楊 泓，譙楷耀，阮承宗

（北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875）

水波色散關(guān)系測(cè)量方法探討

楊 泓，譙楷耀，阮承宗

（北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875）

介紹了一種自制的水波測(cè)量裝置．該裝置使用LabVIEW控制，可以用3種方法（駐波法、行波相位法和多普勒效應(yīng)法）測(cè)量水波色散關(guān)系．實(shí)驗(yàn)比較了3種方法的優(yōu)劣，并對(duì)改進(jìn)提出了建議．

水波色散關(guān)系；實(shí)驗(yàn)測(cè)量；駐波；行波；多普勒效應(yīng)

水波是生活中常見的機(jī)械波．但它與聲波等無(wú)色散的機(jī)械波不同，水波的波速（相速度和群速度）與波長(zhǎng)有關(guān)．根據(jù)流體力學(xué)理論，水波的相速度v可以用波數(shù)k表示為

其中g(shù)為重力加速度，ρ為水的密度，γ表示水的表面張力系數(shù)（γ隨溫度變化很小，20℃時(shí)等于 0．073 N／m，下文默認(rèn)γ等于該值），h為水的深度［1］.嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，“色散關(guān)系”一詞指的是角頻率ω作為k的函數(shù)，但為了更直觀地看出波速v隨波數(shù)k的變化，本文使用v（k）來(lái)表示色散關(guān)系.圖1為不同深度下的v（k）曲線，同時(shí)從式（1）可以得出：只有當(dāng)水極淺（h＜4．83 mm）時(shí)，v（k）才是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，在通常情況下（h＞4．83 mm）色散關(guān)系曲線先降再升，如同一個(gè)打鉤形狀．本文的工作就是搭建一個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，實(shí)測(cè)v-k曲線并與理論結(jié)果比較．

圖1　不同水深下v（k）的函數(shù)關(guān)系圖

1 實(shí)驗(yàn)裝置

我們搭建的實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示．

圖2　實(shí)驗(yàn)裝置

圖2左邊為裝置主體，水槽等置于一塊透明有機(jī)玻璃板之上，硅光電池8置于其下．激光器7發(fā)出的光束可以透過(guò)水面打在硅光電池8上，且二者共同固定在一個(gè)訂書釘形狀的支架上（圖2右邊）．支架又固定在絲桿上，可以用步進(jìn)電機(jī)移動(dòng)其位置，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)水槽內(nèi)水面縱向掃描［2］．這個(gè)裝置可以用兩種方法激發(fā)水波：1）揚(yáng)聲器1和矩形振子2之間有一根桿相連，揚(yáng)聲器接信號(hào)發(fā)生器，接通時(shí)帶動(dòng)矩形振子在水面上下振動(dòng)，在水槽一端激起水波；2）偏心輪電機(jī)5與水槽之間也有一根桿相連，偏心輪電機(jī)工作時(shí)帶動(dòng)整個(gè)水槽左右振動(dòng)產(chǎn)生水波（水槽振幅很小，約為1 mm）．硅光電池和步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器通過(guò)數(shù)據(jù)采集卡（NI myDAQ）連接至計(jì)算機(jī)，用LabVIEW軟件進(jìn)行采集數(shù)據(jù)和控制．同時(shí)也可調(diào)用LabVIEW豐富的內(nèi)置函數(shù)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．

2 實(shí)驗(yàn)方法及數(shù)據(jù)分析

我們可以用3種方法測(cè)量v-k關(guān)系，下面分別描述實(shí)驗(yàn)方法．

2．1駐波法

啟動(dòng)偏心輪電機(jī)，帶動(dòng)整個(gè)水槽周期性振動(dòng)，使得水波在水槽左右壁來(lái)回反射并疊加，形成駐波．利用激光器和底部的硅光電池可以探測(cè)水面駐波．原理是激光照射在不同位置，折射后底部光斑的振幅就不同，照射在波腹時(shí)振幅最小，照射在波節(jié)時(shí)振幅最大（見圖3）．振幅大到一定程度時(shí)硅光電池會(huì)有一段時(shí)間照不到激光，此時(shí)光斑的平衡位置在硅光電池中間，也就是說(shuō)當(dāng)激光照射在波腹時(shí)光斑基本停留在硅光電池中間不動(dòng)（見圖4），硅光電池不間斷地照射到激光，會(huì)持續(xù)輸出電壓信號(hào)，占空比為1．振幅最大時(shí)光電池輸出的平均電壓應(yīng)該是最小的（因?yàn)樾盘?hào)占空比最小）．控制步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，使激光器和硅光電池緩慢地掃描（1 mm／s），由LabVIEW軟件記錄硅光電池輸出的平均電壓（每1s左右平均一次）并繪制出不同位置的輸出電壓值（如圖5）．

