Riemann面上帶cusp奇點的共形度量*

國金宇， 吳英毅， 魏志強

(中國科學院大學數(shù)學科學學院, 北京 100049)(2016年1月29日收稿； 2016年3月14日收修改稿)

本文主要對Riemann面上帶cusp奇點的共形度量進行研究.

1 背景和主要定理

1.1 背景

Calabi在1982年引入extremal K?hler度量[1]，目的是在一個緊K?hler流形的固定K?hler類中找到“最佳”的度量.具體地，設M為一個緊K?hler流形，在一個固定的K?hler 類中，extremal K?hler度量是下述Calabi能量的臨界點

這里K是K?hler類中度量g的數(shù)量曲率.C(g)的Euler-Lagrange方程是

K,αβ=0,1≤α,β≤dimCM,

(1)

這里K,αβ是K的2階(0,2)型協(xié)變導數(shù).因此我們稱在一個緊K?hler流形M上滿足(1) 的度量為extremal K?hler度量.

Extremal K?hler度量具有較好的性質(zhì)，比如緊extremal K?hler 流形比一般的K?hler流形具有更好的對稱性，而且在光滑的緊Riemann面上，extremal K?hler 度量就是常曲率度量[1].

經(jīng)典的單值化定理認為，在緊致無邊的Riemann面上，對任意的Riemann度量，都會有常曲率度量與之共形等價.單值化定理無疑是經(jīng)典復分析中非常漂亮和重要的定理.

過去很多人嘗試將經(jīng)典的單值化定理推廣到一般的帯邊曲面.而過去主要集中在帶有奇點的曲面上常曲率度量的存在性問題.

為了推廣經(jīng)典的單值化定理，Chen等[2-3]繼承Calabi的思想，研究Calabi能量泛函的變分問題.在這個問題框架內(nèi)，他們主要研究以下2個方面的問題：

1)任意由有限面積和有限Calabi能量所組成的度量子集的弱緊性問題，引進了cusp奇點，得到有趣的“bubbles on bubbles”現(xiàn)象，并且得到這類度量序列的弱極限如果不為零，則該度量一定有cusp奇點.進而給出cusp奇點的基本性質(zhì)[2-3].

2)Calabi能量泛函的變分問題.令M為緊Riemann面，g0為M{p1,p2…,pn} 上的Hermitian度量，其中p1,p2…,pn為g0的奇點.如果存在一個光滑函數(shù)e2φ，使得在M{p1,p2…,pn}上滿足g=e2φg0，此時稱g與g0共形等價.記P:={p1,p2…,pn}，定義Calabi能量泛函E(g)與面積泛函A(g)分別為：

(2)

其中K為g的Gauss曲率. 定義變分空間G(g0)為

G(g0)={g|g=e2φg0,φ∈H2,2(M),

Calabi能量泛函的變分問題就是要研究在面積泛函固定的情況下，Calabi能量泛函最小，即對于任意g∈G(g0)，使得Calabi能量泛函E(g)最小.

我們稱Calabi 能量泛函的臨界點為extremal Hermitian 度量，它的Euler-Lagrange方程為

ΔgK+K2=C，

(3)

其中K為g的Gauss曲率，C為實常數(shù).式(3)在局部復坐標系(U,z)下等價于

(4)

見文獻[4].由(4)可知extremal Hermitian度量有2種特殊情況：

1)K=const，即度量g為常Gauss曲率度量.

2)如果g在局部復坐標系(U,z)下滿足

K,zz=0，

(5)

則稱g為HCMU(the Hessian of the curvature of the metric is umbilical)度量. 在下文中，假設共形度量g有有限的面積和有限的Calabi能量，即

(6)

Chen[4]進一步研究帶有cusp奇點的extremal Hermitian度量的相關性質(zhì)，并給出Gauss曲率K在cusp奇點附近的相關估計.進而給出帶有cusp奇點的extremal Hermitian度量的分類定理.

接著Wang和Zhu[5]將Chen的關于cusp奇點的情況推廣到錐奇點情況，他們證明了如果g=e2φ(z)|dz|2為D{0}上面積和Calabi能量都有限的extremal Hermitian度量，則z=0不是cusp奇點就是錐奇點. 進而得到關于錐奇點的分類定理.

本文將就他所提出的問題進行研究，進一步給出當g為HCMU度量時，共形參數(shù)在cusp奇點的局部表示.

1.2 本文主要定理

定理1.1 如果g=e2φ(z)|dz|2為D{0}上的共形度量，z=0為g的cusp奇點，如果共形參數(shù)φ(z)在cusp點附近有形式：φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)+o(ln(-ln|z|))，且余項o(ln(-ln|z|))在z=0附近(包括0點)光滑.

