基于孔徑長度域重采樣的快速恒定束寬波束形成*

李 根,梁玉英

(軍械工程學(xué)院電子與光學(xué)工程系,石家莊050003)

基于孔徑長度域重采樣的快速恒定束寬波束形成*

李 根**,梁玉英

(軍械工程學(xué)院電子與光學(xué)工程系,石家莊050003)

為解決寬帶陣列天線波束寬度抖動的問題,在分析陣元權(quán)系數(shù)和陣列方向圖傅里葉變換關(guān)系的基礎(chǔ)上,提出了一種基于孔徑長度域重采樣的快速恒定束寬寬帶波束形成方法。該方法通過期望方向圖的傅里葉反變換獲取孔徑長度域上的權(quán)系數(shù)曲線,然后用不同的采樣間隔對該權(quán)系數(shù)曲線進行重采樣得到不同頻率下的陣元權(quán)系數(shù)。由于僅需進行一次積分運算,該方法具有運算量小、速度快的特點。為使陣列方向圖在恒定束寬的基礎(chǔ)上具有更好的方向性,通過對孔徑長度域擬合度的分析給出了期望方向圖的設(shè)計方法。仿真結(jié)果表明所提方法可以快速形成方向性較好的寬帶陣列恒定束寬方向圖。

寬帶陣列天線;波束形成;恒定束寬;孔徑長度域重采樣;期望方向圖

目前,恒定束寬的實現(xiàn)方法可分為頻域?qū)崿F(xiàn)和時域?qū)崿F(xiàn)兩類[4-6]。頻域?qū)崿F(xiàn)方法是一種塊處理方法,塊與塊之間的相位無法連接,會造成時域信號的不連續(xù)。時域?qū)崿F(xiàn)方法能夠保證信號在時域上的連續(xù)性,可以實時調(diào)整陣元加權(quán)系數(shù),具有更普遍的應(yīng)用。時域恒定束寬波束形成通常采用期望波束逼近法[7-9],它主要通過在任一頻點上去逼近所構(gòu)建的期望波束來實現(xiàn)。文獻[10-12]將恒定束寬波束形成轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題,并基于內(nèi)點法進行凸優(yōu)化求解。文獻[13]提出了基于空間重采樣的均勻線陣恒定束寬波束形成方法,該方法需要在每個頻率點上進行數(shù)字信號到模擬信號的恢復(fù)運算,當(dāng)寬帶信號劃分的頻點過多時,將會產(chǎn)生較大的運算量。期望波束逼近和凸優(yōu)化求解等方法需要進行大量復(fù)雜的矩陣運算,因此更多應(yīng)用于復(fù)雜環(huán)境下固定接收波束的恒定束寬波束形成。

本文從陣列權(quán)系數(shù)和方向圖的傅里葉變換關(guān)系出發(fā),研究適用于寬帶陣列發(fā)射波束形成的快速恒定束寬波束形成方法:首先分析了寬帶陣列波束寬度抖動的成因及信號帶寬與波束寬度抖動程度的關(guān)系,然后介紹了孔徑長度域重采樣的方法,并根據(jù)信號采樣理論和傅里葉變換理論給出了期望方向圖的設(shè)計方法。

2 恒定束寬波束形成方法

2.1 波束寬度抖動程度分析

位于平面坐標(biāo)系中的一維N元線陣天線結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　一維陣列天線結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of one-dimensional array antenna

陣列天線處理窄帶信號時,遠場方向圖為[14]

式中:N為陣元個數(shù);d為陣元間距;λ為工作波長。

半功率波束寬度約為

天線等效的孔徑長度L=(N-1)d,則

根據(jù)式(4)和式(5),ρ與ζ關(guān)系為

由此可知,陣列天線處理寬帶信號時,波束寬度的抖動程度隨相對帶寬的增大而增加。波束寬度的抖動會使處于主瓣寬度內(nèi)卻又不在波束指向方向上的目標(biāo)回波產(chǎn)生失真,這種失真將對信號的能量接收、信號波形分析、目標(biāo)識別、寬帶測向等一系列處理結(jié)果產(chǎn)生影響[15]。

2.2 孔徑長度域重采樣方法

陣列的孔徑長度是指以波長為單位衡量的陣列尺寸的大小,對于一個固定陣元間距的寬帶陣列天線,其孔徑長度是隨信號頻率變化的。對一個2N+1個陣元的均勻線性陣列,陣元間距為d,信號角頻率w,工作波長為λ,其遠場方向圖為

