李 婷

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院,山西 太原 030031)

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強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸性與最優(yōu)化

李 婷

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院,山西 太原 030031)

考慮了一類重要的廣義凸函數(shù)-強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù),首先給出了強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)的一個(gè)性質(zhì),然后討論了強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)分別在帶不等式約束的非線性規(guī)劃問題及多目標(biāo)規(guī)劃問題中的應(yīng)用,得到了一些最優(yōu)性結(jié)果.

強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù);擬α-預(yù)不變凸函數(shù);非線性規(guī)劃;多目標(biāo)規(guī)劃

凸性及廣義凸性在經(jīng)濟(jì)均衡、管理科學(xué)、對(duì)策論及數(shù)學(xué)規(guī)劃等理論中起著非常重要的作用.近年來,對(duì)凸性和廣義凸性的研究已經(jīng)成為優(yōu)化研究中的一個(gè)重要課題.然而凸函數(shù)相對(duì)較少,廣義凸函數(shù)有許多類似于凸函數(shù)的性質(zhì),因此對(duì)廣義凸函數(shù)的研究非常有必要,并且取得了一系列重要的成果.1981年,Hanson在文獻(xiàn)[1]中提出了不變凸函數(shù);1988年,Weir和Mond, Weir和Jeyakwma先后在文獻(xiàn)[2]和[3]中引入了不變凸集和預(yù)不變凸函數(shù)的定義,研究了預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)及其在最優(yōu)化中的應(yīng)用.2001年,Yang和Li在文獻(xiàn)[4]中又引進(jìn)了嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)和半嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)的概念,得到了它們的一些性質(zhì)及其在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的應(yīng)用.2006年,Tang和Yang在文獻(xiàn)[5]中引進(jìn)了強(qiáng)預(yù)不變凸函數(shù)的定義,而且進(jìn)一步分析了這個(gè)函數(shù)與預(yù)不變凸函數(shù)、嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)及半嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)之間的關(guān)系.同年,Noor M A和Noor K I在文獻(xiàn)[6]中提出了兩類新的廣義凸函數(shù)——α-預(yù)不變凸函數(shù)和擬α-預(yù)不變凸函數(shù). 2007年,劉彩平和楊新民在文獻(xiàn)[7]中引入了強(qiáng)預(yù)擬不變凸函數(shù)和強(qiáng)擬不變凸函數(shù)的概念,討論了強(qiáng)預(yù)擬不變凸函數(shù)的性質(zhì),并研究了強(qiáng)預(yù)擬不變凸函數(shù)在多目標(biāo)優(yōu)化中的應(yīng)用. 2008年,劉彩平在文獻(xiàn)[8]中進(jìn)一步將擬α-預(yù)不變凸性推廣到強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸性,在適當(dāng)?shù)臈l件下建立了強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸性,強(qiáng)擬α-不變凸性之間的關(guān)系.

在這些文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,本文對(duì)文獻(xiàn)[7]的部分結(jié)果加以推廣,首先給出了強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)的一個(gè)性質(zhì),然后討論了強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)分別在帶不等式約束的非線性規(guī)劃問題及多目標(biāo)規(guī)劃中的應(yīng)用,得到了一些最優(yōu)性結(jié)果.這些結(jié)果在一定程度上完善了對(duì)強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)的研究.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)H是定義了內(nèi)積〈·,·〉和范數(shù)‖·‖的實(shí)Hilbert空間,K是H的一個(gè)非空子集,

定義1.1[6]如果?x,y∈K,?λ∈[0,1],有

則稱集合K為α-不變凸集．

定義1.2[6]設(shè)集合K是關(guān)于α和η的α-不變凸集,若?x,y∈K,?λ∈[0,1],有

則稱f是K上關(guān)于α和η的α-預(yù)不變凸函數(shù);

定義1.3[6]設(shè)集合K是關(guān)于α和η的α-不變凸集,若?x,y∈K,?λ∈[0,1],有

則稱f是K上關(guān)于α和η的擬α-預(yù)不變凸函數(shù).

定義1.4[8]設(shè)集合K是關(guān)于α和η的α-不變凸集,若?x,y∈K,?λ∈[0,1],?β>0,有

則稱f是K上關(guān)于α和η的強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)．

根據(jù)定義1.3和定義1.4,易知強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)一定是擬α-預(yù)不變凸函數(shù).

2 強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)

定理2.1 設(shè)K?Rn是關(guān)于α和η的α-不變凸集,令I(lǐng)為有限或無限指標(biāo)集,函數(shù)fi:K→R(i∈I)是K上關(guān)于α和η的強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù),記f(x)=sup{fi(x),i∈I},?x∈K.如果?x∈K,?ij=i(x)∈I,使得f(x)=fj(x),那么f(x)一定是K上關(guān)于α和η的強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù).

