白玉花

（吉林省汪清縣汪清二中學(xué) 吉林延邊 133200）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的方程思想初探

白玉花

（吉林省汪清縣汪清二中學(xué) 吉林延邊 133200）

方程思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的解題應(yīng)用方法，也是高考重點(diǎn)考察的數(shù)學(xué)思想之一。方程思想是學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，方程思想是通過設(shè)元，探求已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種思想對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要意義?；诖?，筆者結(jié)合案例，試在文章中探討在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，旨在培養(yǎng)高中生的方程思想，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升。

高中數(shù)學(xué) 方程思想 培養(yǎng)

引言

方程思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，也是高考數(shù)學(xué)考試中的熱點(diǎn)。函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系十分密切，教師在滲透方程思想的過程中，不可避免的要和函數(shù)思想有所結(jié)合。解方程如分f（x）=0，就是求函數(shù)y= f（x）當(dāng)函數(shù)值為零時(shí)自變量x的值；求綜合方程f（x）= g（x）的根或根的個(gè)數(shù)，就是求函數(shù)f（x）= g（x）的圖像的交點(diǎn)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)；參數(shù)方程更具有函數(shù)因素，屬于能隨參數(shù)的變化而變化的動(dòng)態(tài)方程。它所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象已經(jīng)不是一些孤立的點(diǎn)，而是具有某種共性的幾何曲線[1]。認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)于知識(shí)、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與理解的過程，這就要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要通過數(shù)學(xué)知識(shí)的外在形式，進(jìn)行不斷的探索、總結(jié)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、知識(shí)規(guī)律。方程思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要解題方法，需要學(xué)生結(jié)合實(shí)際案例進(jìn)行方程思想的總結(jié)與運(yùn)用，已提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

一、方程思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)屬于近年來高考中的重要考點(diǎn)內(nèi)容，而方程思想在導(dǎo)數(shù)題型中的應(yīng)用是各級(jí)、各類考試中的熱點(diǎn)問題。導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)的研究常常和函數(shù)與方程思想相結(jié)合，主要綜合考查學(xué)生的思維能力[2]。

例題：已知函數(shù) f（x）=（x-a）2ex在 x=2 時(shí)取得極小值.

（1）求實(shí)數(shù) a 的值；

（2） 是否存在區(qū)間［m，n］，使得f（x）在該區(qū)間上的值域?yàn)椋踖4m，e4n］？ 若存在，求出 m，n 的值；若不存在，說明理由。

在奔類題型中，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值及其他性質(zhì)時(shí)都不可避免地會(huì)經(jīng)歷構(gòu)建方程的過程，這道題目的突破口是建立兩種情況下的方程組：

然后在運(yùn)用方程思想的同時(shí)再結(jié)合函數(shù)思想進(jìn)行解題，充分體現(xiàn)了方程思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用。

二、方程思想在解析幾何中的應(yīng)用

在解析幾何題型中，常常會(huì)出現(xiàn)直線、圓、圓錐曲線之間的位置關(guān)系問題，通常會(huì)使用聯(lián)立方程組的方法進(jìn)行解決。

例題：如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，圓 O1，圓 O2都與直線 l∶y=kx 及 x 軸正半軸相切。若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為 P（2，2），求直線 l的方程。

這道題考查了直線的方程、圓的方程等知識(shí)，由直線 l 的方程，可以引進(jìn)參數(shù) t，建立的直線 O1O2的方程，再根據(jù)過點(diǎn) P（2，2）建立方程組，滲透了方程組的思想，在整個(gè)問題的解決過程中自始至終都滲透了建立關(guān)于參數(shù) t 的方程的思想。