令φ=wdcosθ/c,簡化式(7),得

從上式中可以發(fā)現(xiàn),B(φ)與In構(gòu)成一對傅里葉變換,陣元系數(shù)對應(yīng)時域,方向圖對應(yīng)頻域響應(yīng)。通過對期望方向圖進行傅里葉反變換可以求得陣元加權(quán)系數(shù)In。一般期望方向圖是關(guān)于陣列法線方向?qū)ΨQ的,由傅里葉變換的奇偶特性可知相應(yīng)的陣元加權(quán)系數(shù)一定是實對稱的,即In=I-n。

公式(8)可以寫作陣元權(quán)系數(shù)通過求解傅里葉級數(shù)的系數(shù)得到:

式中:Tp=2πc/dw。

陣元的權(quán)系數(shù)可以看作是對一個線源權(quán)系數(shù)曲線的采樣,采樣間隔為wd/c。隨頻率變化用不同的采樣間隔對孔徑長度域上的固定線源權(quán)系數(shù)曲線進行重采樣,可以使陣列天線在不同的頻率點形成一致的方向圖。陣元間距趨于無窮小時,傅里葉級數(shù)轉(zhuǎn)為傅里葉變換得到線源的權(quán)系數(shù)曲線如下:式中:-L/2≤l≤L/2,L為線源的孔徑長度。

當(dāng)雷達采用的寬帶信號為線性調(diào)頻信號時,設(shè)發(fā)射信號波形為

第n個陣元在一個脈沖內(nèi)的時變加權(quán)系數(shù)為

In(t)=I[l(t)]。(15)

由式(14)可知,l(t)關(guān)于t是線性遞增的,在一個發(fā)射脈沖內(nèi),第n個陣元的時變加權(quán)系數(shù)為I(l)曲線上第n小段連續(xù)曲線,該段曲線起點為最低頻率對應(yīng)的抽樣點,終點為最高頻率對應(yīng)的抽樣點。

因此,對采用線性調(diào)頻信號的寬帶陣列天線,運用孔徑長度域重采樣法對第N個陣元的發(fā)射的脈沖信號在時域上加In(t)窗可形成恒定束寬方向圖。

3 期望方向圖設(shè)計

獲取陣元在不同頻率下的權(quán)系數(shù)時需要對期望方向圖進行傅里葉反變換和重采樣,因此,期望方向圖的設(shè)計應(yīng)考慮信號采樣和傅里葉變換理論。

3.1 基于信號采樣理論的分析

式(11)中θ的取值范圍是[0,π],則-2π≤2πcosθ≤2π,因此,I(l)包含的最大頻率分量為2π。在對I(l)進行采樣時,為使得到的方向圖不失真,根據(jù)奈奎斯特采樣定律,采樣頻率至少為4π,對應(yīng)的采樣間隔不能超過1/4π。對于陣列天線,陣元間距通常為信號中心頻率對應(yīng)波長的一半,波束指向陣列天線的法向方向時陣元間距孔徑長度最大為d=1/2,當(dāng)發(fā)射波束在±60°范圍內(nèi)掃描時,最小的陣元間距孔徑長度為dmin=1/4。因此,孔徑長度域重采樣法的采樣過程對于不同指向的波束都是欠采樣的。在時域?qū)π盘栠M行欠采樣會造成頻譜混疊,用孔徑長度域重采樣法形成的實際方向圖是期望方向圖部分混疊的結(jié)果,混疊部分一般為期望方向圖的副瓣區(qū)。因此,孔徑長度域重采樣法會提高實際陣列方向圖的副瓣電平,且期望方向圖的副瓣電平越高這種混疊效應(yīng)越明顯。為避免產(chǎn)生較高的副瓣電平,期望方向圖應(yīng)選擇副瓣電平較低或為零的方向圖。

3.2 基于傅里葉變換理論的分析

傅里葉變換不確定原理指出信號在時域和頻域的分布相對集中時,信號的時域擴展和頻域擴展不能無限小[16]:

式中:Δt2和Δu2cl分別為信號的時域擴展和頻域擴展;f(t)為信號的時域分布;t0為時域擴展中心; F(u)為信號的頻域分布;u0為頻域擴展中心。傅里葉不確定原理指出了時域擴展和頻域擴展乘積的一個下限,對于陣列天線,不確定性原理意味著一個高分辨的頻域波束響應(yīng)需要一個大的孔徑長度域擴展。在陣列中,對于固定孔徑長度的陣列天線用傅里葉逆變換進行權(quán)系數(shù)加權(quán)時,陣列所形成的方向圖波束寬度是有下限的,因此,期望方向圖的波束寬度不能小于陣列所能形成的最窄波束寬度。

