借助物理模型證明正弦定理和余弦定理

黃紹書

(六盤水市第二十三中學(xué) 貴州 六盤水 553001)

徐 英

(黔西第一中學(xué) 貴州 畢節(jié) 551500)

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借助物理模型證明正弦定理和余弦定理

黃紹書

(六盤水市第二十三中學(xué) 貴州 六盤水 553001)

徐 英

(黔西第一中學(xué) 貴州 畢節(jié) 551500)

在學(xué)科教學(xué)中注重交叉學(xué)科知識的相互滲透，對全方位培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì),提高他們綜合應(yīng)用各學(xué)科知識處理實際問題的能力是極為有效的.

物理模型 物理方法 正弦定理 余弦定理 證明

正弦定理

(1)

和余弦定理

(2)

是三角形邊角關(guān)系的美妙體現(xiàn)，它們的發(fā)現(xiàn)和證明都顯示著人類的智慧，是人類文明史上光輝的一頁.

在數(shù)學(xué)和物理的領(lǐng)域中，很多方面都滲透出正弦定理和余弦定理的氣息，本文試圖借助物理模型采用物理方法給出正弦定理和余弦定理的證明.

圖1

設(shè)厚度、密度都均勻的三角形ABC薄木板的邊長分別為a，b，c，現(xiàn)將它靜止漂浮于密度為ρ的液體表面，浸入液體的深度為d，那么其三邊所受液體壓力如圖1所示，大小分別為

(3)

很顯然，這3個力是相互平衡的共點力，它們的作用線相交于三角形ABC的外心O.現(xiàn)以O(shè)為原點，分別建立如圖2,圖3,圖4所示的直角坐標(biāo)系，對Fa,Fb,Fc進行正交分解.

圖2

圖3

圖4

根據(jù)圖2，有

(4)

同理，根據(jù)圖3和圖4分別有

(5)

和

(6)

將式(3)分別代入式(4)～(6)并整理，得

(7)

和

(8)

分別化簡式(7)、(8)，即得正弦定理式(1)和余弦定理式(2).

正弦定理和余弦定理還可以通過一個通電三角形線圈放在勻強磁場中，考慮到其三邊受到的安培力互為共點平衡，然后結(jié)合本文的思維方式給出.

2015-08-31)