馮 云，朱亦丹，李 將

(中船重工海博威(江蘇)科技發(fā)展有限公司，揚(yáng)州 225000)

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基于貝葉斯理論的測(cè)量誤差預(yù)報(bào)與修正方法

馮 云，朱亦丹，李 將

(中船重工海博威(江蘇)科技發(fā)展有限公司，揚(yáng)州 225000)

針對(duì)動(dòng)態(tài)測(cè)量過程的復(fù)雜性以及隨機(jī)性，提出了基于貝葉斯理論的動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的建模、預(yù)報(bào)方法。該方法要求的數(shù)據(jù)量少，對(duì)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差序列的平穩(wěn)性沒有要求，并且能夠充分利用預(yù)報(bào)過程中的主、客觀信息來實(shí)時(shí)修正模型，提高預(yù)報(bào)精度。最后，通過Labview仿真驗(yàn)證了基于貝葉斯理論的動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差預(yù)報(bào)方法具有較高的預(yù)報(bào)精度。

貝葉斯動(dòng)態(tài)模型；誤差預(yù)報(bào)；動(dòng)態(tài)誤差；實(shí)時(shí)修正

0 引 言

動(dòng)態(tài)測(cè)量日益普及，對(duì)動(dòng)態(tài)測(cè)量精度的要求也越來越高，誤差修正是提高動(dòng)態(tài)測(cè)量精度的一種有效方法，因此受到普遍關(guān)注和高度重視。根據(jù)已知的測(cè)量誤差序列建立動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差模型，并對(duì)將來時(shí)刻的測(cè)量誤差進(jìn)行預(yù)報(bào)，是實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差實(shí)時(shí)修正的基本方法。國(guó)內(nèi)外專家、學(xué)者對(duì)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的建模預(yù)報(bào)方法進(jìn)行了大量研究，并提出了很多有效方法,比如時(shí)序分析法[1]、諧波分析法、灰色理論法[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[3]等現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法。這些方法分別針對(duì)特定特征的誤差序列提出，具有一定的實(shí)用性；但是也存在一些不足，比如需要較多的測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)測(cè)量誤差序列的平穩(wěn)性也有要求，模型比較簡(jiǎn)單，對(duì)異常情況的響應(yīng)差等。另外，由于動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的隨機(jī)性和時(shí)變性[4]，導(dǎo)致模型的誤差預(yù)報(bào)精度會(huì)隨著預(yù)報(bào)步數(shù)的增加而快速降低，嚴(yán)重影響了動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的實(shí)時(shí)修正效果，成為阻礙進(jìn)一步提高動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差修正精度的關(guān)鍵所在。對(duì)此，本文提出了動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的貝葉斯建模預(yù)報(bào)方法。該方法要求的數(shù)據(jù)量較少,且對(duì)誤差序列沒有平穩(wěn)性要求，能夠充分利用預(yù)報(bào)過程中的主客觀信息來實(shí)時(shí)修正模型，提高測(cè)量誤差的預(yù)報(bào)精度。

1 動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的貝葉斯建模、預(yù)報(bào)理論

基于貝葉斯預(yù)報(bào)理論的動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差預(yù)報(bào)方法[5],第1步是根據(jù)已獲取的測(cè)量誤差序列建立動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差模型。測(cè)量誤差序列可以通過觀測(cè)方程和狀態(tài)方程來描述：

(1)

狀態(tài)方程:θt=Gtθt-1+ωt

(2)

式中：yt為t時(shí)刻動(dòng)態(tài)測(cè)量的誤差值;本文主要針對(duì)單次測(cè)量誤差序列進(jìn)行研究，因此，yt和υt是一維變量；θt、ωt的維數(shù)以及Ft、Gt根據(jù)動(dòng)態(tài)誤差序列的特征來決定；υt、ωt分別為觀測(cè)誤差矩陣、狀態(tài)誤差矩陣，它們互相獨(dú)立。

對(duì)于一般的動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差預(yù)報(bào)方法，要獲得θt的初始信息和υt、ωt的先驗(yàn)分布很難，因此本文采用無信息先驗(yàn)分布法進(jìn)行測(cè)量誤差的預(yù)報(bào)。假設(shè)誤差模型中一共有n個(gè)變量，則可以根據(jù)n個(gè)已知的測(cè)量誤差值來確定θt、υt以及ωt的初始信息。根據(jù)測(cè)量誤差的特點(diǎn)以及簡(jiǎn)化推導(dǎo)，假設(shè)υt為正態(tài)分布N[0,V](V為未知變量)，ωt為均值等于0、方差等于Wt的T分布。由于使用了較少的測(cè)量誤差數(shù)據(jù)確定初始信息，并且不可能根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計(jì)出參數(shù)的變化趨勢(shì)，因此，可以設(shè)：Wt=0(t=1,2，…，n)。

設(shè)t時(shí)刻及之前所有時(shí)刻的有效信息集合為Dt，t=0時(shí)的初始有效信息集合為D0。根據(jù)無信息先驗(yàn)分布法可得：

p(θ1,V|D0)∝V-1(V>0)

(3)

根據(jù)貝葉斯理論及測(cè)量誤差點(diǎn){y1，y2，…，yn}，可得到p(θn,V|Dn)，進(jìn)而獲得(θn|Dn)和(V-1|Dn)的邊緣分布；然后將上述邊緣分布作為初始信息，對(duì)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差進(jìn)行遞推預(yù)報(bào)(t>n)。

設(shè)誤差數(shù)據(jù)的初始信息為：

ωt～Tnt-1[0,Wt]

(4)

(θt-1|Dt-1)～Tnt-1[Mt-1,Ct-1]

(5)