3.3 期望方向圖模型設(shè)計

為了避免由欠采樣導(dǎo)致的陣列實際方向圖副瓣電平的抬高,期望方向圖應(yīng)選擇波束寬度可控且副瓣電平較低的期望方向圖。本文設(shè)計的理想余弦期望方向圖如下:

式中:u=cosθ;-π≤θ≤π;0≤a≤1。

在主瓣區(qū)為周期為4a的半個余弦波形,可以通過調(diào)整a的值來控制主瓣寬度。主瓣區(qū)以外的方向函數(shù)為零,設(shè)計的理想余弦期望方向圖沒有副瓣,如圖2(a=0.3)所示。

圖2　理想余弦期望方向圖Fig.2 Ideal cosine desired pattern

由于期望方向圖和陣元的權(quán)系數(shù)是傅里葉變換關(guān)系,通過對期望方向圖進行傅里葉反變換得到加權(quán)系數(shù)在孔徑長度上的連續(xù)分布,如圖3所示。

圖3　期望方向圖權(quán)系數(shù)曲線Fig.3 Weighting coefficient curve of desired pattern

由于期望方向圖在主瓣零點處有截斷,權(quán)系數(shù)含有高頻分量是分布在無窮區(qū)間上的,要實現(xiàn)完整的期望方向圖,則要求天線必須是無限長的線源,因此,陣元個數(shù)和陣元間距等陣列天線參數(shù)將會影響實際方向圖對期望方向圖的擬合效果。

天線陣元非均勻加權(quán)時,陣列形成的方向圖很難顯式表達。為了便于分析實際方向圖對期望方向圖的擬合效果,根據(jù)陣元權(quán)系數(shù)和方向圖之間的傅里葉變換關(guān)系,利用實際權(quán)系數(shù)對理想線源權(quán)系數(shù)的擬合度來近似表示實際方向圖對理想方向圖的擬合度。陣列天線等效的孔徑長度是有限的,因此,陣列天線實際權(quán)系數(shù)對理想權(quán)系數(shù)的擬合度可以用權(quán)系數(shù)曲線在陣列天線等效孔徑長度內(nèi)的能量占其在整個孔徑長度域的總能量的百分比表示。

定義η=W′/W為實際方向圖對期望方向圖的擬合度,W′為權(quán)系數(shù)曲線在陣列天線等效的孔徑長度上的能量,W為權(quán)系數(shù)曲線在整個孔徑長度域上的總能量。根據(jù)帕斯瓦爾定理可得權(quán)系數(shù)曲線在無窮區(qū)間上的能量為

權(quán)系數(shù)曲線在陣列等效孔徑長度上的能量為

因此,

可知0≤η≤1,當(dāng)η趨近于1時,該陣列天線的時域脈沖響應(yīng)能量趨近于完全擬合所需的能量,因此,該陣列天線的實際方向圖趨近期望方向圖;當(dāng)η趨近于0時,該陣列天線的時域脈沖響應(yīng)能量遠小于完全擬合所需的能量,實際方向圖同期望方向圖的差別越來越大。

為了使陣列形成的方向圖保持穩(wěn)定,擬合度應(yīng)隨孔徑長度的變化保持穩(wěn)定。

由式(18)可知,期望方向圖權(quán)系數(shù)曲線的零點為

圖4表示期望方向圖一定(a=0.15)時,擬合度隨陣列天線等效孔徑長度的變化曲線圖。由圖可知陣列天線孔徑半長度為期望方向圖權(quán)系數(shù)曲線的零點時,擬合度對此時天線孔徑長度的變化最不敏感。

圖4　擬合度和陣列等效孔徑長度的關(guān)系Fig.4 The relationship between fitting degree andequivalent aperture length of the array