圖3　激光束（直線）在水面駐波上的折射

圖4

理論上只要算出光強(qiáng)-位置曲線（圖5）的相鄰極小值點(diǎn)之間的平均距離就得到半波長(zhǎng)了，但這樣實(shí)際上只利用了很少一部分的數(shù)據(jù)點(diǎn)，容易受到噪聲的影響．我們采用 LabVIEW內(nèi)置的“單頻測(cè)量”函數(shù)計(jì)算曲線的空間頻率，從而得到波長(zhǎng)．單頻測(cè)量函數(shù)利用傅里葉變換和特有的搜索算法提取信號(hào)包含的最大頻率分量，能夠最大程度利用所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，提高測(cè)量準(zhǔn)確度．驅(qū)動(dòng)頻率則直接讓LabVIEW根據(jù)硅光電池輸出的電壓波形多次采樣進(jìn)行計(jì)算．這樣水波波長(zhǎng)λ和振動(dòng)頻率f都能得到，改變偏心輪電機(jī)的轉(zhuǎn)速可以測(cè)不同的λ和 f，我們就可以由此得出水波的色散關(guān)系曲線（見圖6），由圖可見，實(shí)驗(yàn)與理論相比基本吻合.

圖5

圖6　駐波法測(cè)得的色散關(guān)系曲線

我們只測(cè)了 v（k）遞減的低頻部分，原因在于裝置制作的精度不夠高，水槽難免會(huì)有輕微地垂直于導(dǎo)軌方向的晃動(dòng)．如果偏心輪電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速過(guò)大，由于當(dāng)波長(zhǎng)開始小于水槽寬的兩倍時(shí)，水槽中的駐波不再是一維條紋狀的，而是二維網(wǎng)格狀的了．垂直導(dǎo)軌方向振動(dòng)模式的干擾導(dǎo)致底部光斑的運(yùn)動(dòng)軌跡很復(fù)雜，無(wú)法再通過(guò)上述方法找出駐波的波長(zhǎng)．

2．2行波相位法

用信號(hào)發(fā)生器驅(qū)動(dòng)揚(yáng)聲器，帶動(dòng)矩形振子在水槽左端上下振動(dòng)產(chǎn)生水波．水波在槽中傳播時(shí)衰減很快，所以另一側(cè)器壁的反射波可以忽略，可視為行波．測(cè)量行波采用的是相位法，即測(cè)量不同位置水波振動(dòng)與揚(yáng)聲器驅(qū)動(dòng)信號(hào)的相位差．為了提高測(cè)量準(zhǔn)確度，我們采用關(guān)聯(lián)函數(shù)的方式計(jì)算兩個(gè)信號(hào)的相位差．具體做法是：同時(shí)采集一段（整數(shù)個(gè)驅(qū)動(dòng)信號(hào)周期）驅(qū)動(dòng)信號(hào)和光電池信號(hào)，將二者相乘并做平均．設(shè)行波表達(dá)式為sin（kx+ωt），其中 x為距振源距離.令 x=0即得信號(hào)發(fā)生器輸出的信號(hào)表達(dá)式sin（ωt）.當(dāng)步進(jìn)電機(jī)控制激光器以速率 u勻速掃描時(shí)x=ut，硅光電池輸出的電壓信號(hào)為sin（kut+ωt），它們乘積的周期平均為

實(shí)驗(yàn)中u比較?。ㄒ话阒挥?1～2 mm／s），2ω+ku比ku大至少3個(gè)量級(jí)，故上式等號(hào)右邊第二項(xiàng)相比第一項(xiàng)可以忽略，所以有：

圖7　兩個(gè)信號(hào)乘積的平均值與振源距離的關(guān)系

我們?yōu)樾胁ㄏ辔环?zhǔn)備了兩個(gè)30 cm長(zhǎng)的水槽，寬度分別為5 cm和20 cm，這一寬一窄兩個(gè)水槽給了我們精確度不同的結(jié)果（見圖8）．

