旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩的推廣的平行軸定理

周國全

（武漢大學 物理科學與技術(shù)學院，湖北 武漢 430072）

教學討論

旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩的推廣的平行軸定理

周國全

（武漢大學 物理科學與技術(shù)學院，湖北 武漢 430072）

首先推導出二階標量電矩在任意兩個平行軸之間的移軸定理（平行軸定理）的最一般的表達形式；再通過旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩與其二階標量電矩的簡單比例關系，推導出定軸旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩在任意兩個平行軸之間的移軸定理的推廣形式； 再具體討論了過電荷中心的軸與其平行軸之間的移軸定理，并特別給出了旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩的平行軸定理在如下三種特定情形的具體形式：1）總電荷為零，2）電偶極矩為零，3）總電荷與電偶極矩均為零.最后澄清了若干文獻中有關平行軸定理的含糊不清之處，并更正其錯訛之處.

旋轉(zhuǎn)帶電體；磁矩；平行軸定理；電荷中心；磁偶極矩

旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩的計算及其規(guī)律的研究，是電磁場理論及其應用研究的一項重要內(nèi)容.從電磁場理論、空間技術(shù)及天體物理的角度出發(fā)，深入研究旋轉(zhuǎn)帶電體的電磁特性及其在外場中的動力學與運動規(guī)律具有特殊而重要的意義［1，2］.文獻 ［2-4］通過引入諸如電矩張量、標量電矩、磁矩橢球、主軸及主軸標量電矩等一系列有用的概念，推導出任意帶電體繞定點或定軸轉(zhuǎn)動的磁矩的若干規(guī)律.文獻［4］明確給出了任意給定電荷分布的旋轉(zhuǎn)帶電體的零磁矩條件.文獻 ［5-7］基于旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩和剛體轉(zhuǎn)動慣量之間嚴格而精致的類比關系，成功地導出了諸如正交軸定理及其推廣、平行軸定理及其推論、中心軸定理等若干重要的計算法則及其算例.文獻［8，9］基于旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩的張量表達，利用經(jīng)典力學中轉(zhuǎn)動剛體的歐拉方程，導出了勻強磁場中定點轉(zhuǎn)動帶電剛體的拉格朗日動力學理論和歐拉方程；嚴格地解決了兩種簡單對稱情形.文獻［10］則討論了在勻強磁場中定點轉(zhuǎn)動的帶電絕緣體轉(zhuǎn)動的穩(wěn)定性問題.

本文專注于旋轉(zhuǎn)帶電體定軸磁矩的一條重要法則---平行軸定理；該定理的推導及其應用，已然見諸于若干文獻［5-7］.它們的合理與正確性基于一種力電類比關系，即當電荷元dq繞定軸作角速為 ω、轉(zhuǎn)動半徑為 r⊥的勻角速轉(zhuǎn)動，則其磁矩大小為這與質(zhì)量為dm的質(zhì)點繞定軸作半徑為r⊥的轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量dJ=r2⊥dm具有如下類比關系：

基于數(shù)學表達的簡潔性的要求，不妨取 ω=ωCe（在物理上ω、ωCe本來相互獨立），文獻［3，4］給出了如下形式的平行軸定理：

這就是旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩的平行軸定理，鑒于剛體轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理的普適性，上述定理式

（1或1′）似乎對任意形狀，任意電荷分布 （體分布、面分布或離散點分布）的旋轉(zhuǎn)帶電體都成立.

仔細推敲，定理式（1或1′）暗含一個重要而直接的推論：“當旋轉(zhuǎn)帶電體之電荷總和 Q=0時，Pm=PmCe，與兩軸間距d及移軸方向無關.即若帶電體各處電荷面密度或體密度不為零但總電荷為零，則其繞空間任一軸的磁矩恒等于同一角速下繞過電心的平行軸的磁矩，與兩軸間距及移軸方向無關，或者說與轉(zhuǎn)軸位置無關，僅與轉(zhuǎn)軸方向有關”.但作者深入研究的結(jié)果表明，定理式（1或1′）在特定條件下的推論具有局限性甚至謬誤，它被掩蓋在不嚴格的一般性條件的描述之中.最典型一個錯訛之處，在于運用類比法推導旋轉(zhuǎn)帶電體定軸磁矩的平行軸定理時，質(zhì)點系統(tǒng)的質(zhì)心是正定和必然存在的，而電荷系統(tǒng)的中心卻不是正定的，在總電荷 Q（即零階電矩）為零時，由所定義的電荷中心Ce甚至根本不存在，此時文獻［1，2］中的平行軸定理就失效而不成立，因而“在總電荷為零時，旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩與位置無關，僅與方向有關”的結(jié)論顯然也是站不住腳的.

