大學(xué)物理中流體力學(xué)問(wèn)題的計(jì)算機(jī)模擬研究

馬增威，汪志勇，韋建衛(wèi)，劉改琴，胡 南，李銳峰

（重慶理工大學(xué) 光電信息學(xué)院，重慶 400054）

大學(xué)物理中流體力學(xué)問(wèn)題的計(jì)算機(jī)模擬研究

馬增威，汪志勇，韋建衛(wèi)，劉改琴，胡 南，李銳峰

（重慶理工大學(xué) 光電信息學(xué)院，重慶 400054）

格子玻爾茲曼模擬方法（Lattice Boltzmann Method，LBM）被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)問(wèn)題的研究中，本文采用LBM方法對(duì)牛頓流體和非牛頓流體的泊肅葉流動(dòng)進(jìn)行了模擬，還通過(guò)模擬圓柱繞流問(wèn)題演示了層流和湍流現(xiàn)象并闡明了雷諾數(shù)的概念．將LBM模擬結(jié)果與大學(xué)物理的相關(guān)流體力學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，不僅可以直觀地解釋抽象的流體力學(xué)概念，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生采用計(jì)算物理學(xué)手段解決實(shí)際問(wèn)題的思維方式．

計(jì)算機(jī)模擬；牛頓流體；非牛頓流體；層流；湍流

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，越來(lái)越多的課堂教學(xué)中采用現(xiàn)代化多媒體手段進(jìn)行輔助教學(xué)，在提高課堂效率的同時(shí)擴(kuò)大了學(xué)生的視野［1，2］．計(jì)算機(jī)模擬在科學(xué)研究上已經(jīng)具有了與理論和實(shí)驗(yàn)同等重要的地位，成為了研究自然界的第三種有效方法，若將計(jì)算物理的研究成果適當(dāng)?shù)囊氲酱髮W(xué)物理教學(xué)中，有助于學(xué)生理解大學(xué)物理課程中抽象和復(fù)雜的物理規(guī)律和現(xiàn)象［3-5］．計(jì)算機(jī)模擬利用模型來(lái)研究一個(gè)系統(tǒng)的行為特征，實(shí)現(xiàn)對(duì)物理規(guī)律、現(xiàn)象的科學(xué)、嚴(yán)密的真實(shí)再現(xiàn)．模擬具有不受空間限制的特點(diǎn)，模擬尺度從宏觀到微觀，模擬方法包括有限元法、耗散力子動(dòng)力學(xué)、格子玻爾茲曼方法、分子動(dòng)力學(xué)及第一性原理；也不受時(shí)間限制，可模擬瞬間的物理過(guò)程并在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行展示．計(jì)算機(jī)模擬的上述特點(diǎn)，是其他輔助教學(xué)手段不可比擬的，不僅可以提高大學(xué)物理的教學(xué)效果，還可以培養(yǎng)學(xué)生采用計(jì)算物理方法解決實(shí)際問(wèn)題的思維方式．將計(jì)算機(jī)模擬手段融入到大學(xué)物理教學(xué)中，必然對(duì)物理教師提出了新的要求，教師要針對(duì)大學(xué)物理課程中的難點(diǎn)內(nèi)容，結(jié)合具體實(shí)例編寫(xiě)程序，這是計(jì)算機(jī)模擬融入大學(xué)物理教學(xué)的關(guān)鍵．格子玻爾茲曼模擬方法 （Lattice Boltzmann Method，LBM）被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)問(wèn)題的研究中，本文針對(duì)大學(xué)物理中流體力學(xué)部分的概念和問(wèn)題，采用LBM方法模擬牛頓流體和非牛頓流體的泊肅葉流動(dòng)及圓柱繞流問(wèn)題，并演示了層流、湍流和卡門(mén)渦街現(xiàn)象．

