任惠娟, 姚 展, 薛小慶, 劉 婷, 雷 燁

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水中振動(dòng)矩形板的附加質(zhì)量研究

任惠娟1, 姚 展1, 薛小慶1, 劉 婷1, 雷 燁2

(1.咸陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院， 陜西 咸陽(yáng) 712000; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院， 陜西 西安 710072)

從水下振動(dòng)矩形板的振動(dòng)響應(yīng)公式出發(fā)，根據(jù)附加質(zhì)量的定義，推導(dǎo)了水下矩形板的附加質(zhì)量表達(dá)式，并進(jìn)行了數(shù)值仿真.研究表明：(1)模態(tài)階數(shù)越低，矩形板附加面密度越大.(2)當(dāng)波數(shù)比kw/kmnw<10-1時(shí)，矩形板的附加面密度與波數(shù)比無(wú)關(guān)而幾乎保持恒值；當(dāng)kw/kmnw≈1時(shí)，除過(guò)(1,1)階模態(tài)，各階模態(tài)附加面密度均出現(xiàn)了峰值；之后隨著波數(shù)比的增大，模態(tài)附加面密度迅速衰減.(3)水下矩形板的附加質(zhì)量不可忽略，研究水下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與聲輻射必須考慮附加質(zhì)量的影響.

矩形板； 附加質(zhì)量； 附加阻尼

0 引言

當(dāng)結(jié)構(gòu)在重質(zhì)流體中振動(dòng)時(shí), 由于流體與結(jié)構(gòu)的相互耦合作用[1-6]而使其振動(dòng)和聲輻射變得復(fù)雜.流固耦合問(wèn)題的弱耦合研究法[7]認(rèn)為流體對(duì)結(jié)構(gòu)的影響是以附加質(zhì)量和附加阻尼的形式體現(xiàn)出來(lái)的, 因此圍繞各種結(jié)構(gòu)在流體中附加質(zhì)量的研究很受人們的關(guān)注.王基盛等[7]采用弱耦合法分析了流體與結(jié)構(gòu)的耦合作用，探討了流體環(huán)境中影響結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的因素，并給出了流體動(dòng)能的計(jì)算方法.錢(qián)勤等[8]借助Green公式，將結(jié)構(gòu)附連水質(zhì)量的計(jì)算化為一個(gè)邊界積分，計(jì)算了水中圓柱體和球體的附連水質(zhì)量.于丹竹等[9]通過(guò)建立帶有附加質(zhì)量主結(jié)構(gòu)的有限元模型，將其與聲流體介質(zhì)的瑞利積分相互耦合以獲得耦合系統(tǒng)的響應(yīng).馬燁等[10]采用商用計(jì)算軟件，運(yùn)用Fluent非常定運(yùn)動(dòng)和動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)數(shù)值計(jì)算得到了物體六自由度運(yùn)動(dòng)的附加質(zhì)量.劉瑩等[11]在勢(shì)流理論的基礎(chǔ)上，求解了結(jié)構(gòu)剛彈耦合的附加質(zhì)量.李明等[12]通過(guò)建立水下航行體的梁模型，研究了其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中附加質(zhì)量的變化情況.以上研究針對(duì)不同水下結(jié)構(gòu)采用不同方法研究了其附加質(zhì)量問(wèn)題，也從不同方面剖析了水下結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的產(chǎn)生機(jī)理，為求解結(jié)構(gòu)在流體中的附加質(zhì)量提供了很好的幫助.板結(jié)構(gòu)是構(gòu)成各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)之一，本文則以水中點(diǎn)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的振動(dòng)矩形板為研究對(duì)象，根據(jù)弱耦合研究理論, 對(duì)其振動(dòng)響應(yīng)公式進(jìn)行修正，結(jié)合振動(dòng)結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的定義，推導(dǎo)其附加質(zhì)量的計(jì)算方法.本研究為進(jìn)一步研究水介質(zhì)對(duì)水下振動(dòng)結(jié)構(gòu)聲輻射的影響奠定基礎(chǔ).