證明 假設(shè)f(x)不是K上關(guān)于α和η的強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù).則?β>0,?x,y∈K,?λ∈(0,1),使得

(1)

令z=y+λα(x,y)η(x,y),由已知條件,存在i(z)=i0,i(x)=i1,i(y)=i2,滿足

因?yàn)閒i:K→R(i∈I)是K上關(guān)于α和η的強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù),則?β0>0,有

(2)

(3)

于是由(2)和(3)得

即f(z)=f(y+λα(x,y)η(x,y))≤max{f(x),f(y)}-β0λ(1-λ)‖η(x,y)‖2

上式與式(1)矛盾,假設(shè)不成立,即f(x)=sup{fi(x),i∈I}一定是K上關(guān)于α和η的強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù).

3 強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)在帶不等式約束的規(guī)劃問題中的應(yīng)用

考慮下面的約束非線性規(guī)劃問題:

(P)minf(x)

其中K是Rn的非空子集,f,gi:K→R,i=1,…,m

可行解集D={x∈K|gi(x)≤0,i∈J}.

(4)

(5)

由于gi:K→R(i∈J)在K上是擬α-預(yù)不變凸函數(shù),則?i∈J,λ∈[0,1],有

(6)

綜合(5)和(6)式可知

(7)

4 強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)在多目標(biāo)規(guī)劃中的應(yīng)用

考慮下面的多目標(biāo)規(guī)劃問題

其中F:K→RP,fi:K→R(i=1,…,p),K?Rn是關(guān)于α和η的α-不變凸集.

定理4.1設(shè)集合K?Rn是關(guān)于α和η的α-不變凸集,x≠y時(shí),有η(x,y)≠0,

α(x,y)≠0.fi(x)(i=1,…,p)是K上關(guān)于α和η的擬α-預(yù)不變凸函數(shù).若?j0(1≤j0≤p),fj0(x)在K上關(guān)于相同的α和η是強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù),則(VP)的局部有效解也是全局有效解.

(8)

(9)

(10)

定理4.2 設(shè)集合K?Rn是關(guān)于α和η的α-不變凸集,x≠y時(shí),有η(x,y)≠0,

α(x,y)≠0.f1(x),f2(x),…,fp(x)是K上關(guān)于α和η的強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù),則(VP)的局部弱有效解也是全局弱有效解.

(11)

(12)

[1] Hanson.M.A.On sufficiency of the Kuhn-Tucker conditions[J].Journal of Mathematical Ana-lysis and Applications,1981,80:545-550

[2] WEIR T,MONG B.Preinvex functions in multiple objective optimization[J].Journal of Math Anal and Appl,1988,136:29-38

[3] WEIR T,JEYAKUMAR V.A class of nonconvex functions and Mathematical programming[J].Bull Austral Math Soc,1988,38:177-189

[4] YANG X M, LI D.Semistrictly preinvex functions[J].Journal of Mathematical Analysis and Ap-plications,2001,258:287-308

[5] TANG W M,YANG X M.The sufficiency and necessity conditions of strongly preinvex functio-ns[J]. 運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào),2006(3):50-58

[6] NOOR M A,NOOR K I.Some characterizations of strongly preinvex functions[J].Journal of Mat-hematical Anaiysis and Applications,2006,316,697-706

[7] 劉彩平,楊新民.強(qiáng)預(yù)擬不變凸函數(shù)和強(qiáng)擬不變凸函數(shù)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2007,24(4):414-419

[8] 劉彩平.幾類廣義不變凸函數(shù)及其性質(zhì)[D].重慶:重慶師范大學(xué),2008

[9] 林銼云,董加禮.多目標(biāo)優(yōu)化的方法與理論[M].長春:吉林教育出版社,1992

The Strongly Quasi α-Preinvexity and Optimization

LI Ting

(Fundamental Teaching Department,the Business College of Shanxi University,Taiyuan 030031, China)

A class of generalized convex functions, termed strongly quasi α-preinvex functions, is considered. Firstly, one property of strongly quasi α-preinex functions is given. Then, some optimality results are obtained in nonlinear programming problems with inequality constraint and multibjective optimization problems.

strongly quasiα-preinex functiongs; quasi α-preinex functions; nonlinear programming; multibjective optimization

2016-06-08

李 婷(1981-),女,山西永濟(jì)人,碩士,山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院講師,從事最優(yōu)化理論與應(yīng)用研究．

1672-2027(2016)03-0016-04

O221

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