂角為60°，腰長為6cm的等腰三角形不會完全重合，所以說，兩條邊分別相等的兩個三角形不全等。

師：同學(xué)們講得很好，并且有很清晰的分類思想，請問：當(dāng)兩個三角形三個元素分別對應(yīng)相等時又將怎樣？有幾種情況？

生9：當(dāng)兩個三角形三個元素分別相等時可分四種類型：第一種，（三角）三個角分別相等的兩個三角形是否全等；第二種，（兩角一邊）兩角夾邊分別相等的兩個三角形是否全等，兩角一邊分別相等的兩個三角形是否全等；第三種，（一角兩邊）兩邊夾角分別相等的兩個三角形是否全等，兩邊一角分別相等的兩個三角形是否全等；第四種，（三邊）三條邊分別相等的兩個三角形是否全等。

生10：當(dāng)兩個三角形三個元素分別相等時分六種類型：第一種，（角角角）三個角分別相等的兩個三角形是否全等；第二種，（邊邊邊）三條邊分別相等的兩個三角形是否全等；第三種，（角邊角）兩角夾邊分別相等的兩個三角形是否全等；第四種，（角角邊）兩角一邊分別相等的兩個三角形是否全等；第五種，（邊角邊）兩邊夾角分別相等的兩個三角形是否全等；第六種，（邊邊角）兩邊一角分別相等的兩個三角形是否全等。

（設(shè)計意圖：在《課標(biāo)》中，明確提出了“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理、計算、證明等活動過程”的要求。這就要求我們在課堂上應(yīng)努力呈現(xiàn)有效的問題情境，以便學(xué)生能根據(jù)有效的情景展開合理猜想。在上面的教學(xué)中，教師能夠根據(jù)學(xué)生的實際，合情合理地引導(dǎo)學(xué)生大膽進(jìn)行思考、推理、猜想得出結(jié)論）

教學(xué)活動3.動手操作，獲得事實。

師：本節(jié)課我們一起研究兩邊夾角分別相等的兩個三角形是否全等。

操作1：同學(xué)們把課前老師布置的作業(yè)——畫好的三角形拿出來（AB=5㎝，∠A=40°，AC=4㎝三角形），同學(xué)之間互相交流你有什么發(fā)現(xiàn)。

生11：我們所畫的三角形都一樣。

生12：我們畫的是一個特殊的三角形。如果畫一般的三角形會全等嗎？

師：該同學(xué)提出的問題很好，我們一起來思考。

操作2：對照課本第13頁，按下列作法，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使∠A=∠α，AB=a，AC=b。

師：把你所作的三角形剪下來，與同組同學(xué)交流，有什么發(fā)現(xiàn)？

生13：老師，我們所作的三角形互相重合，即兩邊夾角分別相等的兩個三角形全等。

師：我們可以得到，判斷兩個三角形全等的一個基本事實：

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。

（設(shè)計意圖：通過學(xué)生的動手操作、實驗、積極思考、合作交流等重要的學(xué)習(xí)方式得出實驗事實，學(xué)生經(jīng)歷、體驗、探索活動得出的結(jié)論將終生難忘）

教學(xué)活動4.應(yīng)用舉例，理解事實。

例：已知，如圖，AB=AD，∠BAC=∠DAC。

求證：△ABC≌△ADC。

師：要證明△ABC≌△ADC，用什么判定方法？

生14：用剛學(xué)的“邊角邊”來判定這兩個三角形全等。

師：用“邊角邊”需要幾個條件？

生15：三個條件，兩條邊及其夾角分別相等，已知條件中已告訴我們一條邊一個角對應(yīng)相等，只需找出另一條邊對應(yīng)相等就行了。

師：另一條邊相等怎樣得到？

生16：我們把條件搬到圖形中，可以發(fā)現(xiàn)這兩個三角形還有一條公共邊即AC=AC，這樣三個條件就找到了。

證明：在△ABC和△ADC中

（設(shè)計意圖：例題出來后，先讓學(xué)生思考兩分鐘，教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，同時提醒學(xué)生將已知條件搬到圖形上，發(fā)現(xiàn)圖中的隱含條件（公共邊相等），注意書寫格式，強(qiáng)調(diào)三角形全等邊角必須對應(yīng)，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理的規(guī)范性和思維的嚴(yán)密性。在例題中既體現(xiàn)了合情推理，也體現(xiàn)了演繹推理）