本文首先推導旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩在兩個任意平行軸之間的移軸定理的最一般的形式，分析了定軸磁矩與移軸無關的充分條件，再討論了在1）總電荷（零階矩）為零，2）電偶極矩（一階矩）為零，以及3）零階矩與一階矩均為零的特定條件下，旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩的平行軸定理的特殊的具體形式，進而理清文獻 ［5-7］中的平行軸定理的模糊與錯訛之處.

1 旋轉(zhuǎn)帶電體定軸磁矩的推廣的平行軸定理

由于旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩與電荷沿軸向的分布無關，因此假設兩平行的定軸方向垂直于紙面并分別與紙面相交于O與O′處，分別選定為z軸（以O點為坐標原點）與 z′軸（以 O′點為坐標原點），則任一點電荷qi（i=1，2，…，N），（一般并不一定在紙面），在兩個坐標系中的位矢與坐標分別為ri（xi，yi，zi）與 r′i（x′i，y′i，z′i），但具有相同的 z坐標，即zi=z′i.根據(jù)文獻［1-3］，電荷元dq繞定軸（O，l）作角速為ω（大小為ω）、轉(zhuǎn)動半徑為r⊥的勻角速轉(zhuǎn)動時，其定軸磁矩大小為［2-7］

再對指標i（i=1，2，…，N）求和，可得帶電體繞兩軸的總磁矩分別為：

在此基礎上，我們來討論旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩的平行軸定理（移軸定理）.我們首先討論旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩在兩個任意平行軸之間最一般的移軸定理.

如圖1所示，在此平面上，我們不妨假設電量為qi的第i個點電荷相對于點 O的位置矢量為 ri；其相對于點O′的位置矢量為r′i；兩軸之間的相對位置向量并滿足如下關系式

圖1. 在兩個任意平行軸之間的移軸定理

將以上方程兩邊的矢量與自己相點乘，可得

兩邊同乘以第i個點電荷的電量qi，并移項可得

將式（8）代入式（7）左邊，再對式（7）中的指標i（i=1，2，…，N）求和，可得其中稱為該電荷系統(tǒng)的零階電矩，即總電荷稱為該電荷系統(tǒng)的關于定點 O

的一階電矩，即電偶極矩，而統(tǒng)相對于 O處的定軸的二階電矩，記為 T（O，l），稱為該電荷系稱為該電荷系統(tǒng)相對于O′處的平行定軸的二階電矩，記為T（O′，l），于是可得二階電矩平行軸定理

將式（10）兩側(cè)同乘以角速矢量之半 ω／2，運用式（2），或式（3′）、（4′），亦即旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩公式［2-4］可得定軸磁矩在任意平行軸之間的移軸定理

這是旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩的移軸定理的最一般的形式.以下基于式（10）與式（11）就若干特例情形進行進一步的討論.

2 若干特例情形的討論

不難發(fā)現(xiàn)，當零階電矩Q=0的同時，一階電矩Pe（O）=0，或 Pe⊥d，定軸磁矩在兩個任意平行軸之間滿足移軸不變性，即

當零階電矩Q≠0，但一階電矩Pe（O）=0，或軸的橫向平移方向 d⊥Pe（O）時，定軸磁矩在任意兩平行軸之間滿足如下移軸定理：

當零階（標量）電矩（即總電荷）Q=0，但一階（矢量）電矩（即電偶極矩）Pe≠0時，定軸磁矩在任意兩平行軸之間滿足如下移軸定理：

其次我們再討論旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩從過電荷中心的軸向其他平行軸的移軸定理.當Q≠0時，有

其中rCe是電荷中心的位置矢量，其定義為

若將點O取成電荷中心 Ce，此時 rCe=0，因而電偶極矩

則電矩平行軸定理式（10）變?yōu)?/p>

形式上完全類似于質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理.將式（18）兩側(cè)同乘以角速矢量之半同樣運用旋轉(zhuǎn)帶電體的定軸磁矩與標量二階電矩的比例關系式（2），立即可得磁矩與電荷中心 Ce有關的平行軸之間的移軸定理式（1）或（1′）.這種情形下，我們再不能討論式（18）在Q=0時的推論，這是因為Q=0時不存在電荷中心Ce，式（18）已不再成立.