(b) 若g為extremal Hermitian度量，則g在D{0}上面積和Calabi能量有限的充要條件為β=1.

其中，α,β滿足下列關系式：

定理1.3 如果g=e2φ(z)|dz|2為D{0}上的共形度量，z=0為g的cusp 奇點，并且在D{0} 上面積和Calabi能量都有限，若g為 HCMU度量，則在z=0 附近共形參數(shù)一定可以表示成

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z)，

其中，h(z)為在z=0點連續(xù)，在0點以外光滑的正函數(shù).

2 預備知識

2.1 弱cusp奇點、cusp奇點、錐奇點

定義2.3 設M是Riemann面，p∈M.(U,z)為p附近的復坐標系且z(p)=0，g為U{p}上的光滑度量.如果g=e2φ|dz|2，并且φ-(α-1)ln|z|(α>0)在p處連續(xù)，則稱p為g的錐奇點并且g在p處有錐角度2πα.

注記：如果在弱cusp奇點附近滿足面積和Calabi能量有限，那么弱cusp奇點就是cusp奇點，見文獻[5].

2.2 cusp奇點，extremal Hermitian 度量及HCMU度量的基本性質(zhì)

設M是一個緊Riemann面，p1,…,pn是M上的n個點，記P:={p1,…,pn}. 設g是MP上的光滑保角度量.設(U,z)為MP上的局部復坐標系，則g在U上可以寫成

g=e2φ|dz|2.

在文獻[4]中，Chen研究了面積和Calabi能量都有限且只帶有cusp奇點的extremal Hermitian度量.一方面，他證明如果該Riemann面為緊致無邊的，則extremal Hermitian 度量就是HCMU 度量.另一方面，給出Gauss曲率K在cusp奇點的精確估計，證明了Gauss曲率K在cusp奇點的極限為負常數(shù).

Chen等[7]將文獻[6]中的結(jié)果推廣到既有cusp奇點又有錐奇點的非常曲率HCMU度量上.

3 主要定理與證明

現(xiàn)在返回到我們要研究的問題，在只帶有cusp奇點的Riemann面上，共形度量g=e2φ|dz|2滿足面積和Calabi能量都有限，則共形參數(shù)φ在cusp 點附近有什么樣的性質(zhì)？進一步要問如果度量g為HCMU 度量，那么共形參數(shù)在cusp奇點附近又該如何表示？共形參數(shù)的余項是否一定光滑？

定理1.1的證明

于是φ(z)變?yōu)?/p>

φ(z)=-lnr-βln(-lnr)+lnh(z).

(7)

因此g=e2φ|dz|2在DR(0){0}上保持面積和Calabi能量有限等價于

(8)

(9)

其中,K=-e-2φ·Δφ為g的Gauss曲率.

所以由(7)式和(8)式得

由于h(z)在z=0附近有正的上下界，所以

A(g)|DR(0){0}<+∞

等價于

(10)

另一方面由(7)式得

Δφ=-βΔln(-lnr)+Δlnh(z)

(11)

所以由(9)式和(11)式得

2βr(-lnr)2β-2h-2Δlnh+

(Δlnh)2r3(-lnr)2βh-2]drdθ

由于h(z)在z=0附近光滑，Δlnh(z)在z=0附近有界，因此后兩項絕對可積.于是

E(g)|DR(0){0}<+∞

等價于

(12)

證明(b) 由(7)式和(11)式可知共形度量g的Gauss曲率K為

Δlnh·h-2r2(-lnr)2β，

(13)

接下來我們將在局部上構造僅帶一個cusp奇點的度量，再利用單位分解在S2上構造一個帶cusp奇點的度量.

φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)-

αln(ln(-ln|z|)).

(14)

我們將證明：g在D{0}上滿足面積和Calabi能量有限的充要條件是α和β滿足下面條件：

下面給出具體的構造方法.

定理1.2的證明

證明令

即φ(z)=-lnr-βln(-lnr)-αln(ln(-lnr))，容易驗證對于任意的α，β,φ(z)恒滿足cusp奇點條件. 再令

ψ(u,θ) =φ(e-ucosθ,e-usinθ)-u

(15)

則面積變?yōu)?/p>

Calabi能量變?yōu)?/p>

2β(lnu)-4α]2u2β-4(lnu)10αdudθ,

由積分的收斂性可知，

E(g)|D2R(0){0}<+∞

等價于

(16)

綜上若φ有下面形式

φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)-

αln(ln(-ln|z|))，

(17)

則g在D2R(0)上滿足面積和Calabi能量都有限當且僅當α,β滿足下列關系式：

(18)

