非線性四階兩點(diǎn)邊值問題的單調(diào)迭代方法

趙 聰，崔玉軍

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266590)

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非線性四階兩點(diǎn)邊值問題的單調(diào)迭代方法

趙 聰，崔玉軍

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266590)

本文通過單調(diào)迭代方法和上下解方法研究了非線性四階兩點(diǎn)邊值問題

單調(diào)迭代方法；上下解方法；極值解

兩端簡單支撐的變形彈性梁的平衡態(tài)可用四階兩點(diǎn)常微分邊值問題

來描述，此微分方程邊值問題解的存在性已經(jīng)被許多作者研究，文獻(xiàn)[1]中證明了f為有界函數(shù)的嚴(yán)格條件下上述邊值問題解的存在性。文獻(xiàn)[2]中證明了當(dāng)f滿足某種增長性條件時(shí)上述邊值問題解的存在性。其他關(guān)于對上述四階邊值問題解的研究還可參閱文獻(xiàn)[3-9]，這些結(jié)果大部分通過Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理以及拓?fù)涠壤碚摣@得。

上下解的方法作為一個(gè)重要工具也被應(yīng)用到四階邊值問題解的研究當(dāng)中[10-16]。其中文獻(xiàn)[10]中運(yùn)用上下解方法對上述形式的四階邊值問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[11]中利用最大值原理以及上下解方法繼續(xù)對上述問題進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[12]利用同樣的方法求解上述四階邊值問題，并找到非線性四階邊值問題的解與其方程的第一特征值之間的關(guān)系。

但以上所有結(jié)果的研究過程中均未涉及到線性算子的性質(zhì)，受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文將應(yīng)用單調(diào)迭代法以及上下解方法研究四階兩點(diǎn)邊值問題

(1)

解的存在性，其中f:[0,1]×R→R為連續(xù)函數(shù)。文章的新穎之處在于，對邊值問題(1)利用線性算子的性質(zhì)建立一個(gè)比較結(jié)果，從而研究其極值解的存在性。

1 預(yù)備工作

(2)

為了得到本文的主要結(jié)果，給出以下相關(guān)定義和引理。

引理1[17]上述定義的函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì)：

1) G(t,s)≥0， ?t,s∈[0,1]。

2) G(t,s)≤G(t,t)且G(t,s)≤G(s,s)，?t,s∈[0,1]。

3) G(t,s)≥G(t,t)G(s,s)， ?t,s∈[0,1]。

4) K(t,s)≥0，?t,s∈[0,1]。

注1 容易驗(yàn)證齊次四階邊值問題

有唯一解

ψ(t)=aI0(t)+bI1(t)-cJ0(t)-dJ1(t),

其中

容易驗(yàn)證當(dāng)a≥0,b≥0,c≤0,d≤0時(shí)，ψ(t)非負(fù)。

定義1[11]u∈C(4)[0,1]是問題(1)的一個(gè)上解是指u滿足

類似地，稱u是問題(1)的一個(gè)下解是指上式中的不等號反向。

現(xiàn)在考慮線性問題

(3)

其中M是非負(fù)常數(shù)，σ∈C[0,1]。

引理2 若M滿足

(4)

那么線性邊值問題(3)有唯一解x，可表示為

(5)

其中ψ(t)由注1.2給出，

(6)

其中Km(t,s)，Q(t,s)，H(t,s)在[0,1]×[0,1]上為連續(xù)函數(shù)，(6)中右端序列在[0,1]×[0,1]上一致收斂。

證明：容易驗(yàn)證若x∈C(4)[0,1]為式(3)的解，當(dāng)且僅當(dāng)x∈C[0,1]為算子方程

x+Tx=φ

(7)

的解，其中算子T:C[0,1]→C[0,1]為

以及

(8)

下面需證明‖T‖<1。

對x∈C[0,1]，由引理1.1，有

從而

由此可得算子方程(7)的唯一解由

x=(I+T)-1φ=(I-T+T2+…+(-1)mTm+…)φ

給出，將式(8)代入上式得到式(5)。

引理3 假設(shè)x∈C(4)[0,1]滿足

其中非負(fù)常數(shù)M滿足引理1.4中的(4)，

(9)