1 LBM模擬方法的理論介紹

LBM方法的基本思想是在簡(jiǎn)化連續(xù)玻爾茲曼方程的同時(shí)，保留流體力學(xué)的本質(zhì)特征，理論基礎(chǔ)是從微觀動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)推導(dǎo)出宏觀流體力學(xué)方程，推導(dǎo)中一個(gè)重要的假設(shè)就是分子混沌條件，即相互碰撞的分子間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立．借助這一假設(shè)得到近似玻爾茲曼輸運(yùn)方程，再使用 Chapman-Enskog多尺度展開(kāi)方法得到Navier-Stokes方程，同時(shí)得到黏度計(jì)算式．LBM方法具有以下特點(diǎn)：1）程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，運(yùn)算效率高；2）適合于大規(guī)模并行計(jì)算；3）可以處理復(fù)雜的邊界條件．玻爾茲曼方程通常采用Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）模型：

其中f為分布函數(shù)，f（0）為平衡分布函數(shù)，τ為弛豫時(shí)間，c為速度.首先在速度空間選取有限的方向，完成對(duì)速度空間的離散化：

ci為格子速度，b為選取離散速度方向的個(gè)數(shù)，離散化后的分布函數(shù)用fi（r，t）表示，再進(jìn)一步對(duì)時(shí)空進(jìn)行離散化，空間間隔Δr、時(shí)間間隔Δt及格子速度ci有如下關(guān)系：

根據(jù)有限差分的方法得到單松弛時(shí)間的離散格子玻爾茲曼方程：

離散格子玻爾茲曼方程（4）用于計(jì)算流場(chǎng)中的新的分布函數(shù)，然后再更新流場(chǎng)中的密度ρ（r，t）和速度uα（r，t）：

以上是對(duì)LBM方法的基本理論和建模過(guò)程的簡(jiǎn)單介紹，對(duì)每個(gè)具體模型還要具體推導(dǎo)黏度計(jì)算公式．在LBM方法中，單松弛時(shí)間（SRT）BGK模型在模擬復(fù)雜邊界體系時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)值穩(wěn)定性和黏度依賴性的缺點(diǎn)．多松馳時(shí)間（MRT）模型可以消除SRT模型中的缺點(diǎn)，并提高計(jì)算精度［6］．我們所采用D2Q9 MRT模型中，每個(gè)格點(diǎn)有9個(gè)速度分布函數(shù)，可以寫(xiě)成如下形式：

分布函數(shù) f（ri）通過(guò)變換矩陣 M映射到 Moment空間（即物理量空間），分布函數(shù)在兩個(gè)空間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

其中｜m〉為Moment空間中的分布函數(shù)．在Moment空間根據(jù)下面的碰撞方程實(shí)現(xiàn)碰撞演化：

其中｜meq〉為Moment空間中的平衡分布函數(shù)，S為弛豫過(guò)程參數(shù)矩陣.在 Moment空間碰撞過(guò)程完成后，由轉(zhuǎn)化關(guān)系式（8）將分布函數(shù)映射回速度空間進(jìn)行下一步演化．

2 LBM模擬牛頓流體和非牛頓流體泊肅葉流動(dòng)

2．1牛頓流體泊肅葉流動(dòng)

流體力學(xué)中常把黏性流體在通道中的流動(dòng)稱為泊肅葉流動(dòng)．首先，我們研究了牛頓流體的泊肅葉流動(dòng)，當(dāng)流體沿某方向流動(dòng)時(shí)，恰好使非線性項(xiàng)為零，Navier-Stokes方程化為線性方程而能精確求解．這種情況下，Navier-Stokes方程在直角坐標(biāo)系下的分量形式是：

其中u、v分別為速度在x、y方向分量，ρ為流體密度，η為黏度.邊界條件和壓力梯度為：

其中h為邊界坐標(biāo)，P為壓力常量.

由式（10）—式（14）求解得到 x方向速度分量理論解為

LBM模擬結(jié)果可以與理論解進(jìn)行比較．?dāng)?shù)值模擬采用二維九速（D2Q9）模型，格子空間尺寸為200×101，流體黏度 η=0.01，上下邊界為無(wú)滑邊界條件，通道入口和出口采用壓力邊界條件.圖1是在垂直流動(dòng)方向截取得到的x方向速度分量隨y軸變化的分布圖，模擬給出的x方向速度分量為拋物線分布，模擬結(jié)果與理論解完全一致.