圖1

三、方程思想在不等式中的應(yīng)用

不等式 2x-1＞m（x 2 -1）能夠?qū)Ζ騧︱ ≤2 的一切實(shí)數(shù) m 恒成立，求得實(shí)數(shù) x 的取值范圍。對(duì)于不等式這種問題，了解關(guān)于 x 的不等式后，這種問題會(huì)形成一種思維定式，但是應(yīng)該進(jìn)行視角的改變，把不等式當(dāng)做關(guān)于 m 的不等式，并且構(gòu)造函數(shù) f （m）=（x2-1）m-（2x-1），這一問題就會(huì)轉(zhuǎn)化為求得 m∈［-2，2］上，使 f（m）＜0 恒成立的 x 的取值范圍。而對(duì)于一次函數(shù)來說，圖象為一條線段，如果想要 f （m）＜0，應(yīng)該讓f（-2）＜0，f（2）＜0 才能解得在通常情況下，含有多個(gè)變量或參數(shù)的問題，應(yīng)該對(duì)變量與參數(shù)進(jìn)行積極確定，將函數(shù)關(guān)系提出來，從而使問題更加明朗。

四、方程思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例如一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題：某班級(jí)組織20名學(xué)生在一條直線公路上植樹，要求以10米為間隔，并且每人植一棵樹。 在開始之前，要求將樹苗集中放在某一個(gè)樹坑旁邊，能夠讓每位同學(xué)領(lǐng)取樹苗所用的路程總和最小，求這個(gè)最小值。 對(duì)于這一問題來說，應(yīng)該建立合適的數(shù)學(xué)模型，通過列式向函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化[3]。如圖2所示。

圖2

當(dāng) i=10 或 11 時(shí)，s 的值最小，為 1000。因此往返路程的最小值為 2000 米。 對(duì)于這類問題，還有另外一種解答方式，針對(duì)軸對(duì)稱圖形的原理，兩端的樹坑旁邊放著樹苗，路程的總和相同，能夠取得一個(gè)最值。因此從兩端的樹坑移動(dòng)到中間過程中，路程總和的變化是相同的，到第 10 個(gè)以及 11 個(gè)樹坑旁邊時(shí)，路程總和達(dá)到一個(gè)最值，因此只需進(jìn)行兩個(gè)路程總和的計(jì)算就可以。 將樹苗放在第一個(gè)樹坑旁，路程總和為 10×（1+2+…+19）×2=10×19（1+19）×2=3800。 樹苗放在第 10 個(gè)與第 11 個(gè)旁邊時(shí)，路程總和為 10×（1+2+…+9）+10×（1+2+…+10）×2=2000。 因此，路程總和最小應(yīng)為 2000 米。對(duì)于二次函數(shù)形式的構(gòu)造具有重要作用，函數(shù)對(duì)實(shí)際問題的解決具有重要意義。對(duì)于這道題能夠借助實(shí)際模型的建立，通過函數(shù)解析式的方式，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，從而促進(jìn)實(shí)際問題得到合理的解決。

結(jié)語

總而言之，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，但也是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)。方程是高中數(shù)學(xué)中的主線，它不僅是對(duì)中樞中相關(guān)變量之間關(guān)系的描述，更是我們解題的重要手段[4]。學(xué)生只有通過對(duì)于數(shù)學(xué)思想與方法的深入理解和熟練應(yīng)用，才能真正理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義與價(jià)值。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)于方程思想的掌握能夠?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中而對(duì)應(yīng)用，能夠起到簡(jiǎn)化解題流程、豐富解題方法的重要作用，因此對(duì)于高中學(xué)生的方程思想的培養(yǎng)具有不可忽視的重要意義。

[1]陳燕青.高中數(shù)學(xué)中思想方法的應(yīng)用——高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想[J].新課程,2015(06):95-96.

[2]牛含冰.函數(shù)思想在解題中的體現(xiàn)[J].高中數(shù)理化,2013(17):112.

[3] 李俠.函數(shù)與方程思想在解題中的運(yùn)用舉隅[J].數(shù)理化學(xué)習(xí) (高中版 ),2013(08):56-57.

[4]例談高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用[J].課程教育研究,2016(11):32-35.