教學(xué)活動5.變式訓(xùn)練，鞏固事實。

已知：如圖，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且AD=AE。

求證：∠B=∠C。

師：要證明∠B=∠C，應(yīng)該想到什么？需要證明什么？

生17：該圖形可以看做△ABE與△ACD有一個公共角疊合在一起的兩個三角形，只要證明這兩個三角形全等就行了。

（設(shè)計意圖：本題的訓(xùn)練目的是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，將例題中的△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，∠BAC就變成了本題的圖形。進(jìn)一步鞏固了幾何證明中演繹推理的書寫格式）

二、教學(xué)反思

1.教學(xué)設(shè)計應(yīng)基于學(xué)情，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。

教學(xué)設(shè)計要基于學(xué)生的認(rèn)知水平?！墩n標(biāo)》中強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾說過：“影響學(xué)生學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況進(jìn)行教學(xué)?！鄙鲜稣n堂設(shè)計中，教師從學(xué)生已有的知識出發(fā)，把學(xué)生身邊常用的一副三角板拿出來多次作為教學(xué)中的反例，學(xué)生一目了然，讓知識自然生成，讓思維自由飛翔。把判斷兩個三角形全等的方法自然而然地引到三個條件對應(yīng)相等的思路上來，可以說是水到渠成。學(xué)生的推理能力在已有的認(rèn)知水平上不斷得到提升。

2.教學(xué)方法應(yīng)尊重差異，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

本節(jié)課以《課標(biāo)》中課程核心概念為主線，在教學(xué)方法上尊重學(xué)生個體的認(rèn)知差異，通過學(xué)生的動手操作、實驗、積極思考、合作交流發(fā)展學(xué)生的推理能力。

（1）在探究兩個三角形全等時，需找到幾個元素對應(yīng)相等，先拋出問題引導(dǎo)學(xué)生從最簡單的情況開始思考，一個元素對應(yīng)相等的兩個三角形不全等，兩個元素對應(yīng)相等的兩個三角形不全等，學(xué)生能通過合情推理舉出反例，體現(xiàn)了學(xué)生的思想活動過程，通過經(jīng)歷觀察、探究、合作交流的活動，充分發(fā)展了學(xué)生的合情推理能力。

（2）在獲得事實（兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等）的過程中，學(xué)生通過尺規(guī)作圖作出相應(yīng)的三角形，給學(xué)生充分的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、驗證、合作、推理獲得“兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”的事實。通過例題的講解、變式訓(xùn)練讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到合情推理與演繹推理在幾何學(xué)習(xí)中是不可缺少的數(shù)學(xué)思想方法。

所以在幾何學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的推理能力得到了發(fā)展。

3.教學(xué)目的應(yīng)面向全體，應(yīng)用數(shù)學(xué)推理能力。

數(shù)學(xué)推理能力蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，數(shù)學(xué)推理能力不能僅靠教師對知識的講解、題目的分析與解決而幫助學(xué)生形成，更需要滲透在新知識的形成過程中。實際教學(xué)中，教師要多給學(xué)生提供參與教學(xué)活動的機(jī)會，通過觀察、實驗、操作、合作、探究，讓學(xué)生在充分參與教學(xué)活動的過程中真正感悟數(shù)學(xué)推理能力。

基于上述分析，數(shù)學(xué)推理能力的具體內(nèi)涵為：通過對數(shù)學(xué)對象（數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等）進(jìn)行邏輯性思考（觀察、實驗、歸納、類比、演繹），做出推論，再進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例說明所給出推論的合理性的一種綜合能力。數(shù)學(xué)推理不僅在幾何中根據(jù)公理、定義、定理、推論等證明有關(guān)結(jié)論，而且在代數(shù)中也是不可缺少的數(shù)學(xué)思想方式，例如有理數(shù)的計算、方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計與概率等必須根據(jù)定義、法則、順序等進(jìn)行推理進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的。在日常生活中也少不了數(shù)學(xué)推理能力，生活中遇到問題時，必須分析問題、找到解決問題的方法，在這個過程中，數(shù)學(xué)推理能力顯得更為重要。

（作者為江蘇省南京市第五初級中學(xué)教師）