1 水中振動(dòng)矩形板的振動(dòng)響應(yīng)

當(dāng)結(jié)構(gòu)在水中振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)會(huì)向水中輻射聲場(chǎng)，該聲場(chǎng)將反作用于結(jié)構(gòu)本身，從而對(duì)結(jié)構(gòu)自身的振動(dòng)和聲輻射產(chǎn)生影響.聲場(chǎng)對(duì)振動(dòng)結(jié)構(gòu)的影響體現(xiàn)在兩個(gè)方面[7,13]：一方面由于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶動(dòng)了周?chē)黧w的運(yùn)動(dòng)，這相當(dāng)于振動(dòng)結(jié)構(gòu)自身的質(zhì)量產(chǎn)生了增量，我們稱(chēng)之為附加質(zhì)量; 另一方面，由于結(jié)構(gòu)在振動(dòng)的同時(shí)向周?chē)慕橘|(zhì)中輻射出聲能量從而損耗了機(jī)械能，這部分能量的損耗可以用附加阻尼(又稱(chēng)為輻射阻尼)來(lái)進(jìn)行描述.

設(shè)長(zhǎng)為a、寬為b的矩形板置于水中，板的邊界條件為四邊簡(jiǎn)支并且被嵌于無(wú)限大障板中(如圖1所示).當(dāng)矩形板受到作用于點(diǎn)(x0,y0)處的簡(jiǎn)諧力Fejωt激勵(lì)而發(fā)生振動(dòng)時(shí)，考慮到振動(dòng)過(guò)程中矩形板附加質(zhì)量和附加阻尼的產(chǎn)生，將空氣介質(zhì)中點(diǎn)(x′,y′)的振速幅值表達(dá)式[14]中板的密度和阻尼分別進(jìn)行修正，得到水下矩形板在點(diǎn)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的振速幅值表達(dá)式為：

(1)

D為板的彎曲剛度.

圖1 矩形板積分示意圖

2 振動(dòng)矩形板的附加質(zhì)量

當(dāng)矩形板受到作用于點(diǎn)(x0,y0) 處的簡(jiǎn)諧力Fejωt激勵(lì)而發(fā)生振動(dòng)時(shí)，面圓ds′的振動(dòng)在ds處產(chǎn)生的聲壓幅值為

(2)

式(2)中:kw為水中聲波波數(shù)，ρw為水的密度，cw為水中的聲速.將(1)式代入(2)式并對(duì)整個(gè)輻射面進(jìn)行積分，得到所有面元的振動(dòng)在面元ds處產(chǎn)生的聲壓為

(3)

于是面圓ds受到聲場(chǎng)的反作用力為

Fmnw(x,y)=Pmnw(x,y)·ds

(4)

面元ds的輻射阻抗為

(5)

面元ds的附加質(zhì)量[13]為

(6)

由于板的振動(dòng)，面圓的附加質(zhì)量也隨之一起振動(dòng)，于是面元ds的附加質(zhì)量對(duì)應(yīng)的附加動(dòng)能為

(7)

將(6)式代入(7)式并對(duì)(7)式積分，得到整個(gè)板面的附加動(dòng)能為

(8)

從另一方面看，若令整個(gè)板面的(m,n)模態(tài)的附加質(zhì)量為Δmmn，考慮到整個(gè)板面的振速均方值為

(9)

則整個(gè)板面的附加質(zhì)量引起的整個(gè)板面的附加動(dòng)能又可寫(xiě)為

(10)

于是由T′=T得

φmn(x,y)·φmn(x′,y′)ds′ds

(11)

(11)式即為水中振動(dòng)矩形板(m,n)模態(tài)的附加質(zhì)量表達(dá)式.

3 數(shù)值仿真

圖2給出了邊長(zhǎng)為1 m的四邊簡(jiǎn)支方板前9階模態(tài)的附加面密度隨著波數(shù)比的變化情況.圖中橫坐標(biāo)為輻射聲波的波數(shù)kw和矩形板(m,n)階模態(tài)彎曲波波數(shù)kmnw的比值，即波數(shù)比.