令p為單位球面S2上的一點，取p點附近的復坐標圖(U1,z)，使得z(p)=0，z(U1)=D2R(0)，其中R為上文提到的.又設

g1=e2φ|dz|2=

(19)

(20)

(21)

由定理1.2的證明并參照定義2.2，可以提出新的cusp奇點的定義，即

定義3.1設M為Riemann面，p∈M，(U,z)為p附近的復坐標圖，g=e2φ|dz|2為U{p}上的共形度量， 如果φ在z=0附近有下面形式

φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)+lnh(z)，

(22)

因此，從定理1.2的證明中可得：即使在面積和Calabi能量都有限的條件下也不能得出cusp奇點與強cusp奇點等價.

下面的定理1.3將要證明：如果度量為HCMU度量并且滿足面積和Calabi能量有限，則cusp奇點一定是強cusp奇點,并且此時定義3.1中β=1.

定理1.3的證明

1)存在C′∈，使得在D{0}上有

,

(23)

這里C為(3)式中的常數(shù).由此可得

(24)

2)存在μ<0使得

(25)

并且

(26)

于是可設

(27)

其中λ-1為ω在z=0處的留數(shù)，f1為在z=0附近的全純函數(shù)，Φ為z=0附近的全純函數(shù)且Φ(0)=λ-1≠0. 所以由上面的1)、2)、3)并結(jié)合文獻[7](定理1.1)得到

λ-1dln|z|2+2dRe(f1)，

(28)

(29)

由于(28)式左端可分解為

(30)

所以(28)式等價于

d(λ-1ln|z|2+2Re(f1)).

(31)

對(31)式兩邊同時積分得

=λ-1ln|z|2+2Re(f1)+C，

(32)

其中，C為常數(shù).

由(29)式得

[(K-μ)2(-2μ-K)·

(33)

即

φ(z)=-ln|z|+ln|μ-K|+

(34)

再將(34)式代入cusp奇點條件得

(35)

再對(32)式兩邊同除ln|z|，利用(35)式得到

(36)

其中，λ-1為ω在z=0(即cusp奇點)處的留數(shù).

由于特征1-形式ω在cusp奇點處留數(shù)可正可負，所以Gauss曲率K有2種情況.但無論哪種情況都有下面的式子成立：

我們證明第1種情況，第2種情況類似.

當K<μ時,由(36)式得

(37)

(38)

由ln的單調(diào)性，對(38)式兩邊同取ln有

(39)

對(39)式兩邊同除-ln(-ln|z|)有

(40)

由(40)式得到

(41)

所以由(34)式、(41)式共形參數(shù)φ(z)在cusp奇點附近一定可以寫成

(42)

再由(37)式知道(42)式的余項o(ln(-ln|z|))，在z=0處連續(xù)0以外光滑.

所以(42)式經(jīng)整理得到

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh1(z)，

(43)

其中，h1(z)為在z=0處連續(xù)，在z=0以外光滑的正函數(shù).

同理可以求出當μ

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh2(z)，

(44)

其中，h2(z)為在z=0處連續(xù)，在z=0以外光滑的正函數(shù).

所以綜上得到如果g為HCMU度量，共形參數(shù)在cusp奇點附近一定可以寫成

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z)，

(45)

其中，h(z)為在z=0處連續(xù)，在z=0以外光滑的正函數(shù).

推論3.1令M為緊致無邊的Riemann面，記P:={p1,p2,…,pn}，g=e2φ|dz|2為MP上的extremal Hermitian度量，其中P為M的cusp奇點,且g在MP上保持面積和Calabi能量都有限，則共形參數(shù)在cusp 奇點附近一定可以寫成

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z)，

(46)

其中，h(z)為在z=0處連續(xù)，在z=0以外光滑的正函數(shù).

證明由文獻[4](定理A)我們知道：如果M為緊致無邊，g是M{p1,p2,…,pn}上的extremal Hermitian度量，其中p1,p2,…,pn為g的cusp奇點，并且滿足面積和Calabi能量都有限，則共形度量g一定為HCMU 度量，進而由上面的定理1.3得到結(jié)果.

4 后續(xù)的討論

對于一般Riemann面上的extremal Hermitian度量，其在cusp奇點附近面積和Calabi能量都有限，我們推測共形參數(shù)φ在cusp奇點附近也可以表示為

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z)，

其中，h(z)為在z=0處連續(xù)，在z=0以外光滑的正函數(shù).

因為無論從定理1.3還是最后的推論3.1，都有跡象表明應該會有這樣的形式，因此我們會在后續(xù)研究中予以討論.