黃 超，王 偉，單 涼

(電子工程學院，合肥 230037)

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基于Burg算法功率譜估計的參數選擇

黃 超，王 偉，單 涼

(電子工程學院，合肥 230037)

介紹了現(xiàn)代功率譜估計中常用的基于自回歸(AR)模型的Burg算法，分析了Burg算法中參數選擇對功率譜估計的影響，并給出綜合最優(yōu)的Burg算法參數選擇方法，最后將本文參數選擇方法應用于列車測速系統(tǒng)進行實驗驗證，準確地估計出了列車的多普勒頻率。

功率譜估計；自回歸模型；Burg算法；參數選擇

0 引 言

在現(xiàn)代信號處理中，對于具有各態(tài)歷經性的平穩(wěn)隨機信號很難用數學關系式來清楚地描述。為了分析平穩(wěn)隨機信號，可以利用采集的N個樣本數據來估計該信號的功率譜密度(PSD)，這種方法就被稱為功率譜估計[1-3]。功率譜估計常被應用于許多實際問題中，例如雷達信號處理和生物醫(yī)學工程等。一般來說, 功率譜估計方法可分為兩大類：經典譜估計法(非參數估計法)和現(xiàn)代譜估計法(參數估計法)。經典譜估計法分為直接法和間接法，均是以數字傅里葉變換(DFT)為基礎，具有分辨率低、頻譜混疊等固有缺點?，F(xiàn)代譜估計法先建立功率譜估計模型，然后利用觀測數據對建立的模型進行參數估計，最后完成功率譜估計。該方法分辨率很高，擁有比經典譜估計法更好的參數估計性能。

目前常用的功率譜估計模型有自回歸(AR)模型、滑動平均(MA)模型和自回歸滑動平均(ARMA)模型[4]。其中，AR模型是現(xiàn)代譜估計中最常用的一種功率譜估計模型，這是因為AR模型的實際物理系統(tǒng)是全極點系統(tǒng)；而且該模型的參數估計算法是線性方程組，運算量較小，計算比較簡便。在基于AR模型進行功率譜估計時，必須先提取出AR模型的參數。目前這些參數的提取算法主要有Levinson-Durbin算法[5]、Burg算法[6-7]和Marple算法[8]3種。其中，Levinson-Durbin算法的復雜度最低，而且能夠保證預測誤差濾波器最小相位，但是分辨率較低；Marple算法分辨率很高，性能最好，但是對硬件要求較高，計算量較大；Burg算法分辨率較高，計算也不太復雜，綜合性能最好，常常被用來進行功率譜估計。

基于Burg算法對實際工程問題進行功率譜估計時，如何構建適合實際問題的Burg算法參數模型至關重要。本文首先通過MATLAB分析采樣頻率、采樣點數、AR模型階數和快速傅里葉(FFT)長度等Burg算法參數對功率譜估計的影響，并給出綜合最優(yōu)的Burg算法參數選擇方法，最后采用列車測速系統(tǒng)的實驗數據進行仿真驗證。

1 基于Burg算法的功率譜估計

1.1 基于AR模型的功率譜估計

AR模型又稱為自回歸模型,是一個全極點的模型,可用如下差分方程來表示:

(1)

式中：p為AR模型的階數；{a(k)|k=1,2,…,p}，為p階AR模型的參數。

將該模型記為AR(p)，它的功率譜為：

(2)

(3)

將式(1)乘以x(n-m) 求平均(數學期望)，可以求得觀測數據的AR(p)模型參數與自相關函數的關系式為:

(4)

由式(4)可知自相關函數Rxx具有遞推的性質，將式(4)寫成矩陣形式得:

最后，大力發(fā)展科技服務中介機構。加快落實《市政府辦公室關于加快科技服務業(yè)發(fā)展的實施意見》要求，重點培育市場化、專業(yè)化的人才中介、研究開發(fā)、技術轉移、檢驗檢測認證、科技金融等科技中介服務機構，加強對責任部門實施情況績效考核。著力打造“科技領軍型人才創(chuàng)新驅動中心”服務品牌，完善領軍型人才驅動中心服務職能建設，提升政府招才引才育才工作社會影響力。

(5)