圖8　行波相位法測(cè)得的色散關(guān)系曲線

對(duì)比寬窄水槽的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)寬水槽與理論值基本吻合，而窄水槽的實(shí)驗(yàn)值整體明顯偏小，這無(wú)疑是系統(tǒng)誤差．實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在不同水深下寬窄水槽都表現(xiàn)出這種現(xiàn)象．是什么導(dǎo)致了窄水槽的系統(tǒng)誤差？只有一端的矩形振子在驅(qū)動(dòng)水波，我們猜測(cè)是水波傳播的時(shí)候受到了兩側(cè)器壁的黏滯阻力，拖慢了波速，而狹窄水面兩側(cè)器壁的影響要更大，器壁黏滯阻力的影響對(duì)較開闊的水面應(yīng)該可以忽略．駐波法中由于整個(gè)水槽中的水都在周期性晃動(dòng)，器壁的影響當(dāng)然也可以忽略，所以也沒有明顯的系統(tǒng)誤差．

2．3多普勒效應(yīng)法

裝置設(shè)置與行波相位法相同．在這里波源是矩形振子，觀測(cè)者是激光器和硅光電池，對(duì)于波源不動(dòng)、觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)滿足下式：

f是由信號(hào)發(fā)生器給定的波源實(shí)際振動(dòng)頻率，f′為測(cè)量到的頻率，讓 LabVIEW根據(jù)硅光電池輸出的電壓波形多次采樣進(jìn)行計(jì)算并平均即可得到．v為水波波速，u為步進(jìn)電機(jī)精確控制的激光器和硅光電池掃描速度（控制在 5～10 mm／s），也就是觀測(cè)者速度．這樣 f、f′和 u三者都已知，就可以根據(jù)式（4）求出未知的波速 v.我們用多普勒效應(yīng)法測(cè)量了離振源不同距離x處的波速，結(jié)果如圖9所示.

圖9　多普勒效應(yīng)測(cè)得的不同距離處的波速

理論上波速與觀測(cè)者和波源的距離無(wú)關(guān)，但從圖中我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)距離比較近時(shí)，測(cè)得波速漲落較小，而且與行波相位法的結(jié)果比較一致，但當(dāng)距離較大時(shí)，測(cè)量結(jié)果漲落變大，最大值和最小值相差竟有50 mm／s，平均值的不確定度也變得很大，這時(shí)即便給出一個(gè)波速平均值也是沒有意義的．我們猜測(cè)出現(xiàn)問題的原因可能有兩個(gè)：1）遠(yuǎn)離波源信號(hào)變?nèi)?，測(cè)量結(jié)果受噪聲影響變大；2）槽內(nèi)水波可能不能簡(jiǎn)單地看成一維行波．但具體的原因還待進(jìn)一步研究確定．

3 總結(jié)和討論

我們利用自己搭建的實(shí)驗(yàn)裝置，采用駐波法、行波相位法和多普勒效應(yīng)法測(cè)量了水波的色散關(guān)系，測(cè)量結(jié)果基本符合理論公式．實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)3種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)．使用激光器與硅光電池探測(cè)水面情況，定位客觀準(zhǔn)確．使用步進(jìn)電機(jī)便于精確控制位移和速度．而LabVIEW這樣的專業(yè)級(jí)編程平臺(tái)也為我們代勞了不少繁瑣的工作．我們也發(fā)現(xiàn)，駐波法和行波相位法是不能用同一個(gè)容器的，前者需要盡量窄的水槽以避免二維駐波的出現(xiàn)，而后者需要盡量寬的水槽以減小器壁黏滯阻力的影響．此外，行波相位法中窄水槽的系統(tǒng)誤差來(lái)源和多普勒效應(yīng)法中數(shù)據(jù)不穩(wěn)定性的原因也有待于進(jìn)一步定量分析．

4 致謝

筆者搭建這個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置從摸索到最后測(cè)量出全部數(shù)據(jù)用了將近4個(gè)月時(shí)間，其間北師大物理系的白在橋老師給予了我們很多幫助，這里向他表示感謝！

［1］ 吳云崗，陶明德．水波動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)［M］．復(fù)旦大學(xué)出版社，2011．

［2］ 童培雄，趙在忠．測(cè)量水的振動(dòng)頻率與水波傳播速度［J］．物理實(shí)驗(yàn)，2005（5）：6-9．

Discussion on methods of measuring the dispersion relation of water wave

YANG Hong，QIAO Kai-yao，RUAN Cheng-zong
（Department of Physics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

We introduce a water wave measuring device which is controlled by LabVIEW．Three methods such as standing wave method，phase of traveling wave method and Doppler effect method can be used to measure the dispersion relation of water wave．We compare the advantages and disadvantages of these three methods and put forward some recommendations for improvements．

dispersion relation of water wave；experimental measurement；standing wave；traveling wave；Doppler effect

O351．2；O4-33

A

1000-0712（2016）10-0052-04

2015-09-25；

2016-01-13

楊泓（1994—），男，福建漳州人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系2013級(jí)本科生．