◇ 湖北 張奕昕

探究性學(xué)習(xí)的體會(huì)

◇ 湖北 張奕昕

平面向量題是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)題型,由于其具有代數(shù)與幾何雙重身份,在小題考查中相對(duì)有一定難度.本文通過對(duì)一道向量高考題的多角度分析,使考生明確向量問題求解途徑.

1 利用平面幾何性質(zhì),轉(zhuǎn)化向量?jī)?nèi)涵

平面向量中的很多問題都有著其特定的幾何背景,充分利用向量的幾何模型,是解決向量問題的常用手段和重要策略.

解法1 由題意得點(diǎn)B1、B2在以O(shè)為圓心的單位圓上.點(diǎn)P在以O(shè)為圓心、半徑為1/2的圓內(nèi).又所以點(diǎn)A在以B1B2為直徑的圓上.當(dāng)P與點(diǎn)O重合時(shí)最大,最大值為當(dāng)P在圓周上時(shí),最小,最小值為

2 借助坐標(biāo)運(yùn)算,化抽象為具體

坐標(biāo)化思想是處理向量問題的有力工具,其特征就是利用坐標(biāo)形式將向量問題代數(shù)化,簡(jiǎn)化思維量.其核心是準(zhǔn)確確定向量的坐標(biāo).

解法2 根據(jù)條件知A、B1、P、B2構(gòu)成一個(gè)矩形,以AB1、AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖1所示平面直角坐標(biāo)系.設(shè)|AB1|＝a,|AB2|＝b,則點(diǎn)O(x,y)、P(a,b).

圖1

所以1－x2＋1－y2＜1/4,即

因?yàn)?x－a)2＋y2＝1,所以

即y2≤1.同理x2≤1,所以

由式①、②知7/4＜x2＋y2≤2.因?yàn)?/p>

3 借助臨界分析,突顯幾何直觀

對(duì)于向量關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜的問題,需要挖掘這些關(guān)系,將問題表征成直觀形象的圖形來(lái)簡(jiǎn)潔求解.

圖2

同理可判斷段AP的延長(zhǎng)線上時(shí),與題意不符.故可確定點(diǎn)O在線段AP上.

圖3

設(shè)O1A＝x,在△OO1B1中,O1B1＝x,OO1=x－1/2,OB1＝1.由勾股定理即解得(另一值舍去).

以上視角可以幫助我們更好地思考和理解向量本質(zhì),順利解決向量的綜合問題.

(作者單位:湖北武漢市第二中學(xué))