☉江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué) 王敬全

換元法求解函數(shù)問題例說

☉江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué) 王敬全

函數(shù)問題是近幾年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，對(duì)于一類值域問題，使用換元法解決是一種常見方法，下面筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐談?wù)創(chuàng)Q元法解決函數(shù)問題.

一、巧用換元法求解函數(shù)最值問題

在函數(shù)的一類求最值問題中，常?？梢耘錅惓善椒胶偷男问?，此時(shí)可以利用同角的三角函數(shù)進(jìn)行三角換元，達(dá)到減少未知量的目的.

例1若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是______.

三角換元法是一種常見的數(shù)學(xué)方法，利用它可將代數(shù)問題化為三角問題，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)簡單解決.

二、巧用換元法求無理函數(shù)的值域

對(duì)無理函數(shù)的值域求法通常有判別式法、三角換元法、構(gòu)造平面向量法、構(gòu)造截距法、構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離法等.但最直接的思想就是將無理函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的值域問題.即通過變量換元法將無理函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的值域問題，思路新穎別致.

1.巧引斜率進(jìn)行換元

（1）如果三項(xiàng)式ax2+bx+c有相異實(shí)根λ，μ，即ax2+bx+ c=a（x-λ）（x-μ），則可令.其幾何意義是：如果三項(xiàng)式ax2+bx+c有相異實(shí)根λ，μ，則二次曲線y=與x軸交于兩點(diǎn)（λ，0），（μ，0）.過其中一點(diǎn)例如（λ，0）的割線為y=t（x-λ）.對(duì)于斜率t取定值，二次曲線與它的割線有另一個(gè)交點(diǎn).顯然，當(dāng)t在某一范圍內(nèi)連續(xù)變動(dòng)時(shí)，這些交點(diǎn)（x，y）描出二次曲線y=為借助參數(shù)t表示坐標(biāo)x，將兩邊平方得到t2（x-λ）2=ax2+bx+c，但點(diǎn)（λ，0）在二次曲線上，因而aλ2+bλ+c=0.故t2（x-λ）2=a（x-λ）（x+λ）+b（x-λ），兩邊約去非零因式x-λ，得t2（x-λ）=a（x+λ）+b，這是關(guān)于x的一次方程，因而x可表示為t的有理函數(shù)，進(jìn)而所求函數(shù)就可以表示為t的有理函數(shù)，而這正是我們所期望實(shí)現(xiàn)的.顯然，令也可同樣達(dá)到目的.

點(diǎn)評(píng)：如果本題用判別式法做，將等式兩邊平方時(shí)會(huì)將字母的取值范圍放大，且利用Δ≥0是在x屬于全體實(shí)數(shù)時(shí)求解的，若不注意x滿足的其他一些條件非常容易出錯(cuò).

2.巧引截距作為變量進(jìn)行變量換元

換元法的本質(zhì)是用一種變量形式去取代另一種變量形式，從而把繁雜的無理函數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚挠欣砗瘮?shù)問題，新變量的范圍由新變量的幾何意義決定.

三、利用換元法揭示函數(shù)周期

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有些數(shù)學(xué)問題，表面上看與周期毫無關(guān)系，但實(shí)際上隱含著周期性，一旦揭示了周期，問題便迎刃而解了.在解題中，我們常用換元法揭示函數(shù)的周期.

例4已知f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)且g（-1）=3，g（x）=f（x-1），則f（2012）+g（2013）= _______.

解析：由g（x）=f（x-1），得f（x）=g（x+1），f（-x）=g（-x+ 1），因?yàn)閒（x）為R上的偶函數(shù)，所以g（1+x）=g（1-x），g（x）的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，g（-x）=g（x+2）.又因?yàn)間（x）為R上的奇函數(shù)，所以g（x）=-g（-x）=-g（x+2），用x+2代替x得g（x+2）=-g（x+4），故g（x）=g（x+4），得g（x）是周期為4的周期函數(shù).所以f（2012）+g（2013）=2g（2013）=2g（503×4+1）= 2g（1）=-6.

點(diǎn)評(píng)：由此題我們可以得知：（1）設(shè)f（x）是R上的偶函數(shù)，且圖像關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱，則f（x）是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期.（2）設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且圖像關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱，則f（x）是周期函數(shù)，且4|a|是它的一個(gè)周期.對(duì)于以上兩個(gè)常用結(jié)論，可以概括為：對(duì)稱性+奇偶性=周期性.

四、換元法解決一類復(fù)合函數(shù)問題

形如y=f［f（x）］的復(fù)合函數(shù)相關(guān)問題，在近幾年的高考中屢見不鮮，常以壓軸選擇題或填空題的形式考查，相關(guān)資料對(duì)該類問題的解答通常為分類討論，過程繁雜且不易于學(xué)生接受，更談不上舉一反三、觸類旁通了.從復(fù)合函數(shù)角度出發(fā)，利用換元思想，可以快速簡便求解此類題目.

通過換元，借助函數(shù)y=f（t）和y=2t的圖像可解決問題1（圖1）.

圖1

圖2

由圖1知，滿足f（t）=2t的t的取值范圍是t≥1，而t的取值范圍與a的取值范圍又有關(guān)聯(lián)，即f（a）≥1.借助函數(shù)t= f（a）的圖像解決問題2（圖2）.

總結(jié)：我們可歸納出解決該類問題的一般性方法：

（1）先進(jìn)行換元，將復(fù)合函數(shù)y=f［f（x）］利用換元思想寫成兩個(gè)函數(shù)y=f（t）和t=f（x）.

（2）分別在直角坐標(biāo)系tOy和直角坐標(biāo)系xOt中畫出函數(shù)y=f（t）和t=f（x）的圖像.這里需要說明的是，一般情況下，兩幅函數(shù)圖像應(yīng)該不一致，只有當(dāng)自變量t與自變量x的取值范圍相同時(shí)，圖像保持一致.

（3）在直角坐標(biāo)系tOy中，借助函數(shù)y=f（t）的圖像求出t的范圍（問題1），再在直角坐標(biāo)系xOt中，利用函數(shù)t= f（x）的圖像求出x的范圍（問題2）.

以上解法很好地回避了分類討論過程，將整個(gè)解題過程以圖形方式直觀地呈現(xiàn)出來，易于學(xué)生理解與接受，同時(shí)注重了函數(shù)教學(xué)中需強(qiáng)化的數(shù)形結(jié)合思想.

換元法不僅是數(shù)學(xué)中的重要思想方法，而且還是解題中不可或缺的工具.它能夠使某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，從而提高了做題效率，減少了出錯(cuò)率.在解題中換元法和換元思想是數(shù)學(xué)常規(guī)解題思路中比較重要的，在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)運(yùn)用此思想可以收到意想不到的效果，同時(shí)可以發(fā)散解題者的數(shù)學(xué)思維，使數(shù)學(xué)思想得到凝練.F