(10)

其中

那么x(t)≥0，?t∈[0,1]。

證明：令

σ(t)=x(4)(t)+Mx(t)，

a=x(0),b=x(1),c=x″(0),d=x″(1)。

那么σ(t)≥0，a≥0，b≥0，c≤0，d≤0。根據(jù)Gm(t,s)的表達(dá)式可知，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，Gm(t,s)≤0；當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，Gm(t,s)≥0。另外根據(jù)引理1.4中的(5)式成立，其中對?t∈[0,1]，ψ(t)≥0以及引理1.1可以得到：

①對于m=3,5,…

②對于m=2,4,…

因此，有

由式(9)～(10)可得x(t)≥0，?t∈[0,1]。證畢。

2 主要結(jié)果

定理 令f∈C([0,1]×R,R)，v0,w0分別為式(1)的下解和上解，且在[0,1]上v0(t)≤w0(t)。假設(shè)存在M>0使得

f(t,x)-f(t,y)≥-M(x-y)，

(11)

證明 對α∈[v0,w0]，考慮線性問題

(12)

根據(jù)引理1.4可推得式(12)在C[0,1]有唯一解

定義算子A:[v0,w0]→C[0,1]如下：

下證:

(i) v0≤Av0，Aw0≤w0；

(ii) A為[vo,wo]上的單調(diào)算子。

證(i)：設(shè)Av0=v1，其中v1是式(12)的唯一解，且α=v0。設(shè)p=v1-v0，則有

由引理1.5可得在[0,1]上p(t)≥0，即v0≤Av0。同理可證Aw0≤w0。

證(ii)：令α1,α2∈[vo,wo]且α1≤α2。假設(shè)x1=Aα1，x2=Aα2令p=x2-x1。應(yīng)用定理1.1的條件2)，有

根據(jù)引理1.5上式可推得Aα1≤Aα2，故(ii)得證。

現(xiàn)令

vm=Avm-1，wm=Awm-1， m=1,2,…。

由(i)(ii)可得

v0≤v1≤…≤vm≤…≤wm≤…≤w1≤w0。

(13)

f(t,v0(t))+Mv0(t)≤ f(t,vm(t))+Mvm(t)≤

f(t,wm(t))+Mwm(t)≤

f(t,w0(t))+Mw0(t)， m∈N,t∈[0,1]。

由對應(yīng)于式(12)的積分方程

可推得v*，w*為邊值問題(1)的解。

下證v*，w*為邊值問題(1)在[vo,wo]上的極值解。

假設(shè)x為問題(1)的任一解，即

根據(jù)式(11)及引理1.5，應(yīng)用歸納法易證

vm≤x≤wm， m=1,2,…。

(14)

現(xiàn)令式(14)中的m→∞，那么有v*≤x≤w*，即v*和w*為邊值問題(1)在[vo,wo]上的極值解。

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(責(zé)任編輯：傅 游)

Monotone Iterative Technique for Nonlinear Four-order Two Point Boundary Value Problem

ZHAO Cong, CUI Yujun

(College of Mathematics and System Science，Shandong University of Science and Technology, Qingdao， Shandong 266590，China)

In this paper the existence of solution for fourth-order two point boundary value problem

monotoneiterativetechnique;loweranduppersolutions;extremalsolutions

2016-05-14

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371221，11571207)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專碩科研基金項(xiàng)目(20123705110001)

趙 聰(1990—),男,山東濰坊人,碩士研究生,主要從事非線性泛函分析方面的研究. 崔玉軍(1972—),男,山東濰坊人,教授,碩士生導(dǎo)師,主要從事非線性泛函分析方面的研究,本文通信作者. E-mail：sdustcyj@163.com

O175.08

A

1672-3767(2016)06-0108-06

解的存在性，其中f:[0,1]×R→R為連續(xù)函數(shù)。

wasobtainedbyusingthemonotoneiterativetechniqueandthemethodofLoweranduppersolutions,wheref:[0,1]×R→Riscontinuousfunction.