為了保證天線的方向性,陣列天線在中心頻率處等效的孔徑半長度應(yīng)為權(quán)系數(shù)曲線在孔徑長度域上的第一零點。

期望方向圖確定方法如下:第一零點為s=3 4a。

因此,對于在中心頻率處等效孔徑長度為L的陣列天線,主瓣寬度在信號帶寬范圍內(nèi)具有最小抖動程度時滿足

期望方向圖為

4 仿真分析

下面通過計算機仿真為本文提出的孔徑長度域重采樣法和最小波束寬度抖動期望方向圖確定法進行驗證。陣列天線的陣元數(shù)N=21,陣元間距d= 3.75 cm,線性調(diào)頻信號帶寬Δf=2 GHz,中心頻率f0=4 GHz,脈沖寬度 τ=10 μs,調(diào)頻斜率 u=2× 1014s-2。在信號帶寬范圍內(nèi)等間隔地選取了100個頻點對陣列方向圖進行仿真,仿真分析中的波束寬度均為半功率波束寬度。

天線在中心頻率處等效的孔徑長度L=10,運用本文所提期望方向圖模型,當(dāng)L分別為權(quán)系數(shù)曲線的第一、第二、第三零點時,a依次為0.15、0.25、0.35。圖5(a)為對陣列進行固定等幅加權(quán)處理的陣列方向圖,加權(quán)方式記為固定加權(quán)1;圖5(b)為對陣列進行-30 dB切比雪夫固定加權(quán)的陣列方向圖,加權(quán)方式記為固定加權(quán)2;定義陣元加權(quán)系數(shù)均為1的方向圖為標(biāo)準(zhǔn)陣列流型方向圖,圖5(c)為以陣元數(shù)為21、陣元間距為半個波長的標(biāo)準(zhǔn)陣列方向圖作為期望方向圖,運用孔徑長度域重采樣法對陣元加權(quán)后得到的陣列方向圖,加權(quán)方式記為重采樣加權(quán)1;圖5(d)為以陣列進行副瓣電平為-30 dB的切比雪夫加權(quán)方向圖作為期望方向圖,運用孔徑長度域重采樣法對陣元加權(quán)后得到的陣列方向圖,加權(quán)方式記為重采樣加權(quán)2;圖5(e)為用本文所提理想余弦期望方向圖模型用孔徑長度域重采樣法對陣元加權(quán)得到的陣列方向圖,其中期望方向圖模型參數(shù)a=0.15,加權(quán)方式記為重采樣加權(quán)3。表1為對應(yīng)圖5中5種加權(quán)方式下陣列方向圖的主要參數(shù)對比。

圖5　陣列天線方向圖Fig.5 Pattern of array antenna

表1　不同加權(quán)方式下的陣列方向圖主要參數(shù)對比Tab.1 Comparison of main parameters of array pattern in different weighted mode

圖5(a)和圖5(b)表明,陣列天線處理寬帶信號時,若對陣元進行固定加權(quán)處理,在窄波束加權(quán)和寬波束加權(quán)下波束寬度均會發(fā)生明顯的抖動。從表1中可以看出,固定加權(quán)方式下波束寬度相對抖動程度較大約為0.7,運用重采樣法對陣元進行加權(quán)處理后,天線方向圖的相對抖動程度降到了0.1左右,較大地改善了波束寬度的抖動程度。圖5(c)和圖5(d)表明,由于標(biāo)準(zhǔn)陣列方向圖和切比雪夫加權(quán)方向圖的副瓣電平較高,用這兩種方向圖作為期望方向圖進行重采樣會使副瓣電平抬高。圖5(e)表明,運用本文所提的零副瓣期望方向圖模型克服了由于欠采樣而導(dǎo)致的副瓣電平抬高問題。從表1的數(shù)據(jù)中可以看出,基于理想余弦期望方向圖進行重采樣加權(quán)(重采樣加權(quán)3),陣列方向圖具有更小的波束寬度抖動程度和更低的副瓣電平。

圖6為運用本文所提理想余弦期望方向圖模型,陣列天線實際方向圖在整個帶寬內(nèi)的主瓣寬度相對抖動程度(定義同ρ)隨期望方向圖參數(shù)a的變化曲線。圖7為在陣列中心頻率處等效的孔徑長度下,擬合度隨不同a值對應(yīng)的期望方向圖變化曲線。

圖6　陣列波束寬度相對抖動程度曲線Fig.6 Relative degree curve of array beamwidth jitter

圖7　擬合度隨不同寬度期望方向圖的變化曲線Fig.7 Fitting degree curve changing with different beamwidth desired pattern