(θt|Dt-1)～Tnt-1[At,Rt]

(6)

(V-1|Dt-1)～Γ(nt-1/2,dt-1/2)

(7)

一步向前預(yù)報(bào)為:

(yt|Dt-1)～Tnt-1[ft,Qt]

(8)

遞推修正關(guān)系為：

(θt|Dt)～Tnt[Mt,Ct]

(9)

(V-1|Dt)～Γ[nt/2,dt/2]

(10)

Mt=At+Btet

(11)

Ct=(St/St-1)[Rt-BtBtTQt]

(12)

St=dt/nt

(13)

根據(jù)公式(9)～(13)可知，遞推算法中需要知道Wt(t>n)的值，采用比例因子法，可得：

(14)

(15)

則：

Wt=GtCt-1GtT(ρ-1-1)

(16)

對(duì)于第k(k>0)步向前預(yù)報(bào)分布：

(θt+k|Dt)～Tnt[At(k),Rt(k)]

(17)

(yt+k|Dt)～Tnt[ft(k),Qt(k)]

(18)

2 軟件仿真與分析

2.1 程序設(shè)計(jì)

本次設(shè)計(jì)是基于貝葉斯動(dòng)態(tài)誤差理論，采用無信息先驗(yàn)分布法，以Labview軟件為平臺(tái)，進(jìn)行動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)與修正。圖1所示為動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差貝葉斯預(yù)報(bào)程序設(shè)計(jì)流程圖。

圖1 動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差貝葉斯預(yù)報(bào)程序流程圖

2.2 仿真與分析

為了驗(yàn)證動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差建模及預(yù)報(bào)修正的效果，本文采用周期信號(hào)和線性信號(hào)的疊加信號(hào)對(duì)實(shí)際效果進(jìn)行驗(yàn)證。采用的信號(hào)為：

y=5sin(20πx)+5sin(40πx)+5sin(80πx)+1·400x

其波形如圖2所示。

圖2 輸入信號(hào)波形

對(duì)于周期性模型，周期p=40。根據(jù)貝葉斯理論，可求得它有q=p/2=20個(gè)調(diào)和分量與水平分量。但其主要的調(diào)和分量有3個(gè)，r=1[y=sin(20πx)]，r=2[y=sin(40πx)]，r=4[ysin(80πx)],則：

(19)

由模型疊加原理可知：G=diag(G1,G2,G3)，F(xiàn)=(1,0,1,0,1,0)T。

對(duì)于p=40，其未知參量數(shù)目N=2(q-1)+1=39。

對(duì)于線性信號(hào)和周期信號(hào)的疊加信號(hào)，根據(jù)疊加原理，可以得到：N=3+39-1=41；F=(1,0,1,0,1,0,1,0)T；G=diag(G0,G1,G2,G3)。

運(yùn)行程序后可得到波形如圖3所示。

圖3 多步預(yù)報(bào)波形圖

從圖3可以看出：從40到80的一步預(yù)報(bào)效果非常好，和原曲線基本重合，對(duì)動(dòng)態(tài)誤差序列的模型

建立比較好；從120到200的多步預(yù)報(bào)中能夠反映出原曲線的趨勢(shì)，預(yù)報(bào)誤差比較小。

3 結(jié)束語

本文采用的貝葉斯預(yù)報(bào)建模方法，對(duì)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差序列沒有平穩(wěn)性要求，使用數(shù)據(jù)較少，能夠快速有效地實(shí)時(shí)修正誤差模型，因此模型的適應(yīng)性好，能處理異常情況的發(fā)生，提高了動(dòng)態(tài)誤差實(shí)時(shí)修正的精度。最后，通過線性信號(hào)和周期信號(hào)的疊加信號(hào)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，一步預(yù)報(bào)和多步預(yù)報(bào)的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)誤差不大，預(yù)報(bào)精度高。由此可知，基于貝葉斯理論的動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差建模預(yù)報(bào)方法能夠非常好地預(yù)報(bào)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差。

[1] 盧榮勝.動(dòng)態(tài)測(cè)量實(shí)時(shí)誤差修正技術(shù)研究[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué)，1998.

[2] 龔蓬.動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差修正灰色建模理論與應(yīng)用技術(shù)研究[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué),1999.

[3] 葉兵.基于遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型實(shí)時(shí)誤差修正任意角測(cè)量系統(tǒng)[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué),2004.

[4] 費(fèi)業(yè)泰,盧榮勝.動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差修正原理與技術(shù)[M].北京:中國(guó)計(jì)量出版社,2001.

[5] 程真英.動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差修正灰色建模理論與應(yīng)用技術(shù)研究[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué),2004.

PredictionandCorrectionMethodofMeasurementErrorsBasedonBayesTheory

FENGYun，ZHUYi-dan，LIJiang

(CSICHebowi(Jiangsu)TechnologyDevelopmentCo.,Ltd,Yangzhou225000,China)

Inviewofthecomplexityandrandomnessofdynamicmeasurementcourse,modelingandpredictionmethodfordynamicmeasurementerrorsbasedonBayestheoryispresented.Themethodrequireslessdata,andthestabilityofdynamicmeasurementerrorssequenceisnotrequired.Themethodcanmakefulluseofthesubjectiveandobjectiveinformationtocorrectthemodelinrealtime,improvesthepredictionaccuracy.Finally,LabviewsimulationresultprovesthatthepredictionmethodofdynamicmeasurementerrorsbasedonBayestheoryhasbetterpredictionaccuracy.

Bayesdynamicmodel；errorprediction；dynamicerror；realtimecorrection

2016-05-27

TP

A

CN32-1413(2016)05-0064-03

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2016.05.016