圖1　泊肅葉流動(dòng)中的牛頓流體x方向速度分量的理論解與模擬結(jié)果比較

2．2剪切變稀流體泊肅葉流動(dòng)

非牛頓流體廣泛存在于人們的生產(chǎn)生活之中，然而在教學(xué)中卻經(jīng)常被忽略．為了培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)際相結(jié)合的思維方式，有必要對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行展開(kāi)介紹．借助計(jì)算機(jī)模擬將牛頓流體和非牛頓流體流動(dòng)現(xiàn)象同時(shí)呈現(xiàn)在課堂上，可以幫助學(xué)生區(qū)別這兩類流體．非牛頓流體，是指不滿足牛頓黏性實(shí)驗(yàn)定律的流體．根據(jù)剪切應(yīng)力與剪切率關(guān)系的不同，可將非牛頓型流體分為若干類型，我們以剪切變稀流體為對(duì)象進(jìn)行模擬，并和牛頓流體在通道內(nèi)的速度分布進(jìn)行比較．實(shí)驗(yàn)表明，大多數(shù)高分子溶體和溶液具有剪切變稀性質(zhì)，其黏度會(huì)隨著剪切率的增加而減小至無(wú)窮黏度 μ∞，即所謂的剪切變稀.用來(lái)描述剪切變稀流體的模型有很多種，如冪律模型、Carreau模型和Cross模型［7］．我們采用Cross模型：

C和m為常數(shù)，μ0為零切黏度，μ∞為無(wú)窮黏度，為剪切速率.數(shù)值模擬采用 MRT D2Q9模型在200×101格子上進(jìn)行，Cross模型參數(shù)為 C=80，m=0.5，μ∞=0.01，μ0=1.

在通道流動(dòng)中牛頓流體的速度分布為拋物線，而剪切變稀流體在通道中心具有一個(gè)速度平臺(tái)，如圖2（a）所示．由剪切變稀流體的黏度與剪切速率的關(guān)系可知，在通道中心剪切速率最小黏度最大，從通道中心到兩邊隨著剪切速率的增大黏度逐漸變小，如圖2（b）所示．這種黏度與剪切速率的非線性關(guān)系不符合牛頓黏性定律，而牛頓流體中黏度不隨剪切速率變化．模擬結(jié)果很好的體現(xiàn)了牛頓流體和非牛頓流體物理概念上的差異．

3 LBM模擬層流、湍流和卡門(mén)渦街現(xiàn)象

層流指流體在管內(nèi)流動(dòng)時(shí)其質(zhì)點(diǎn)沿著與管軸平行的方向作平滑直線運(yùn)動(dòng)；湍流指相鄰流層間不但有滑動(dòng)，還有混合，流體作不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，有垂直于流管軸線方向的分速度產(chǎn)生．湍流現(xiàn)象普遍存在于地球大氣、海洋和江河、火箭尾流及血液流動(dòng)中的的自然現(xiàn)象．我們選擇圓柱繞流問(wèn)題來(lái)演示層流與湍流現(xiàn)象，同時(shí)還可以講解雷諾數(shù) Re的物理意義．在圖 3（a）中，當(dāng) Re=2．5時(shí)，黏性力對(duì)流場(chǎng)的影響大于慣性力，流場(chǎng)中流速的擾動(dòng)會(huì)因黏性力衰減，從而維持流體流動(dòng)穩(wěn)定，流動(dòng)為層流；當(dāng) Re=164時(shí)，慣性力對(duì)流場(chǎng)的影響大于黏性力，流速的擾動(dòng)變化會(huì)發(fā)展、增強(qiáng)，流動(dòng)為湍流，如圖3（b）所示；當(dāng)Re=576時(shí)，在模擬結(jié)果中出現(xiàn)了與實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)的卡門(mén)渦街現(xiàn)象，物體兩側(cè)會(huì)周期性地脫落出旋轉(zhuǎn)方向相反、排列規(guī)則的雙列線渦，如圖3（c）所示.