式(5)就是著名的Yule-Walker(Y-W)方程。式(5)表明，只要獲取觀測數據{x(0),x(1),…,x(N-1)}的自相關函數，就能估計出AR模型的參數{a(k)|k=1,2,…,p}和σ2，進而按式(3)求得信號功率譜的估值。目前AR模型參數的提取算法主要有Levinson-Durbin算法、Burg算法和Marple算法3種，本文主要研究基于Burg算法的功率譜估計。

1.2 Burg算法

Burg算法的基本思想是基于線性預測器的前、后向預測的總均方誤差之和最小的準則直接從觀測數據來估計反射系數，然后通過Lenvinson-Durbin算法的遞推公式求出AR模型參數。這種方法的優(yōu)點就是對未知數據不需要做任何假設，估計精度較高。假設觀察到的N個數據為X(0),X(1),X(2)，…，X(N-1)，則具體算法如下：

(1) 初始化前、后向預測誤差以及預測誤差功率：

(6)

(7)

(2) 計算反射系數:

m=1,2，…，p

(8)

(3) 計算濾波器系數及預測誤差功率:

am(m)=ρm

(9)

am(k)=am-1(k)+ρmam-1(m-k)，

k=1,2,…，m-1

(10)

(11)

(4) 遞推高一階前、后向預測誤差:

(12)

(13)

把m更新為m+1，重復步驟(2)至步驟(4),直到預測誤差功率Em滿足要求。

2 Burg算法的參數選擇分析

為了分析Burg算法的參數選擇對功率譜估計的影響，本文首先構建仿真信號為：

x(t)=5sin(2πf1t)+3sin(2πf2t)+n(t)

(14)

2.1 采樣頻率的選擇對功率譜估計的影響

為了分析Burg算法中采樣頻率的選擇對功率譜估計的影響，必須保證采樣點數、AR模型階數和FFT長度恒定。現(xiàn)令采樣點數N=512，AR模型階數p=100，F(xiàn)FT長度為2 048，采樣頻率分別選擇500 Hz,1 kHz,5 kHz和10 kHz。對信號x(t)進行功率譜估計，仿真結果如圖1所示。

圖1 采樣率不同時的功率譜估計

由仿真圖形可知，當采樣頻率過低，fs=500 Hz<710 Hz，無法滿足采樣定理時，不能完成功率譜估計；采樣頻率逐漸增大，fs=1 000 Hz時，能夠清晰分辨出信號的2個譜峰；當采樣頻率選擇過大，fs=5 kHz和10 kHz時，信號的2個頻率出現(xiàn)頻譜混疊，僅能發(fā)現(xiàn)一個譜峰，無法完成功率譜估計。因此，采樣頻率的選擇必須滿足采樣定理，不能過??；同時也要避免采樣頻率選擇過高導致的頻譜混疊，一般選擇fs∈[3fmax,4fmax]。

2.2 采樣點數的選擇對功率譜估計的影響

設定采樣頻率為1 kHz，AR模型階數p=100，F(xiàn)FT長度為2 048，采樣點數分別為N=128，512，2 048和8 192，仿真結果如圖2所示。

圖2 采樣點數不同時的功率譜估計

由圖2可知，當采樣點數很小，N=128時，譜估計的分辨率很低，而且出現(xiàn)了譜峰分裂的現(xiàn)象。隨著采樣點數的增加，獲得的數據會越來越多，譜估計的分辨率也越來越高，但同時也會增大整個譜估計的運算量。對此必須綜合考慮，選擇合適的采樣點數，在保證分辨率的同時，盡量減小運算量。

2.3 FFT長度的選擇對功率譜估計的影響

設定采樣頻率為1 kHz，AR模型階數p=100，采樣點數為N=512。FFT長度分別為512,1 024,2 048和4 096。仿真結果如圖3所示。

圖3 FFT長度不同時的功率譜估計

由圖3可知，隨著FFT長度的增大，2個譜峰變得更清晰陡峭，功率譜估計的分辨率也更高，但同時也必將導致算法運算量的增大。對此，選擇FFT長度時必須綜合考慮分辨率和算法運算量，通常選擇FFT長度為2 048或4 096。