圖2表明，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，水中簡(jiǎn)支邊界方板的附加面密度隨波數(shù)比的變化關(guān)系呈現(xiàn)出以下特點(diǎn)：

(1)模態(tài)階數(shù)越低，方板附加面密度越大.

(2)當(dāng)kw?kmnw時(shí)，方板各階模態(tài)的附加面密度曲線(xiàn)近似為與橫軸平行的直線(xiàn)，即方板的模態(tài)附加面密度幾乎與波數(shù)比無(wú)關(guān).

(3)當(dāng)kw

(4)當(dāng)kw≈kmnw時(shí)，除(1,1)模態(tài)外，各模態(tài)的附加面密度均出現(xiàn)峰值，且模態(tài)階數(shù)越高，峰值越明顯.

(5)當(dāng)kw?kmnw時(shí)，所有模態(tài)的附加面密度均迅速減小.

圖2 簡(jiǎn)支邊界矩形板前9階模態(tài)的附加面密度

圖3給出了邊長(zhǎng)為1 m的方板在簡(jiǎn)支邊界條件下單面臨水及在空氣中的附加面密度對(duì)比情況.

由圖3可以看出，當(dāng)方板在水中振動(dòng)時(shí)，其附加面密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其在空氣中的情形.另外，對(duì)于邊長(zhǎng)為1 m、厚度為6 mm的鋼質(zhì)方板在空氣中振動(dòng)時(shí)，計(jì)算表明，其附加面密度遠(yuǎn)在1 kg/m2數(shù)量級(jí)以下，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于方板自身的面密度(約為47 kg/m2).這說(shuō)明在空氣介質(zhì)中計(jì)算板的振動(dòng)及聲輻射時(shí)由于振動(dòng)板的附加質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于自身質(zhì)量，因而可以完全不考慮其附加質(zhì)量的影響.而當(dāng)該板在水中振動(dòng)時(shí)，其附加面密度在102kg/ m2數(shù)量級(jí)左右，遠(yuǎn)大于或接近于其自身的面密度，所以當(dāng)板在水下振動(dòng)時(shí)，必須考慮其附加質(zhì)量的影響.

(a) (1,1)模態(tài) (b) (6,3)模態(tài)

(c) (4,4)模態(tài) (d) (3,2)模態(tài)圖3 簡(jiǎn)支邊界方板在空氣及水中的附加面密度對(duì)比

4 本文附加質(zhì)量與波數(shù)變換法附加質(zhì)量計(jì)算結(jié)果對(duì)比

文獻(xiàn)[15]用波數(shù)變換法推導(dǎo)出了臨界頻率以下頻段簡(jiǎn)支邊界矩形板的附加質(zhì)量,其表達(dá)式為：

(12)

文獻(xiàn)[15]同時(shí)指出，這一表達(dá)式適用于計(jì)算較高階模態(tài)矩形板的附加質(zhì)量，當(dāng)其用于計(jì)算較低階模態(tài)的附加質(zhì)量時(shí)將會(huì)有較大的誤差.這里以邊長(zhǎng)為0.5 m的方板為例，將本文方法的低階模態(tài)計(jì)算結(jié)果(如圖4所示)及高階模態(tài)計(jì)算結(jié)果(如圖5所示)分別與上式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

對(duì)于圖4的各低階模態(tài)，本文的計(jì)算結(jié)果均高于(12)式的計(jì)算結(jié)果，尤其是對(duì)于(1,1)階模態(tài)，本文的結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于(12)式的結(jié)果.但是圖4也表明隨著模態(tài)階數(shù)的逐步升高，本文的計(jì)算結(jié)果越來(lái)越接近于(12)式的計(jì)算結(jié)果.對(duì)于圖5的各高階模態(tài)，本文的計(jì)算結(jié)果與(12)式的結(jié)果一致性良好.