從圖6中可以看出,在本文所提的理想期望方向圖模型下,陣列天線波束寬度相對抖動程度在設(shè)計的a=0.15處達到了一個極小值點,對應(yīng)圖7中的第一個擬合度曲線平滑段中心,擬合度較高為0.995,此時波束有較好的方向性和波束寬度穩(wěn)定性。隨著a的增加,期望方向圖主瓣逐漸變寬,其權(quán)系數(shù)曲線在孔徑長度域上向中間壓縮,因此陣列的擬合度越來越趨近于1。對照圖6和圖7可以看出,陣列在中心頻率對應(yīng)的孔徑半長度分別位于期望方向圖權(quán)系數(shù)曲線的第二零點(a=0.25)和第三零點(a=0.35)時,擬合度曲線分別達到第二和第三個平滑段中心(曲線斜率為0的點)為0.999和0.999 5,但由于此兩點前后擬合度曲線斜率改變并不大,波束寬度抖動曲線并沒有出現(xiàn)相應(yīng)的極小值點,而是保持了下降的趨勢。因此,在所提理想期望方向圖模型下,本文所提方法確定的a值是在保持波束方向性的條件下控制波束寬度抖動程度的最佳值。

5 結(jié)束語

針對現(xiàn)有的恒定束寬波束形成算法通常需要復(fù)雜的矩陣運算,本文提出了一種基于孔徑長度域重采樣的寬帶陣列恒定束寬波束形成方法。由于不同頻點下的陣元權(quán)系數(shù)僅通過抽樣就可以獲得,因此所提方法具有極高的運算效率,可以滿足發(fā)射波束的實時性要求。仿真結(jié)果表明,該方法可以形成方向性較好的寬帶陣列恒定束寬方向圖。但重采樣得到的實際方向圖仍然有較高的副瓣,需要進一步研究更優(yōu)的期望方向圖模型以降低副瓣。

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李 根(1991—),男,山東棗莊人,碩士研究生,主要研究方向為雷達信號處理;

LI Gen was born in Zaozhuang,Shandong Province,in 1991.He is now a graduate student. His research concerns radar signal processing.

Email:307708608@qq.com

梁玉英(1968—),女,河北石家莊人,副教授、碩士生導(dǎo)師,主要研究方向為雷達信號處理。

LIANG Yuying was born in Shijiazhuang,Hebei Province, in 1968.She is now an associate professor and also the instructor of graduate students.Her research direction is radar signal processing.

Fast Constant Beamwidth Beamforming Based on Aperture Length Domain Resampling

LI Gen,LIANG Yuying
(Department of Electronic and Optical Engineering,Ordnance Engineering College,Shijiazhuang 050003,China)

In order to solve the problem of beam width jitter for wideband array antenna,the Fourier transform relationship between weighting coefficients of the array elements and array antenna pattern is analyzed.According to it,a novel fast constant beamwidth wideband beamforming method based on the aperture length domain resampling is proposed.The weighting coefficient curve in the aperture length domain can be obtained by the inverse Fourier transform of the desired pattern.Then,weights of elements under different frequencies can be acquired by resampling the weighting coefficient curve.This method requires only once integral calculation,so it has the characteristics of small calculating amount and fast speed.To make the array pattern have bettter directivity on the basis of constant beamwidth,the design method of the desired pattern is proposed according to the analysis of fitting degree in the aperture length domain.Simulation results demonstrate that the proposed method can rapidly form the pattern with constant beamwidth and better direction.

wideband array antenna;beamforming;constant beamwidth;aperture length domain resampling;desired pattern

1 引 言

在雷達、聲納、無線通信、麥克風(fēng)陣列等領(lǐng)域,寬帶信號開始被廣泛使用。近年來,寬帶波束形成已經(jīng)成為陣列信號處理的研究熱點之一[1-3]。恒定束寬波束形成是寬帶波束形成、寬帶波束域高分辨測角等領(lǐng)域必須首先解決的重要問題。

The National Defense Pre-research Fund(9140A19031015JB34001)

**通信作者:307708608@qq.com 307708608@qq.com

TN958.92

A

1001-893X(2016)11-1248-07

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.11.012

2016-02-26;

2016-06-12

date:2016-02-26;Revised date:2016-06-12

國防預(yù)研基金項目(9140A19031015JB34001)

引用格式:李根,梁玉英.基于孔徑長度域重采樣的快速恒定束寬波束形成[J].電訊技術(shù),2016,56(11):1248-1254.[LI Gen,LIANG Yuying.Fast constant beamwidth beamforming based on aperture length domain resampling[J].Telecommunication Engineering,2016,56(11):1248-1254.]