圖2

圖 3 不同雷諾數(shù)條件下，LBM模擬流體層流和湍流現(xiàn)象

4 結(jié)論

流體廣泛存在于人們的生產(chǎn)生活中，流體力學(xué)不僅是物理學(xué)重要的基礎(chǔ)理論，而且與實(shí)際應(yīng)用密不可分，因此深入學(xué)習(xí)流體力學(xué)知識(shí)對(duì)理工科學(xué)生非常重要．計(jì)算機(jī)模擬不受時(shí)空限制，能夠真實(shí)還原物理規(guī)律，這是其他輔助教學(xué)手段不具備的．本文采用計(jì)算機(jī)模擬作為輔助手段，將模擬結(jié)果與大學(xué)物理中與流體力學(xué)相關(guān)的概念和現(xiàn)象相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)提高教學(xué)效率，增強(qiáng)教學(xué)效果的目的．通過(guò) LBM模擬方法，模擬了牛頓流體和非牛頓流體的泊肅葉流動(dòng)，發(fā)現(xiàn)牛頓流體的泊肅葉流動(dòng)模擬結(jié)果可以與理論解吻合得非常好；通過(guò)展示這兩類流體在速度分布規(guī)律及黏度和剪切速率關(guān)系上的差異，形象地闡明了牛頓流體和非牛頓流體的物理概念；最后，模擬了圓柱繞流問(wèn)題，隨著雷諾數(shù)的增大可以依次觀察到層流現(xiàn)象、湍流現(xiàn)象和卡門(mén)渦街現(xiàn)象，在對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示和解釋的過(guò)程中自然闡明了雷諾數(shù)的物理意義．這些探索性的工作表明在大學(xué)物理課堂上采用計(jì)算機(jī)模擬做為輔助手段，不僅可以事半功倍，還能夠培養(yǎng)學(xué)生采用計(jì)算物理方法解決實(shí)際問(wèn)題的思維方式．

［1］ 韓永勝，楊宏新，馬軍．Mathematica軟件在大學(xué)物理問(wèn)題數(shù)值模擬中的應(yīng)用舉例［J］．物理通報(bào)，2014，（7）：31-34．

［2］ 丘錫彬，唐昌建．基于計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)的現(xiàn)代物理學(xué)教學(xué)研究［J］．高等理科教育，2010，（6）：74-77．

［3］ 李 鈺，康洞國(guó)，彭芳麟．剛體繞瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程的計(jì)算機(jī)模擬［J］．大學(xué)物理，2003，22（11）：44-47．

［4］ 熊萬(wàn)杰．Matlab用于大學(xué)物理教學(xué)［J］．物理通報(bào)，2004（2）：16-19．

［5］ 張杰．計(jì)算機(jī)模擬在分子物理教學(xué)中的應(yīng)用［J］．中山大學(xué)學(xué)報(bào)論叢，2005，25（3）：31-34．

［6］ Pan C，Luo L S，Miller C T．An Evaluation of Lattice Boltzmann Schemes for Porous Medium Flow Simulation［J］．Comput Fluids，2006，35：898-909．

［7］ Kehrwald D．Lattice Boltzmann Simulation of Shear-Thinning Fluids［J］．J Stat Phys，2005，121：223-237．

Computer simulation of some issues on fluid mechanics in college physics

MA Zeng-wei，WANG Zhi-yong，WEI Jian-wei，LIU Gai-qin，HU Nan，LI Rui-feng
（School of Optoelectronic Information，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

Lattice Boltzmann method（LBM）has been widely applied to study some issues on fluid mechanic．In this paper，the Poiseuille flows of Newtonian fluid and non-Newtonian fluid are simulated by LBM．Both laminar flow and turbulent flow are shown in the simulation of flow past cylinder and then the physical concept of Reynolds number is clarified．By combining simulated results with some knowledge of fluid mechanics in college physics，it can not only explain physical concepts on fluid mechanics intuitively，but also guide students to use the method of computation physics to solve problems．

computer simulation；Newtonian fluid；non-Newtonian fluid；laminar flow；turbulent flow

O 351．3

A

1000-0712（2016）10-0017-03

2015-12-16；

2016-04-05

重慶理工大學(xué)高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2013YB34，2014ZD05）、重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（KJ1400921）、重慶理工大學(xué)科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目（2012ZD29）資助

馬增威（1980—），男，吉林省白城市鎮(zhèn)賚縣人，重慶理工大學(xué)光電信息學(xué)院副教授，博士，主要從事大學(xué)物理教學(xué)及復(fù)雜流體的計(jì)算機(jī)模擬研究工作．