2.4 AR模型階數的選擇對功率譜估計的影響

設定采樣頻率為1 kHz，F(xiàn)FT長度=2 048，采樣點數為N=512，AR模型階數p=30，100，200和400。仿真結果如圖4所示。

圖4 AR模型階數不同時的功率譜估計

由圖4可知，當AR模型階數較小，p=30時，分辨率很低，無法清晰分辨出2個譜峰。隨著階數的增大，分辨率逐漸增大。當p=100和200時，能夠清晰分辨出2個譜峰；但當階數過大，p=400時，2個譜峰處出現(xiàn)了明顯的譜峰分裂，整個譜估計出現(xiàn)了大量的虛假峰，無法正確估計出頻率所在位置。因此，在選擇AR模型階數時，必須在保證分辨率的同時避免譜峰分裂情況的出現(xiàn)。綜合比較，本文選擇p=100較為合適。

3 實驗數據驗證

列車測速系統(tǒng)采用多普勒雷達體制，工作原理基于多普勒效應。測速天線置于列車車廂下方，以角度θ向地面發(fā)射雷達波。當列車以速度v(t)運動時，根據多普勒效應，接收到的雷達波會產生多普勒頻移fd，如圖5所示。多普勒頻移fd與列車運行速度v(t)的關系如下：

圖5 列車測速原理圖

(15)

式中：λ為雷達信號波長；θ為波束主瓣方向與列車行駛方向的夾角；v(t)為列車相對地面的行駛速度。

為了更好地探測列車速度，避免因顛簸震動導致的雷達天線與地面夾角的變化，本文采用的列車測速系統(tǒng)使用角度補償的方法，向地面發(fā)射2個存在固定夾角的雷達波束，保證了多普勒雷達列車測速系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為了驗證第2節(jié)中Burg算法參數選擇分析正確與否，本文采用多普勒雷達列車測速系統(tǒng)進行仿真實驗。其中雷達天線分別以與地面成40°和50°的方向向地面發(fā)射雷達波，2個雷達波束的夾角固定為10°，測速雷達的工作頻率為f0=24.125GHz。

列車測速系統(tǒng)分別采集了列車速度為10～80km/h的數據，其對應的多普勒頻移范圍約為0.45～3.6GHz。由上節(jié)分析可知，選取采樣率fs=4fmax，取整后fs=15 GHz；選取采樣點數N=512；選取FFT長度為2 048；AR模型階數選為p=100。對雷達天線與地面成40°角、列車速度為40km/h的數據進行仿真，實驗結果如圖6、圖7所示。由多普勒頻率公式可求出：

圖6 列車速度為40 km/h時數據時域圖

圖7 列車速度為40 km/h時功率譜估計

對比圖6可知，按照本文第2節(jié)中分析結果選擇Burg算法仿真參數，成功地完成了對列車測速數據的功率譜估計，并且估計結果較為準確。

4 結束語

本文首先通過MATLAB仿真信號分析了采樣頻率、采樣點數、AR模型階數和FFT長度等Burg算法參數對功率譜估計的影響。由分析可知，采樣頻率的選擇必須滿足采樣定理，同時也要避免采樣頻率選擇過高導致的頻譜混疊，一般選擇fs∈[3fmax,4fmax]；選擇合適的采樣點數，在保證分辨率的同時，盡量減小運算量；選擇FFT長度時必須綜合考慮分辨率和算法運算量；在選擇AR模型階數時，必須在保證分辨率的同時避免譜峰分裂情況的出現(xiàn)。

為了驗證分析結果，本文采用多普勒雷達列車測速系統(tǒng)進行仿真實驗。實驗結果表明，按照本文分析選擇Burg算法仿真參數，能夠成功地完成對列車測速數據的功率譜估計，并得到良好的功率譜估計效果。

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ParametersSelectionofPowerSpectrumEstimationBasedonBurgAlgorithm

HUANGChao,WANGWei,SHANLiang

(ElectronicEngineeringInstitute,Hefei230037,China)

ThispaperintroducesBurgalgorithmbasedonautoregressive(AR)modelinmodernpowerspectrumestimation,analyzestheinfluenceofparameterselectioninBurgalgorithmonpowerspectrumestimation,andgivesthecomprehensiveoptimalparameterselectionmethodbasedonBurgalgorithm,finallyappliestheparameterselectionmethodproposedinthispapertotrainspeeddetectionsystemforexperimentvalidation,estimatestheDopplerfrequencyoftrainaccurately.

powerspectrumestimation;autoregressivemodel;Burgalgorithm;parameterselection

2015-08-31

TN

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CN32-1413(2016)05-0085-05

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2016.05.022