(a) (1,1)模態(tài) (b) (1,2)模態(tài)

(c) (1,3)模態(tài) (d) (2,2)模態(tài)圖4 低階模態(tài)附加質(zhì)量對(duì)比

(a) (4,5)模態(tài) (b) (5,6)模態(tài)

(c) (6,7)模態(tài) (d) (7,7)模態(tài)圖5 高階模態(tài)附加質(zhì)量對(duì)比

以上對(duì)比結(jié)果與文獻(xiàn)[15]中指出的(12)式適用范圍相吻合.由于(12)式在推導(dǎo)的過(guò)程中做了一定的近似處理，這種近似對(duì)于高階模態(tài)是適合的，但對(duì)于低階模態(tài)則不適用[15]，因此(12)式僅適用于計(jì)算高階模態(tài)的附加質(zhì)量.本文給出的矩形板附加質(zhì)量計(jì)算公式(11)式是根據(jù)弱耦合理論嚴(yán)格推導(dǎo)得到的.(11)式和(12)式是在不同的物理模型下推導(dǎo)的結(jié)果，其高階模態(tài)計(jì)算結(jié)果良好的一致性則表明了本文物理模型的有效性及推導(dǎo)結(jié)果正確性.另外，從仿真結(jié)果上看，對(duì)于低階模態(tài)，隨著模態(tài)階數(shù)的逐步升高，兩種計(jì)算結(jié)果的差別有逐漸縮小的趨勢(shì)，到了高階模態(tài)時(shí)則達(dá)到了完全一致的地步，而這恰恰是(12)式推導(dǎo)過(guò)程中所做的近似處理更適用于高階模態(tài)的具體反映.因此，不僅由該模型所推得的高階模態(tài)附加質(zhì)量計(jì)算結(jié)果是正確的，而且其低階模態(tài)附加質(zhì)量計(jì)算結(jié)果也是可信的.

本文的附加質(zhì)量計(jì)算方法由于既可用于計(jì)算高階模態(tài)，又可用于計(jì)算低階模態(tài)，因此較(12)式適用范圍更廣.

5 結(jié)論

本文從修正后的水下矩形板振動(dòng)響應(yīng)公式出發(fā)，推導(dǎo)了其附加質(zhì)量表達(dá)式，并根據(jù)該表達(dá)式進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明：(1)模態(tài)階數(shù)越低，矩形板附加面密度越大.(2)當(dāng)波數(shù)比kw/kmnw<10-1時(shí)，矩形板的附加面密度幾乎保持恒值而與波數(shù)比無(wú)關(guān)；隨著波數(shù)比的增大，附加面密度逐漸波動(dòng)變化；當(dāng)kw/kmnw≈1時(shí)，除過(guò)(1,1)階模態(tài)，其他模態(tài)的附加面密度均出現(xiàn)了峰值；之后隨著波數(shù)比的增大，附加面密度迅速衰減.(3)水下矩形板的附加質(zhì)量不可忽略，研究水下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與聲輻射必須考慮附加質(zhì)量的影響.

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【責(zé)任編輯：蔣亞儒】

Study on the attached mass of the rectangular plate in water

REN Hui-juan1, YAO Zhan1, XUE Xiao-qing1, LIU Ting1, LEI Ye2

(1.College of Physics and Electronic Engineering, Xianyang Normal University, Xianyang 712000, China; 2.College of Marine, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Starting from the vibration response formula of the rectangular plate in water and according to the definition of the attached mass,the expression of attached mass is derived for a rectangular plate in water,and the numerical simulations are implemented.The results show:First, the lower the modal order,the bigger the attached mass.Second, whenkw/kmnw<10-1,the attached mass almost keeps a constant value.Whenkw/kmnw≈1,the attached mass appears a peak value except the (1,1) mode,then it decays fastly.Third,the attached mass of the rectangular plate in water can not be neglected,and it should be taken into account when vestigating its vibration and sound radiation.

rectangular plate; attached mass; attached damping

2016-09-27

陜西省科技廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (2011JM1017); 陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2013JK0618)； 咸陽(yáng)師范學(xué)院專(zhuān)項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(13XSYK016)

任惠娟(1972-)，女，陜西周至人，副教授，博士，研究方向：結(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲輻射

1000-5811(2016)06-0183-04

O422.6

A