3 結(jié)論

旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩計算的平行軸定理的最一般的推廣形式（11），適用于任意兩個平行的定軸之間和一切具有確定電荷分布的情形.定理式（11）及其特殊情形的諸推論式（13）、（14），以及Q≠0時關于電荷中心的定理式（1）或（1′），為我們精確計算各種形狀的旋轉(zhuǎn)帶電體沿任意軸的磁矩提供了強有力的理論工具，因而對完善電磁場理論的研究與推進其技術(shù)的應用發(fā)展尤為必需和重要.研究結(jié)果表明：1）當帶電體的零階電矩（即總電荷）為零時，電荷中心不存在，文獻［5-7］的平行軸定理不再成立，而是本文的式（11）成立；2）當帶電體的零階電矩（即總電荷）為零，且其一階電矩（即總電偶極矩）亦為零，或電偶極矩垂直于移軸方向（d的方向）時，其定軸磁矩才與軸的位置無關，僅與軸的方向有關.至此文獻 ［5-7］在帶電體總電荷為零時的含糊與錯訛之處得以澄清.

［1］ 虞國寅，周國全.電動力學［M］.武漢：武漢大學出版社，2008：11，87-88.

［2］ 周國全.一個新的電矩張量及其在電磁場中的應用［M］.金瑯學術(shù)出版社（Golden Light Academic Publishing），（德國）薩爾布呂肯市：OmniScriptum GmbH＆Co.KG.2015：11-25.

［3］ 周國全.電矩張量與旋轉(zhuǎn)帶電體的磁矩［J］.大學物

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［4］ Guo-Quan Zhou，et al.The Magnetic-Moment Quadric and Conditions of Vanishing Magnetic Moment for a Rotational Charged Body［J］.Progress in Electromagnetics Research，2007，70：211-223.（Cambridge：The Electromagnetics Academy）.

［5］ 徐定藩，呂正山.帶電體定軸轉(zhuǎn)動的磁矩計算［J］.大學物理，1997，16（4）：3-4.

［6］ 周國全.旋轉(zhuǎn)帶電體磁矩計算的若干法則與算例［J］.物理與工程，2004，14（2）：16-19.

［7］ Guo-Quan Zhou.Several Rules about the Magnetic Moment of Rotational Charged Bodies［J］.Progress in E-lectromagnetics Research Symposium（PIERS Online），2007，3（6）：812-816.（Cambridge：The Electromagnetics Academy）.

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［9］ 周國全，張斯磊，肖霄.帶電電介質(zhì)剛體在勻強磁場中的轉(zhuǎn)動動力學方程［J］.武漢大學學報（理學版），武漢：武漢大學出版社，2009，55（2）：187-190.

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The generalized parallel-axes theorem for the magnetic moment of a rotational charged body

ZHOU Guo-quan
（Department of Physics，Wuhan University，Wuhan，Hubei 430072，China）

The most general expression of the axis-translation theorem（parallel-axis theorem）for the 2-order scalar charge moment of a charge system around any two parallel axes is deduced.The generalized axis-translation theorem of the magnetic moment of a rotational charged body around any two parallel axes is derived through the simple proportionate relation between the fixed-axis magnetic moment and the 2-order scalar charge moment for the same charge system.The specific conclusions of axis-translation theorem are demonstrated and discussed under three cases：1）the total charge（0-order charge moment）is zero；2）the electric dipole moment（1-order charge moment）is zero；3）both the total charge and electric dipole moment are zero.The ambiguities are clarified and the mistakes in some

are corrected.

rotational charged body；magnetic moment；parallel-axis theorem；charge center；magnetic dipole moment

O 572，O 442

A

1000-0712（2016）11-0009-04

2016-01-18；

2016-05-09

國家級教學團隊基金資助項目（202276003）

周國全，（1965-）男，湖北漢川人，博士，武漢大學物理科學與技術(shù)學院副教授，主要從事普物與理論物理教學，及場論與非線性可積方程研究工作.